Matice R0
V matematiky , je -matrix je skutečný čtvercová matice poskytuje konkrétní vlastnosti lineárních komplementaritu problémů . Tyto vlastnosti, které je obtížné vyjádřit několika slovy, jsou popsány v níže uvedené definici.
R0{\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}}![{\ mathbf {R_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29389e70eddb01dbfbdc3a06f5459823bb400110)
Definice
Ekvivalentní vlastnosti, které mohou sloužit jako definice pro -matice, vyžadují vyvolání některých pojmů.
R0{\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}}![{\ mathbf {R_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29389e70eddb01dbfbdc3a06f5459823bb400110)
- Pro vektor znamená notace, že všechny složky vektoru jsou kladné. Vzhledem k tomu, čtvercovou skutečnou matici a vektor , je lineární komplementarita problém spočívá v nalezení vektoru tak, že , a , který je zapsán ve zkrácené způsobem takto:proti∈Rne{\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {n}}
proti⩾0{\ displaystyle v \ geqslant 0}
protii{\ displaystyle v_ {i}}
M∈Rne×ne{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ krát n}}
q∈Rne{\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}
X∈Rne{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}
X⩾0{\ displaystyle x \ geqslant 0}
MX+q⩾0{\ displaystyle Mx + q \ geqslant 0}
X⊤(MX+q)=0{\ displaystyle x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0}![x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53433c3e19bd8350fb7339ea48017125cc342be4)
CL(M,q):0⩽X⊥(MX+q)⩾0.{\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}![{\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff8b87f085fcd454fecb36aa214ed36bddc5864)
- O funkci definované na skutečných hodnotách se říká, že je donucovací, pokud má své sady omezených podúrovní , což znamená, že má sklon k nekonečnu, pokud .Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
‖X‖→∞{\ displaystyle \ | x \ | \ do \ infty}![{\ displaystyle \ | x \ | \ do \ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f36bcccd4c69d46e1b7236fec775adf394d8fa3)
Nyní můžeme dát definici -matice.
R0{\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}}![{\ mathbf {R_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29389e70eddb01dbfbdc3a06f5459823bb400110)
R0{\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}}
-matrix - Říkáme, že skutečná čtvercová matice je -matrix, pokud platí jedna z následujících ekvivalentních vlastností:
M∈Rne×ne{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ krát n}}
R0{\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}}![{\ mathbf {R_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29389e70eddb01dbfbdc3a06f5459823bb400110)
- jediným řešením problému je nulové řešení,CL(M,0){\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, 0)}
![{\ mbox {CL}} (M, 0)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1439a6428ae696ac0e743b42155dc998f7f593c4)
- cokoli , funkce je donucovací,q∈Rne{\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}
X↦‖min(X,MX+q)‖{\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx + q) \ |}![{\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx + q) \ |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9254b1ff4c15d3bb338bc54f91aa2b16edebb282)
- funkce je donucovací.X↦‖min(X,MX)‖{\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}
![{\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2fd6dd9b3e4550ea80c1056190c3f59a4eecd37)
Označíme množinu -matric libovolné objednávky. Říkáme -matricity vlastnost matice, ke které patříR0{\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}}
R0{\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}}
R0{\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}}
R0.{\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}.}
Souvislost mezi problémem a funkcí pochází ze skutečnosti, že je řešením if, a pouze pokud (operátor jedná komponentu po komponentě).
CL(M,0){\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, 0)}
X↦‖min(X,MX)‖{\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}
X{\ displaystyle x}
CL(M,0){\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, 0)}
min(X,MX)=0{\ displaystyle \ min (x, Mx) = 0}
min{\ displaystyle \ min}![\ min](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695d28931288a686335c3969dfd15bb76ea873db)
Vlastnictví
Spojení se spoluvlastnictvím
Vlastní číslo nebo Paretova vlastní číslo na symetrické skutečné matice je kritická hodnota optimalizačního problému
μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}
M∈Rne×ne{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ krát n}}![M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ krát n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba045fb18350a8830da60df84aa1bc0f699a2dd8)
minX∈Rne‖X‖=1X⩾0X⊤MX,{\ displaystyle \ min _ {{x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ na vrcholu \ | x \ | = 1} \ na vrcholu x \ geqslant 0} \; x ^ {\! \ top} Mx,}
tj. hodnota kritéria ve stacionárním bodě tohoto problému, což znamená, že níže uvedený problém lineární komplementarity má nenulové řešení :
μ=X⊤MX{\ displaystyle \ mu = x ^ {\! \ top} Mx}
X{\ displaystyle x}
0⩽X⊥(M-μJá)X⩾0.{\ displaystyle 0 \ leqslant x \ perp (M- \ mu I) x \ geqslant 0.}
Podle definice 1 -matricity vidíme, že pro symetrickou matici tento pojem znamená, že matice nemá nulovou vlastní hodnotu. Může být užitečné tuto definici přiblížit definici vlastních čísel symetrické matice , které lze získat jako kritické hodnoty Rayleighova kvocientu , aniž by zde bylo použito omezení pozitivity.
R0{\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}}![{\ mathbf {R_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29389e70eddb01dbfbdc3a06f5459823bb400110)
Dodatky
Související článek
Bibliografie
-
(en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Problém lineární komplementarity . Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
-
(en) F. Facchinei, J.-S. Pang (2003). Konečně dimenzionální variační nerovnosti a problémy s komplementaritou (2 svazky). Springer Series v operačním výzkumu. Springer-Verlag, New York.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">