Systém lineárních rovnic

V matematiky a zejména v lineární algebře , je soustava lineárních rovnic je systém rovnic sestavených z lineárních rovnic , které se vztahují ke stejným neznámých. Například :

{\ begin {cases} 2x_ {1} + {\ frac {3x_ {2}} {2}} + x_ {3} = - 1 \\ {\ frac {x_ {1}} {2}} + x_ { 2} + 3x_ {3} = 4 \\ 2x_ {1} + 3x_ {2} + {\ frac {x_ {3}} {4}} = 3 \ end {případů}}

Problém je najít hodnoty neznámých , a které splňují tři rovnice současně. $x_ {1}$ $x_ {2}$ $x_ {3}$

Řešení soustav lineárních rovnic patří k nejstarším problémům v matematice a objevují se v mnoha oblastech, jako je digitální zpracování signálu , lineární optimalizace nebo aproximace nelineárních problémů v numerické analýze . Efektivní způsob řešení soustavy lineárních rovnic je dán Gauss-Jordanovou eliminací nebo Choleského rozkladem nebo rozkladem LU . V jednoduchých případech lze použít také Cramerovo pravidlo .

Matematické definice

Obecně lze soustavu m lineárních rovnic s n neznámými napsat v následující podobě:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + \ tečky + a_ {1, n} x_ {n} = b_ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + \ tečky + a_ {2, n} x_ {n} = b_ {2} \\\ vdots \ \\ vdots \\ a_ {m, 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + \ dots + a_ {m, n} x_ {n} = b_ {m} \ end {matrix} } \ že jo.}

Kde jsou neznámé a čísla jsou koeficienty systému. $x_ {1}, \ tečky, x_ {n}$ $a_ {i, j}$

Příklad

Systém 2 lineárních rovnic se 2 neznámými je systém tvaru

{\ displaystyle (S) \ quad \ left \ {{\ begin {matrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {matrix}} \ right.}

Řešením je nalezení všech hodnot, které musí být dány každé neznámé současně, aby všechny rovnosti byly pravdivé. $(S)$

Systém lineárních rovnic lze také napsat v maticové podobě :

Sekera = b

A = {\ begin {pmatrix} a _ {{1,1}} a _ {{1,2}} & \ cdots & a _ {{1, n}} \\ a _ {{2,1} } & a _ {{2, 2}} & \ cdots & a _ {{2, n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{m, 1}} & a _ {{m, 2}} & \ cdots & a_ {{m, n}} \ end {pmatrix}}; \ qquad x = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {et}} \ quad b = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\\ vdots \\ b_ { m} \ end {pmatrix}}

Homogenní systém

Systém formuláře:

{\ displaystyle Ax = 0}

se nazývá soustava homogenních lineárních rovnic. Všechny homogenní systémy připouštějí alespoň jedno řešení:

{\ displaystyle x_ {1} = 0 \; \ x_ {2} = 0 \; \ \ tečky \; \ x_ {n} = 0}

Toto řešení je nulové nebo triviální řešení .

Počet řešení soustavy rovnic

Pokud je pole nekonečné (jak je to pro reálná čísla a pro komplexní čísla ), pak jsou pro libovolný daný systém lineárních rovnic s n neznámými možné pouze následující tři případy :

systém nemá řešení (pro homogenní systém je tento případ nemožný);
systém má jedinečné n -upletové řešení;
Systém má nekonečno n -tuples roztoky (pro homogenní systém obsahující ostře menší než n rovnice, jsme vždy v tomto 3 třetím případě).

Neexistuje pravidlo přesnější než pro systém nezávislých lineárních rovnic s n neznámými. Existují tedy:

žádné řešení, pokud je počet rovnic přísně větší než n ;
jedinečné řešení, když je počet rovnic roven n ;
nekonečno řešení (na nekonečném poli), kdy se počet rovnic je přísně nižší než n (například řešení soustavu dvou kartézských rovnic z secant rovin , v afinního prostoru rozměru n = 3, spočívá v poskytnutí parametrické rovnice z linie průsečíku těchto dvou rovin).

Příklad rovnice se 2 neznámými, která má nekonečno řešení

Rovnice má nekonečno řešení. Pokud vezmeme za hodnotu , dostaneme: ${\ displaystyle 4x + 2y = -1}$ $X$ $1$

${\ displaystyle 4 \ krát 1 + 2y = -1}$ ;
${\ displaystyle 4 + 2y = -1}$ ;
${\ displaystyle 2y = -5}$ ;
${\ displaystyle y = {\ dfrac {-5} {2}}}$ .

