Charakteristický podprostor
Definice
Nechť E je K - konečný rozměrný vektorový prostor , u endomorphism z E a? O eigenvalue o u .
- nazývá se zobecněný vlastní vektor , spektrální podprostor nebo vlastní prostor zobecněný na u spojený s vektorovým podprostorem λ
![{\ displaystyle N _ {\ lambda} (u) = \ ker \ left [(u- \ lambda {\ rm {Id}}) ^ {m} \ right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71847c3fbc1d86504fe681821ccd31c7c277120b)
Id bytí mapa identity a jsem na mnohost a lambda v minimálním polynomu o u . Tento exponent m je ten, pro který jádro ve vzorci dosáhne své maximální dimenze: pokud je nahrazeno větší hodnotou, jádro se již nemění. Z tohoto důvodu můžeme také vzít multiplicitu λ v charakteristickém polynomu , protože to je vždy m , podle Cayley-Hamiltonovy věty .
- vektor x je zobecněný vlastní vektor z u spojena s lambda, pokud x není nula, a pokud existuje celé číslo k, ≥ 1 takové, že x ∈ ker [( u - λ Id ) K ], jinými slovy, pokud x ∈ N λ ( u ) \ {0}.
Zájem
Charakteristické podprostory jsou používány při charakterizaci trigonalization části s endomorphism . Ve skutečnosti je endomorfismus u vektorového prostoru E trigonalizovatelný právě tehdy, když E je (přímým) součtem charakteristických podprostorů u , tj. Právě tehdy, když existuje základ E tvořený zobecněnými vlastními vektory u . Tato charakterizace se připojuje k té, která je dána pomocí charakteristického polynomu, který musí být rozdělen, aby mohl být endomorfismus trigonalizován.