Vektorové rotace
Nechť E je euklidovský vektorový prostor . Vektor rotace z E je prvkem zvláštního ortogonální skupiny tak ( E ). Zvolíme-li k orthonormal základ z E , jehož matrice se v tomto základě je přímé ortogonální .
Plochá vektorová rotace
Matrix psaní
V orientované euklidovské vektorové rovině je rotace vektoru jednoduše definována jeho úhlem . Jeho matice v přímé ortonormální bázi je:
φ{\ displaystyle \ varphi \,}
(cosφ-hříchφhříchφcosφ){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatrix}}}
.
Jinými slovy, vektor komponent má pro obraz vektor komponent, který lze vypočítat s rovností matice:
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}
(X,y){\ displaystyle (x, y)}
PROTI→{\ displaystyle {\ vec {V}}}
(X′,y′){\ displaystyle (x ', y')}
(X′y′)=(cosφ-hříchφhříchφcosφ)(Xy){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}
,
to znamená, že máme:
X′=Xcosφ-yhříchφ{\ displaystyle x '= x \ cos \ varphi -y \ sin \ varphi \,}
a
y′=Xhříchφ+ycosφ{\ displaystyle y '= x \ sin \ varphi + y \ cos \ varphi \,}
.
Příklad
Pokud například a , označuje jeden z úhlů pravoúhlého trojúhelníku se stranami 3, 4 a 5. Příklady, které poskytují matice s racionálními koeficienty, můžeme znásobit tak, že použijeme pokaždé Pythagorovu trojici .
cosφ=0,8{\ displaystyle \ cos \ varphi = 0 {,} 8}
hříchφ=0,6{\ displaystyle \ sin \ varphi = 0 {,} 6}
φ{\ displaystyle \ varphi}
Složité psaní
To lze přirovnat k následujícímu vzorci napsanému se složitými čísly :
X′+i y′=(X+i y)(cosφ+ihříchφ){\ Displaystyle x '+ i \ y' = (x + i \ y) (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}
nebo:
z′=X′+i y′=(X+i y)⋅E iφ=z⋅E iφ{\ displaystyle z '= x' + i \ y '= (x + i \ y) \ cdot e ^ {\ i \ varphi} = z \ cdot e ^ {\ i \ varphi} \,}
.
Smysl otáčení
Když je mezi a a pokud je mapa orientována obvyklým způsobem, otáčení je ve směru proti směru hodinových ručiček (nebo „proti směru hodinových ručiček od hodinek“). Říkáme, že rotace je zlověstná. Pokud je mezi a , rotace je ve směru hodinových ručiček. Říká se, že je obratný.
φ{\ displaystyle \ varphi}0{\ displaystyle 0}
π{\ displaystyle \ pi}
φ{\ displaystyle \ varphi}-π{\ displaystyle - \ pi}
0{\ displaystyle 0}
Složení
Kompozit dvou vektorových rotací je vektorová rotace, jejíž úhel je součtem úhlů obou rotací, což se překládá tím, že skupina vektorových rotací je pro skupinu izomorfní .
(R/2πZ,+){\ displaystyle (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z}, +)}
Rotace a úhly
V axiomatické konstrukci geometrie založené na lineární algebře je to definice rovinných rotací, která umožňuje definovat pojem úhlu (viz také článek Úhel ).
Vektorová rotace v trojrozměrném prostoru
Matrix psaní
V orientovaném euklidovském prostoru dimenze 3 je vektorová rotace definována:
- jednotkový vektor , který určuje její osa: linie vektorů invariantních tímto vektorem otáčení je generovaná a orientovaných tímto vektorem;NE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}
- jeho úhel , úhel přidružené rotace vektoru roviny, omezení této rotace na rovinu kolmou k ose.φ{\ displaystyle \ varphi \,}Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} \,}
Orientace této roviny je dána volbou orientace osy. Páry, a proto představují stejnou rotaci prostoru.
