V matematice umožňuje pojem řady zobecnit pojem konečného součtu .
Vzhledem k posloupnosti obecného členu u n je studium řady obecného členu u n studium posloupnosti získané součtem prvních členů posloupnosti ( u n ) , jinými slovy posloupnost obecného členu S n definovanou prostřednictvím :
.Studium řady může projít hledáním zjednodušeného psaní příslušných konečných součtů a možným hledáním konečné hranice, když má n sklon k nekonečnu. Pokud tento limit existuje, říká se, že řada je konvergentní, a limit posloupnosti ( S n ) se pak nazývá součet řady a zaznamená se .
Protože výpočet konečné částky nelze vždy zjednodušit, určitý počet metod umožňuje určit povahu ( konvergenci či nikoli) řady bez provedení výpočtů výslovně. Některá pravidla výpočtu konečných součtů však tato představa řady, jako je komutativita nebo asociativita , nutně nezachovává , to znamená možnost permutovat podmínky posloupnosti nebo přeskupit určité mezery mezi nimi, aniž by došlo ke změně konvergence nebo součet série.
Pojem řady lze rozšířit na nekonečné součty, jejichž členy u n nemusí být nutně čísla, ale například vektory , funkce nebo matice .
Řadu obecného výrazu x n lze formálně definovat jako dvojici tvořenou dvěma apartmány a . Termín řádu n druhé posloupnosti ,, je součtem prvních n + 1 členů posloupnosti , nazývaný také částečný součet řádu n . Posloupnost se nazývá posloupnost dílčích součtů řady členů x n .
Lze tedy zapsat posloupnost dílčích součtů spojených s řadou obecných členů x n :
.Tyto číselné řady jsou série jehož termíny x n jsou reálná čísla nebo komplexní čísla . Existují také vektorové řady, jejichž pojmy jsou vektory určitého vektorového prostoru . Je tak možné studovat například řadu matic nebo řadu funkcí . Označíme řadu obecných výrazů x n : nebo .
Říci, že numerická řada je konvergentní, znamená ze své podstaty, že posloupnost dílčích součtů je konvergentní; jeho limit S se pak nazývá součet řady, je třeba poznamenat , a její výpočet je součtem řady. Jinak se o sérii říká, že se liší .
O dvou sériích se říká, že mají stejnou povahu, pokud jsou konvergentní nebo divergentní.
Mluvíme o absolutně konvergentní řadě, když obecný termín série | x k | je sama o sobě konvergentní ( | x | znamená, zde „ absolutní hodnotu o x “, pokud x je reálné číslo, „ modul o x “, pokud x je komplexní číslo , normu , pokud se jedná o prvek normalizované vektorového prostoru). Pokud je řada konvergentní, aniž by byla absolutně konvergentní, pak mluvíme o semi-konvergentní řadě .
Skutečnost, že řada může být konvergentní, řeší mnoho problémů, jako některé Zenoovy paradoxy . Na druhou stranu je vzácné, že víme, jak explicitně vypočítat součet řady. Kromě některých klasických výpočtů má teorie řad za cíl určit povahu řady bez výpočtu posloupnosti dílčích součtů a případně přistoupit k přibližnému výpočtu součtu.
Pokud řada konverguje, její obecný člen má tendenci k nule. Konverzace je nepravdivá (příklad harmonické řady , jejíž obecný termín má sklon k nule, přičemž je odlišný). Pokud řada nesplňuje tuto podmínku, říká se, že se zhruba odchyluje .
Série obecného členu (1/2) n je konvergentní a její součet se rovná: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ = 2.
Je možné „vizualizovat“ jeho konvergenci na reálné linii: lze si představit segment délky 2, který je rozřezán na po sobě jdoucí segmenty délky 1, 1/2, 1/4 atd. K označení dalšího segmentu je vždy dostatek prostoru, protože zbývající délka se neustále rovná délce právě označeného segmentu. Když jsme skórovali 1/2, zbývá neoznačený 1/2 kus délky, takže můžeme určitě ještě označit další 1/4. Tento argument nemůže v žádném případě sloužit jako ukázka toho, že součet všech délek segmentů je roven 2, ale umožňuje nám uhodnout, že tento součet zůstane menší než 2, a proto se posloupnost dílčích součtů zvyšuje a zvyšuje .
