V matematice je harmonická řada je řada z reálných čísel . Jedná se o sérii inverzí z nenulových přirozených čísel . Pojme svůj název analogicky s harmonickým průměrem , stejně jako lze aritmetické a geometrické řady srovnávat s aritmetickými a geometrickými prostředky .
Je součástí větší rodiny Riemannovy řady , které se používají jako referenční řady: povaha řady je často určena jejím porovnáním s Riemannovou řadou a použitím srovnávacích vět .
Obecný pojem ( u n ) harmonické řady je definován vztahem
.Volal n - té harmonické číslo (běžně označované H n ) n -tý dílčí součet harmonické řady, který se tedy rovná
.Výpočtem prvních dílčích součtů harmonické řady se ukazuje, že posloupnost získaných čísel roste , ale roste pomalu: dalo by se věřit, že jde o konvergentní řadu .
Hodnota n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Přibližná hodnota H n | 1 | 1.5 | 1.8 | 2.1 | 2.3 | 2.5 | 2.6 | 2.7 | 2.8 | 2.9 | 3.0 | 3.1 | 3.2 | 3.25 | 3.32 | 3.38 | 3.44 | 3.49 | 3.55 | 3,60 |
Harmonická řada se ve skutečnosti rozchází , její dílčí součty mají sklon k + ∞ .
Hodnota n | 10 | 10 2 | 10 3 | 10 4 | 10 5 | 10 6 | 10 7 | 10 8 | 10 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Přibližná hodnota H n | 2.9 | 5.2 | 7.5 | 9.8 | 12.1 | 14.4 | 16.7 | 19.0 | 21.3 |
V tabulce výše pokaždé, když vynásobíme hodnotu n číslem 10, zdá se, že k H n přidáme konstantu řádově 2,3 ≃ ln (10) . Toto zdánlivé chování je logaritmické v n . Toho dosáhneme provedením další asymptotické studie.
První demonstraci divergence harmonické řady má na svědomí Nicole Oresme , publikovaná v Questiones super geometriam Euclidis (1360). Spočívá v upozornění, že:
H 4 = 1 +12 + (13 + 14) ≥ 1 + 12 + (14 + 14) = 1 + 12 + 12 H 8 = 1 +12 + (13 + 14) + (15 + 16 + 17 + 18) ≥ 1 + 12 + (14 + 14) + (18 + 18 + 18 + 18) = 1 + 12 + 12 + 12a tak dále, H indexu o síle 2 roste neurčitě.
Můžeme také ukázat, že posloupnost ( H n ) má tendenci k + ∞ tím, že si všimneme, že pro všechna n , H 2 n - H n ≥12, proto, že toto pokračování není pokračováním Cauchyho .
Můžeme také porovnat harmonickou řadu s dobře zvolenou teleskopickou řadou.
.Pak je obecný člen divergentní řady s kladnými termíny, takže pro srovnání se také harmonická řada rozchází.
Výsledek můžeme také ukázat pomocí metody sériovo-integrálního srovnání (to je něco, co je navíc skryto v „rozumné“ volbě teleskopické řady).
Všechny podmínky asymptotického vývoje lze získat například metodou sériový integrál .
Používáme následující rámec spojený s poklesem inverzní funkce
Sečtením levé nerovnosti od 1 do N a u pravé sečtením od 2 do N a přidáním 1 se dostaneme na
Potom výpočtem dva členy a tím, že poznamená, že jsou oba ekvivalentní k ln N , dostaneme:
Sekvence ( H n - ln n ) připouští konečnou hranici, která se tradičně zaznamenává u řeckého písmene γ a nazývá se Euler-Mascheroniho konstanta . Máme tedy Eulerův vzorec :
.Prvních šest číslic desetinného rozšíření Eulerovy konstanty je:
Metoda je podrobně uvedena v článku integrální porovnání řady a zobecněna na další řady (získání Euler-Maclaurinova vzorce ); první podmínky vývoje jsou
Obecný pojem ( u n ) ze střídajících se harmonická řada je definován
Jde tedy o variantu harmonické řady. Střídání znaků mění vše, protože tato řada konverguje, kritériem konvergence střídavé řady . Můžeme použít výše uvedený Eulerův vzorec, abychom znovu dokázali jeho konvergenci a určili jeho součet:
.Jediná desetinná harmonická čísla jsou H 1 = 1 , H 2 = 1,5 a H 6 = 2,45 .
Pro jakékoli prvočíslo p ≥ 5 je čitatel z H p -1 je dělitelný o p 2 .
Další vlastnosti najdete v podrobném článku.
Harmonická řada se objevuje v mnoha problémech rekreační matematiky , kde její pomalá divergence vede k neintuitivním, ba paradoxním výsledkům.
V problému se stohováním bloků pečlivý výpočet ukazuje, že je teoreticky možné skládat oblouk vytvořený ze stejných domino, aby se získal převis tak široký, jak si jeden přeje, přičemž převis získaný z domino o délce 2 je -té harmonické číslo
Podobně v problému mravence na gumičce , jak se mravenec pohybuje vpřed rychlostí jednoho centimetru za minutu a pružnost, která zpočátku měří jeden metr, se natáhne o jeden metr za sekundu, mravenec nakonec dosáhne jiného extrému: zlomek pásu, který prochází za n sekund, je a řada se bude lišit, toto číslo nutně skončí přesahující 1 (doba křížení je však nepřiměřeně dlouhá, řádově e 6000 sekund, tj. více než 10 2000 let ).
Harmonická řada se také objevuje v problému přechodu přes poušť , kde jeep musí projít pouští, která má na své cestě možnost ukládat palivo; vzdálenost, kterou lze ujet, je tak dlouhá, jak dlouho chcete, ale počet úsad (a množství spotřebovaného paliva) roste se vzdáleností exponenciálně.