(NE→,φ){\ displaystyle ({\ vec {N}}, \ varphi)}
(-NE→,-φ){\ displaystyle (- {\ vec {N}}, - \ varphi)}
Poznamenáme si souřadnice jednotkového vektoru na pevném přímém ortonormálním základě :
(neX,ney,nez){\ displaystyle \ left (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \ right)}
NE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}(i→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}}) \,}
neX2+ney2+nez2=‖NE→‖2=1{\ displaystyle n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} = \ | {\ vec {N}} \ | ^ {2} = 1}
.
Dovolit být libovolný vektor. Označme jeho obraz rotací .
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}PROTI→{\ displaystyle {\ vec {V}}}(NE→,φ){\ displaystyle ({\ vec {N}}, \ varphi)}
Jednoduchý speciální případ
Začněme studiem konkrétního případu .
NE→=k→{\ displaystyle {\ vec {N}} = {\ vec {k}}}
Rovina je pak rovina generovaná vektory a . Vektor se rozkládá na kolineární vektor, který je invariantní rotací, a vektor, který prochází úhlovou rotací v rovině , a můžeme použít vzorce určené v případě rotace vektoru roviny. Můžeme tedy napsat:
Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} \,}i→{\ displaystyle {\ vec {i}}}
j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}zk→{\ displaystyle z {\ vec {k}}}
NE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}Xi→+yj→{\ displaystyle x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}
φ{\ displaystyle \ varphi}Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi}}
Xi→+yj→{\ displaystyle x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}
z′=z{\ displaystyle z '= z \,}
a
jak je uvedeno výše,
(X′y′)=(cosφ-hříchφhříchφcosφ)(Xy){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}
které lze napsat syntetickou formou:
|
(X′y′z′)=(cosφ-hříchφ0hříchφcosφ0001)(Xyz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi & 0 \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}
|
Obecný případ
Pokud je jednotkový vektor nespecifikovaný ve srovnání s přímým ortonormálním základem, který se používá k vyjádření komponent, je uvažování delikátnější.
NE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}(i→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}}) \,}
Vektor se rozpadá na součet , kolineární s a invariantní rotací, a prvku, jehož prvek bude rotovat v této rovině. Vektor přímo kolmý na v rovině a stejné normy je , takže obraz v úhlové rotaci je .
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}(U→⋅NE→)NE→{\ displaystyle ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}}
NE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}Ž→=U→-(U→⋅NE→)NE→{\ displaystyle {\ vec {W}} = {\ vec {U}} - ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}}
Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} \,}Ž→{\ displaystyle {\ vec {W}}}
NE→∧Ž→{\ displaystyle {\ vec {N}} \ klín {\ vec {W}}}
Ž→{\ displaystyle {\ vec {W}}}φ{\ displaystyle \ varphi}(cosφ)Ž→+(hříchφ)NE→∧Ž→{\ displaystyle (\ cos \ varphi) {\ vec {W}} + (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ klín {\ vec {W}}}
Nakonec má smysl obrázek z rotace:
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}
PROTI→=(U→⋅NE→)NE→+(cosφ)Ž→+(hříchφ)NE→∧Ž→{\ displaystyle {\ vec {V}} = ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}} + (\ cos \ varphi) {\ vec {W}} + (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ klín {\ vec {W}}}
a pokud nahradíme jeho hodnotou , dostaneme:
Ž→{\ displaystyle {\ vec {W}}}U→-(U→⋅NE→)NE→{\ displaystyle {\ vec {U}} - ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}}
PROTI→=(U→⋅NE→)NE→+(cosφ)(U→-(U→⋅NE→)NE→)+(hříchφ)NE→∧U→{\ displaystyle {\ vec {V}} = ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}} + (\ cos \ varphi) ({\ vec {U} } - ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}) + (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ klín {\ vec {U} }}
odkud konečně vzorec rotace Rodrigues :
|
PROTI→=(cosφ) U→+(1-cosφ)(U→⋅NE→) NE→+(hříchφ)(NE→∧U→){\ displaystyle {\ vec {V}} = (\ cos \ varphi) \ {\ vec {U}} + (1- \ cos \ varphi) ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N} }) \ {\ vec {N}} + (\ sin \ varphi) \, \, \ doleva ({\ vec {N}} \ klín {\ vec {U}} \ doprava)}
|
.
