Poloměr konvergence
Tento článek je návrhem pro
analýzu .
O své znalosti se můžete podělit vylepšením ( jak? ) Podle doporučení příslušných projektů .
Poloměr konvergence o o celé číslo série je kladné reálné číslo nebo + ∞ , který se rovná horní hranice množiny modulů komplexních čísel , kde řada konverguje (v klasickém smyslu jednoduchého konvergence ):
R=sup{|z|:z∈VS,∑nanezne jednoduše konverguje }∈[0,+∞]=R+¯.{\ displaystyle R = \ sup \ left \ {| z |: z \ in \ mathbb {C}, \ sum a_ {n} z ^ {n} {\ text {jednoduše konverguje}} \ right \} \ in \ , [0, + \ infty] = {\ overline {\ mathbb {R} ^ {+}}}.}![{\ displaystyle R = \ sup \ left \ {| z |: z \ in \ mathbb {C}, \ sum a_ {n} z ^ {n} {\ text {jednoduše konverguje}} \ right \} \ in \ , [0, + \ infty] = {\ overline {\ mathbb {R} ^ {+}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d684fedeb9bf77d7e461f91af945df5bb5992432)
Vlastnosti
Pokud R je poloměr konvergence výkonové řady, pak je řada na otevřeném disku D (0, R ) od středu 0 a poloměru R absolutně konvergentní . Tento disk se nazývá konvergenční disk . Tato absolutní konvergence přináší to, co se někdy nazývá bezpodmínečná konvergence : hodnota součtu v kterémkoli bodě tohoto disku nezávisí na pořadí výrazů. Například máme:
-
∑ne=0∞nanezne=∑ne=0∞na2nez2ne+∑ne=0∞na2ne+1z2ne+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {2n} z ^ {2n} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {2n + 1} z ^ {2n + 1}}
;
-
∑ne=0∞∑k=0∞nanebkzne+k=(∑ne=0∞nanezne)(∑k=0∞bkzk) ∀|z|<min(R1,R2){\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a_ {n} b_ {k} z ^ {n + k}} = \ left ( \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n} \ right) \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} b_ {k} z ^ {k} \ right) \ \ \ forall | z | <\ min (R_ {1}, R_ {2})}
, kde a jsou poloměry konvergence dvou celých řad (viz Cauchyho součin ).R1{\ displaystyle R_ {1}}
R2{\ displaystyle R_ {2}}
Pokud má celá řada poloměr konvergence R , pak:
∑ne=0∞nanezne{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}}}
- konvergence je dokonce normální (tedy jednotná ) u jakéhokoli kompaktu zahrnutého do D (0, R ) ;
- pro jakýkoli komplex z takový, že | z | > R , řada se zhruba rozchází ;
- pro jakýkoli komplex z takový, že | z | = R , řada se může buď rozcházet, nebo konvergovat;
- inverze poloměru R je dána Cauchy-Hadamardovou větou : kde lim sup označuje horní hranici ;1R=lim supne→∞|nane|ne≤lim supne→∞|nane+1nane|{\ displaystyle {\ frac {1} {R}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right |}
![{\ frac 1R} = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ leq \ limsup _ {{n \ to \ infty}} \ vlevo | {\ frac {a _ {{n + 1}}} {a_ {n}}} \ vpravo |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1117538b63ed54f870b63a4e116a0c08b9836d34)
- pokud R není nula, pak je součet f celé řady holomorfní funkcí na D (0, R ) , kde máme
F(k)(z)=∑ne=k∞ne!(ne-k)!nanezne-k{\ displaystyle f ^ {(k)} (z) = \ součet _ {n = k} ^ {\ infty} {\ frac {n!} {(nk)!}} a_ {n} z ^ {nk} }
;
- je-li poloměr R nekonečný, pak se celá řada nazývá celá funkce .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
Tento článek je návrhem pro analýzu .