Obecněji tato rovnice určuje hodnotu pro jakoukoli volbu hodnoty : $y$ $X$

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} 4x + 2y = -1 & \ Leftrightarrow 2y = -1-4x \\ & \ Leftrightarrow y = {\ dfrac {-1-4x} {2}} \\ & \ Leftrightarrow y = -0 {,} 5-2x. \ Konec {zarovnáno}}}

Systémy 2 lineárních rovnic se 2 neznámými

Nejjednodušší typ lineárního systému zahrnuje dvě rovnice a dvě proměnné:

{\ displaystyle (S) \ quad \ left \ {{\ begin {matrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {matrix}} \ right.}

Takový systém lze vyřešit substitucí .

Grafická interpretace

To nám umožní stanovit užitečné věty pro následující.

Každá rovnice systému definuje afinní funkci , a proto je v souřadném systému představována přímkou. Zlato: $(S)$

souřadnice průsečíku dvou přímek představují řešení ; $(S)$
dva řádky mají:
- buď jediný průsečík;
- buď žádný průsečík;
- to znamená nekonečno průsečíků.

Proto následující věta:

Věta 1 : Systém má: $(S)$

buď jediné řešení;
buď žádné řešení;
to znamená nekonečno řešení.

Dokazujeme také následující větu:

Věta 2 : Systém připouští pouze jedno řešení, a to pouze v případě, že počet není nula. $(S)$ ${\ displaystyle ad-bc}$

Nazýváme je determinant systému . ${\ displaystyle ad-bc}$ $(S)$

Příklad grafického rozlišení : Buď systém

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x-y = 2. \ end {matrix}} \ right.}

První rovnice je ekvivalentní ( viz výše ). ${\ displaystyle y = -0 {,} 5-2x}$

Druhá rovnice odpovídá:

${\ displaystyle 3x-y = 2}$ ;
${\ displaystyle -y = 2-3x}$ ;
${\ displaystyle y = - (2-3x) = 3x-2}$ .

Vynesením čar příslušných rovnic a vidíme, že jejich průsečík je . Řešením systému je a . ${\ displaystyle y = -0 {,} 5-2x}$ ${\ displaystyle y = 3x-2}$ ${\ displaystyle (0 {,} 3, -1 {,} 1)}$ ${\ displaystyle x = 0 {,} 3}$ ${\ displaystyle y = -1 {,} 1}$

Algebraické rozlišení

Výše uvedená Gauss-Jordanova eliminace platí pro všechny tyto systémy, i když koeficienty pocházejí z libovolného pole.

Existují dvě apriorně odlišné metody, které jsou však založeny na stejném základním principu: eliminaci neznámého. Pojďme je podrobně popsat na příkladu.

Substituční metoda

Vezměme si například systém: ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x-y = 2 \ end {matrix}} \ right.}$

První rovnice nám umožňuje vyjádřit jako funkci . Přesněji řečeno, je to ekvivalentní k ( viz výše ). Takže pojďme nahradit tím ve druhé rovnice. My máme : $y$ $X$ ${\ displaystyle y = -0 {,} 5-2x}$ $y$ ${\ displaystyle -0 {,} 5-2x}$

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} 3x - (- 0 {,} 5-2x) = 2 & \ Leftrightarrow 3x + 0 {,} 5 + 2x = 2 \\ & \ Leftrightarrow 5x + 0 {,} 5 = 2 \\ & \ Leftrightarrow 5x = 1 {,} 5 \\ & \ Leftrightarrow x = {\ dfrac {1 {,} 5} {5}} = 0 {,} 3. \ end {zarovnáno}}}

Systém je tedy ekvivalentní :

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = -0 {,} 5-2x \\ x = 0 {,} 3 \ end {cases}}.}

Nahrazení od v první rovnice, se získá: . $X$ ${\ displaystyle 0 {,} 3}$ ${\ displaystyle y = -0 {,} 5-2 \ krát 0 {,} 3 = -0 {,} 5-0 {,} 6 = -1 {,} 1}$

Systém má tedy jediné řešení: pár . ${\ displaystyle (x, y) = (0 {,} 3, -1 {,} 1)}$

Kombinovaná nebo eliminační metoda

Tato metoda se také nazývá „metoda lineární kombinací“.