Vzorec orámovaný výše poskytuje rotaci vektorového vyjádření obrazu libovolného vektoru .
PROTI→{\ displaystyle {\ vec {V}}}U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}(NE→,φ){\ displaystyle ({\ vec {N}}, \ varphi)}
Stejný výsledek můžeme představit v následující ekvivalentní maticové formě:
(X′y′z′)=M(Xyz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {pmatrix}} = M {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}
s:
|
M=(cosφ)(100010001)+(1-cosφ)(neX2neXneyneXnezneXneyney2neynezneXnezneyneznez2)+ (hříchφ)(0-nezneynez0-neX-neyneX0){\ displaystyle M = (\ cos \ varphi) {\ začátek {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} + (1- \ cos \ varphi ) {\ begin {pmatrix} n_ {x} ^ {2} & n_ {x} n_ {y} & n_ {x} n_ {z} \\ n_ {x} n_ {y} & n_ {y} ^ { 2} & n_ {y} n_ {z} \\ n_ {x} n_ {z} & n_ {y} n_ {z} & n_ {z} ^ {2} \ end {pmatrix}} + \ (\ sin \ varphi) {\ begin {pmatrix} 0 & -n_ {z} & n_ {y} \\ n_ {z} & 0 & -n_ {x} \\ - n_ {y} & n_ {x} & 0 \ konec {pmatrix}}}
|
.
Poznámky
Matice M se nazývá rotační matice . Jedná se o přímou ortogonální matici , což znamená, že její sloupce tvoří přímý ortonormální základ, nebo že její transponovaná matice se rovná její inverzní matici a že její determinant se rovná 1.
Naopak, vzhledem k jakékoli rotační matici snadno najdeme kosinus úhlu rotace. Opravdu, stopa matice (to znamená, že součet svých diagonálních prvků) je rovna . Dále si všimneme, že:
1+2cosφ{\ displaystyle 1 + 2 \ cos \ varphi \,}
M-tM=2(hříchφ)(0-nezneynez0-neX-neyneX0){\ displaystyle M - {} ^ {t} M = 2 (\ sin \ varphi) {\ begin {pmatrix} 0 & -n_ {z} & n_ {y} \\ n_ {z} & 0 & -n_ { x} \\ -n_ {y} & n_ {x} & 0 \ end {pmatrix}}}
což umožňuje rychle najít osu a sinus spojený s rotací. Geometricky a tvoří dvě strany kosočtverce, jehož vektor je diagonální, kolmý k ose otáčení. Je to pastilka Olinde Rodrigues .
MU→{\ displaystyle M {\ vec {U}}}
tMU→{\ displaystyle {} ^ {t} M {\ vec {U}}}
(M-tM)U→=2(hříchφ)NE→∧U→{\ displaystyle (M - {} ^ {t} M) {\ vec {U}} = 2 (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ klín {\ vec {U}}}
Použití čtveřic
Můžeme také použít pojem čtveřic . Ve skutečnosti můžeme vypočítat obraz vektoru pomocí produktu čtveřic v následující podobě:
PROTI→{\ displaystyle {\ vec {V}} \,}
U→{\ displaystyle {\ vec {U}} \,}
|
(0, PROTI→)=(0, R(φ,NE→)(U→))=(cosφ2, hříchφ2 NE→)⋅(0, U→)⋅(cosφ2, -hříchφ2 NE→){\ displaystyle (0, \ {\ vec {V}}) = \ left (0, \ \ mathbf {R} _ {\ left (\ varphi, {\ vec {N}} \ right)} ({\ vec {U}}) \ right) = (\ cos {\ frac {\ varphi} {2}}, \ \ sin {\ frac {\ varphi} {2}} \ {\ vec {N}}) \ cdot ( 0, \ {\ vec {U}}) \ cdot (\ cos {\ frac {\ varphi} {2}}, \ - \ sin {\ frac {\ varphi} {2}} \ {\ vec {N} })}
|
Složení dvou vektorových rotací
Sloučenina dvou vektorových rotací a prostoru dimenze 3 je vektorová rotace. Charakteristiky druhé jsou určeny z , kde je součin počátečních rotačních matic, nebo z součtu čtveřic definujících každou z rotací, nebo také složením Rodriguesových vzorců vztahujících se ke každé rotaci.