Tato řada je geometrická řada ; prokazujeme jeho konvergenci zápisem pro libovolné přirozené číslo n , jeho dílčí součet na hodnosti n, který se rovná:
.Geometrická posloupnost rozumu 1/2 je konvergentní a nulové hranice proto
Pokud je řada konvergentní, pak pro jakékoli přirozené číslo n existuje součet a . Termín R n se nazývá zbytek řádu n řady .
Je snadné iteračním procesem vypočítat člen posloupnosti dílčích součtů. Pro konvergentní řady, a pro jakýkoli přírodní n , vztah mezi součtem, dílčí součet řádu n a zbytek řádu n je napsáno Pokud tedy víme, jak omezit zbytek, lze částečný součet považovat za přibližnou hodnotu součtu se známou nejistotou .
Obecný výraz je možné najít ze sledu dílčích součtů podle vzorců
Jakýkoli částečný součet je tedy posloupnost, ale jakákoli posloupnost je také částečný součet (spojený s řadou rozdílů po sobě jdoucích členů, s prvním nulovým členem). V závislosti na případu bude výhodné považovat posloupnost za částečný součet nebo naopak, v závislosti na jednoduchosti analýzy pojmů.
Navíc, pokud je řada konvergentní, pak posloupnost konverguje k 0. Ve skutečnosti, pokud předpokládáme, že řada konverguje a má součet S , pak máme . Hovořit je false (můžeme vzít harmonickou řadu jako protipříklad). Když obecný člen řady nemá tendenci k 0, říká se, že je triviálně nebo hrubě odlišný .
Příklady: je hrubě odlišná řada ; na druhou stranu, protože ačkoli má obecný termín sklon k nule, nelze se rozhodnout bez dalších vět.
S otázkou překročení limitu úzce souvisí úvaha o skutečných nekonečných částkách . Trvalá absence uspokojivých konceptů vyvolala mnoho otázek a spekulací, jako jsou paradoxy Zeno . V Archimedes ( La quadrature de la parabole ) však již nacházíme první explicitní součty s geometrickými průběhy jako 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ .
V Anglii, Richard Suiseth ( XIV th století ) vypočítá součet řady s obecným termínem n / 2 n a současných Nicole Oresme uvádí, že harmonická řada (obecný termín 1 / n ) rozchází. Ve stejné době byl indický matematik a astronom Madhava první, kdo začal uvažovat o vývoji trigonometrických funkcí ve formě řady, Taylorovy řady, trigonometrické řady. Používá tyto koncepty pro aproximační výpočty (zejména pro odhad počtu π ) a provádí odhady chyby. Rovněž zavádí první konvergenční kritéria. V jeho práci pokračovali jeho nástupci ze školy v Kérale v jižní Indii a jsou nám známí z knihy Yuktibhasa .
V XVII -tého století , James Gregory nově objevený několik z těchto výsledků, včetně vývoje goniometrických funkcí pomocí Taylorovy řady a to arctan funkce pro výpočet π . V roce 1715 vytvořil Brook Taylor obecnou konstrukci řady, která nese jeho jméno, plodné spojení s diferenciálním počtem. V XVIII th století také, Leonhard Euler založili mnoho vynikajících vztahů na sérii a zavádí hypergeometric série .
Je zřídka možné explicitně vypočítat všechny podmínky posloupnosti dílčích součtů.
Existuje řada pravidel pro série s kladnými výrazy. Všechny jsou založeny na principu srovnání: pokud pro jakékoli celé číslo n máme , pak
To zůstává pravdou, pokud předchozí nerovnosti již nemáme pro celé číslo n , ale pro celé číslo n „dostatečně velké“ (tj. Z určité pozice), a vede k následujícímu výsledku:
U těchto řad s kladnými výrazy je proto nutné určit povahu určitých referenčních řad (například geometrické řady nebo Riemannovy řady) a poté je porovnat s těmito řadami.
Studium sérií se skutečnými nebo složitými výrazy bez jakékoli zvláštní hypotézy může představovat další problémy. Dostatečná podmínka má velký význam: pokud konverguje řada absolutních hodnot (řada se skutečnými členy) nebo modulů (řada se složitými členy) , pak řada také konverguje. Pak se o něm říká, že je naprosto konvergentní .
Existují řady, které konvergují, aniž by byly absolutně konvergentní, jako střídavé harmonické řady . Více technických studijních metod pro tento typ řady ( konvergenční kritérium střídavé řady , Ábelova věta atd.) Jsou uvedeny v podrobném článku Konvergentní řady .