Příklad : Vezměme si systém

{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 3x-y & = 2 \ end {cases}}}

Ekvivalentní Získá se systém, pomocí udržování první řádek a vynásobením druhý o 2 potom přidáním první, takže se eliminuje . Systém se stává: $y$

{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 2 \ krát 3x-2 \ krát y & = 2 \ krát 2 \ konec {případů}}}

, to znamená

{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 6x-2y & = 4 \ end {cases}}}

pak (přidáním):

{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ 10x & = 3 \ end {cases}}}

, to znamená

{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = - 1 \\ x & = {\ dfrac {3} {10}}. \ end {cases}}}

Pojďme nahradit s v prvním řádku. Ona se stane : $X$ ${\ displaystyle {\ dfrac {3} {10}} = 0 {,} 3}$

${\ displaystyle 4 \ krát 0 {,} 3 + 2y = -1}$ ;
${\ displaystyle 1 {,} 2 + 2y = -1 \,}$ ;
${\ displaystyle 2y = -1-1 {,} 2 = -2 {,} 2}$ ;
${\ displaystyle y = {\ dfrac {-2 {,} 2} {2}} = - 1 {,} 1}$ .

Počáteční systém je tedy ekvivalentní s

{\ displaystyle {\ begin {cases} y & = - 1 {,} 1 \\ x & = 0 {,} 3 \ end {cases}}}

Zjistili jsme tedy, že má jedinečné řešení: pár . ${\ displaystyle (0 {,} 3, -1 {,} 1)}$

Obecný případ

Obecně platí, že systém formuláře

\ left \ {\ begin {matrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {matrix} \ right.

jehož determinant není nula má pouze pro řešení: ${\ displaystyle ad-bc}$

x = {\ begin {vmatrix} e & b \\ f & d \ end {vmatrix} \ over \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = {ed - bf \ over reklama - bc}, \ quad y = {\ begin {vmatrix} a & e \\ c & f \ end {vmatrix} \ over \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = { af - ec \ over ad - bc}.

Systém 3 rovnic se 3 neznámými

Systémy 3 rovnic se 3 neznámými jsou také řešeny tímto způsobem:

Substituční metoda

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + 10y-3z = 5 \ quad [1] \\ 2x-y + 2z = 2 \ quad [2] \\ - x + y + z = -3 \ quad [3] \ end {matrix}} \ vpravo.}

Abychom vyřešili tento systém 3 rovnic se 3 neznámými, izolováme neznámou v jedné z rovnic. V tomto systému izolujeme neznámé x v rovnici [1]

[1] .

{\ displaystyle x = -10y + 3z + 5}

Nyní nahradíme neznámé v rovnicích [2] a [3], což dá k řešení soustavu 2 rovnic se 2 neznámými. $X$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} 2 (-10y + 3z + 5) -y + 2z = 2 [2] \\ - (- 10y + 3z + 5) + y + z = -3 [ 3] \ end {matrix}} \ vpravo.}

Po nalezení a nahradíme je v rovnici [1] . $y$ $z$ $X$

Metoda eliminace

{\ displaystyle {\ begin {cases} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ 2x & + & 2y & - & z & = 2 & [2] \\ - x & + & y & + & z & = - 3 & [3] \ end {cases}}}

K vyřešení tohoto systému lze vyloučit například v rovnicích [2] a [3] jejich nahrazením rovnicemi [2 ']: = –2 × [1] + [2] a [3']: = [1] + [3]. Protože tato transformace je reverzibilní ([2] = [2 '] + 2 × [1] a [3] = [3'] - 1), je původní systém ekvivalentní novému systému $X$

{\ displaystyle {\ begin {cases} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ && 8y & - & 21z & = - 8 & [2 '] \\ && - 2y & + & 11z & = 2 & [3 '] \ end {cases}}}

Potom stačí vyloučit další neznámý faktor, například v rovnici [3 '], a to tak, že tento druhý (opět reverzibilně) nahradíme 4 × [3'] + [2 ']. Systém je tedy ekvivalentní následujícímu systému, který je rozložený (a dokonce trojúhelníkový ): $y$

{\ displaystyle {\ begin {cases} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ && 8y & - & 21z & = - 8 & [2 '] \\ &&&& 23z & = 0 & [3 ''] \ end {cases}}}

Rovnice [3 "] určuje, kdo bude nahrazen rovnicí [2 '] . Tyto dvě hodnoty nahrazené rovnicí [1] určí . $z$ $y$ $X$

Tato metoda je zobecněna na systémy zahrnující více rovnic a více neznámých a přebírá název metody Gaussian pivot .

Poznámky a odkazy

Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku s názvem „ Systém rovnic (elementární matematika) “ (viz seznam autorů ) .