R2∘R1{\ displaystyle R_ {2} \ circ R_ {1}}
R1=(NE→1,φ1){\ displaystyle R_ {1} = ({\ vec {N}} _ {1}, \ varphi _ {1})}
R2=(NE→2,φ2){\ displaystyle R_ {2} = ({\ vec {N}} _ {2}, \ varphi _ {2})}
(NE→3,φ3){\ displaystyle ({\ vec {N}} _ {3}, \ varphi _ {3})}
M3-tM3{\ displaystyle M_ {3} - {} ^ {t} M_ {3}}
M3{\ displaystyle M_ {3}}
M2M1{\ displaystyle M_ {2} M_ {1}}
Zjistili jsme, že:
cos(φ32)=cos(φ12)cos(φ22)-hřích(φ12)hřích(φ22)(NE→1⋅NE→2){\ displaystyle \ cos ({\ frac {\ varphi _ {3}} {2}}) = \ cos ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) \ cos ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) - \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) ({\ vec {N}} _ {1} \ cdot {\ vec {N}} _ {2})}
hřích(φ32)NE→3=cos(φ12)hřích(φ22)NE→2+cos(φ22)hřích(φ12)NE→1+hřích(φ12)hřích(φ22)NE→2∧NE→1{\ displaystyle \ sin ({\ frac {\ varphi _ {3}} {2}}) {\ vec {N}} _ {3} = \ cos ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2 }}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {N}} _ {2} + \ cos ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2 }}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) {\ vec {N}} _ {1} + \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2 }}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {N}} _ {2} \ wedge {\ vec {N}} _ {1}}
Rotace v rozměru 4
Matice ortogonální skupiny SO (4) lze rovněž dát do kanonické formy (po diagonalizaci v C ); je ukázáno, že existují dvě ortogonální vektorové roviny , takže v ortonormální bázi složené ze dvou vektorů každé roviny je matice zapsána
(cosα-hříchα00hříchαcosα0000cosβ-hříchβ00hříchβcosβ){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha & 0 & 0 \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ cos \ beta & - \ sin \ beta \\ 0 & 0 & \ sin \ beta & \ cos \ beta \ end {pmatrix}}}
.
Vidíme tedy, že rotace se skládá ze dvou rovinných rotací, a zejména nemá pevný vektor (žádná „osa“), pokud jeden z úhlů α nebo β není nula (v tomto případě můžeme mluvit analogicky s trojrozměrným případem rotace „kolem“ roviny). Pokud jsou obě roviny jedinečné a jsou to jediné roviny globálně invariantní rotací; v případě, že (tzv. izoklinové rotace ) jsou všechny roviny generované vektorem a jeho obrazem globálně neměnné.
α≠β{\ displaystyle \ alpha \ neq \ beta}
α=±β{\ displaystyle \ alpha = \ pm \ beta}
Poznámky a odkazy
-
Jean Dieudonné , Lineární algebra a elementární geometrie , Paříž, Hermann ,1964, str.113 pro matematické studium a viz také předmluva: „Mám na mysli zejména neuvěřitelné zmatky a paralogismy, z nichž při tradičním pohledu vzniká tak jednoduchá představa jako o„ úhlu “. „že z pohledu lineární algebry nejde o nic jiného než o studium skupiny rotací v rovině.“, s. 13
-
Olinde Rodrigues , „ Geometrické zákony, kterými se řídí posuny pevného tělesa v prostoru, a variace souřadnic vyplývající z těchto posunů, které se berou v úvahu nezávisle na příčinách, které je mohou způsobit “ , Journal of pure and applied mathematics ,1840, str. 380-440, konkrétněji str. 403
-
Olindes Rodrigues, op. cit., konkrétněji str. 408
Podívejte se také
Související články
Externí odkaz
Používání DCM
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">