Poznámka: konvergenční kritéria týkající se řad s kladnými výrazy se nemusí obecně vztahovat. Typickým příkladem je série .
Je konvergentní, protože se jedná o střídavou řadu, jejíž obecný člen má sklon k nule snížením absolutní hodnoty, ale ne absolutně konvergentní: řada absolutních hodnot je divergentní Riemannova řada.
Na druhé straně řada je divergentní . Tento příklad ilustruje dva jevy:
Kritérium srovnání mezi řadou a integrálem je velmi užitečné, je to to, co umožňuje určit zejména konvergenci nebo divergenci řady Riemanna a Bertranda.
Dovolme být klesající a pozitivní funkcí. Potom jsou řada a integrál současně konvergentní nebo divergentní.
Pokud E je normalizovaný vektorový prostor, o řadě, jejíž členy mají hodnoty v E, se říká, že jsou konvergentní, když konverguje posloupnost částečných součtů pro vybranou normu. Pokud má E konečnou dimenzi, všechny volby norem poskytnou stejný pojem konvergence.
V případě Banachových prostor lze uvést mnoho konvergenčních kritérií, protože stačí prokázat absolutní konvergenci řady, abychom ukázali, že konverguje (v tomto případě mluvíme o normální konvergenci ). To často umožňuje uzavřít řadu studijních nástrojů pozitivně.
Obecněji lze pojem řady definovat v jakékoli topologické abelianské skupině .
Formálně je řada funkcí jednoduše řadou, jejíž obecný termín patří do vektorového prostoru funkcí . Tak exponenciální funkce je součtem řady napájecích funkcí od
.Existuje mnoho neekvivalentních způsobů definování konvergence takové řady, jako v případě posloupnosti funkcí . Nejklasičtější jsou nepochybně jednoduchá konvergence a uniformní konvergence . Existuje velké množství vět podrobně popisujících, v závislosti na typu konvergence, zda je možné provádět výpočty, jako je odvození nebo integrace funkce součtu řady.
Tyto trigonometrické řady se získá jako součet sinusové funkce frekvence NF , kde f je daná referenční frekvence. Zásadní otázkou v harmonické analýze je možnost zobrazit danou periodickou funkci jako součet trigonometrické řady: její Fourierovy řady .
Většinu obvyklých funkcí v matematice lze lokálně reprezentovat Taylorovou řadou . Jedná se o řady, jejichž obecný termín je psán s mocí jedné proměnné; oni se nazývají celá série . Ale pouze v určitých případech.
PříkladyHistoricky matematici jako Leonhard Euler pracovali volně s řadami, i když nebyli konvergentní. Když se základy výpočtu byly pevně stanoveny v XIX th století, bylo zapotřebí přísné důkazy konvergence řad. Avšak formální výpočty s řadami (ne nutně konvergentní) jsou počátkem formálních řad v kruzích, obecně v algebře, ale také v kombinatorické algebře k popisu a studiu určitých sekvencí díky jejich generujícím funkcím .
Série jsou pouze nejjednodušším příkladem formalizace pojmu nekonečný součet. Existují i jiné definice, náročnější nebo naopak pružnější.
V definici součtů konvergentních řad existuje výpočet konečné sumy, následovaný přechodem k limitu. Tento druhý krok přechodu na limit znamená, že výraz „nekonečný součet“ není správný, aby kvalifikoval řadu. Taková „suma“ není ve skutečnosti komutativní ani asociativní . Rovněž není možné obecně odvodit takový součet po jednotlivých termínech s ohledem na parametr.
Tyto summable rodiny mají vlastnosti, které jim dávají mnoho dalších titulů, které mají být nazýván „neomezené částky.“ Zatímco v případě řady přidáme výrazy v pořadí posloupnosti indexů u 0 , u 1 , ... pak u n , pojem součet rodiny vyžaduje získání stejného výsledku bez ohledu na pořadí, ve kterém jsou součty jsou prováděny . U sčítatelných rodin je tedy vlastnost komutativity sama o sobě pravdivá.
Metody sumace jsou slabší typy konvergence, které umožňují definovat součet určitých divergentních řad. Například Cesarův proces sčítání dává výsledek 1/2, když sčítáme řadu Grandi
Je definována postupným výpočtem průměrů prvních n členů posloupnosti dílčích součtů a přechodu k limitu.
Dalšími nejklasičtějšími metodami součtu jsou Abelův součet a Borelův součet .