Fourierova transformace

Podtřída	Integrální transformace
Pojmenováno odkazem na	Joseph Fourier
Aspekt	Fourierova analýza ( in )
Vzorec	${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x ) e ^ {- ix \ omega} \, dx}$

V analýze je Fourierova transformace je rozšíření, pro jiné než periodických funkcí , z řady rozšíření Fourierovy periodických funkcí . Fourierova transformace je spojena s integrovatelnou funkcí definovanou na ℝ a se skutečnými nebo komplexními hodnotami, další funkce na ℝ se nazývá Fourierova transformace, jejíž nezávislou proměnnou lze ve fyzice interpretovat jako frekvenci nebo pulzaci .

Fourierova transformace představuje funkci podle spektrální hustoty, ze které pochází, jako průměr trigonometrických funkcí všech frekvencí. Teorie měření tak i teorie distribucí , aby bylo možné důsledně definovat Fourierova transformace v celé své obecnosti, že hraje zásadní roli v harmonické analýzy .

Když funkce představuje fyzický jev, jako je stav elektromagnetického pole nebo akustické pole v bodě, nazývá se to signál a jeho Fourierova transformace se nazývá jeho spektrum .

Fourierova transformace pro integrovatelné funkce

Definice

Fourierova transformace je operace, která transformuje integrovatelnou funkci na ℝ na jinou funkci, která popisuje její frekvenční spektrum . Pokud je $f$ integrovatelná funkce na ℝ, je její Fourierova transformace funkcí danou vzorcem: ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f) = {\ hat {f}}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f): \ xi \ mapsto {\ hat {f}} (\ xi) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \, \ mathrm {e} ^ {- {\ rm {i}} \ xi x} \, \ mathrm {d} x}

Alternativní konvence

Je možné zvolit alternativní definici Fourierovy transformace. Tato volba je věcí konvence, jejíž důsledky se projevují (obecně) pouze stálými multiplikativními faktory. Někteří vědci to například používají:

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f): \ nu \ mapsto {\ hat {f}} (\ nu) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (t) \, \ mathrm {e} ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi \ nu t} \, \ mathrm {d} t}

s $t$ v sekundách a $ν$ frekvence (v hertzích).

Někteří elektronici nebo fyzici používají (z důvodů symetrie s inverzní Fourierovou transformací) následující transformaci:

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f): \ omega \ mapsto {\ hat {f}} (\ omega) = {1 \ nad {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (t) \, \ mathrm {e} ^ {- {\ rm {i}} \ omega t} \, \ mathrm {d} t}

s $t$ v sekundách a $ω$ pulzace (v radiánech za sekundu).

Tato definice však není přizpůsobena zacházení s produkty konvoluce : z důvodu faktoru máme , pokud takový faktor není zahrnut do definice produktu konvoluce. ${\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f * g) \ neq {\ mathcal {F}} (f) \ cdot {\ mathcal {F}} (g)}$

Počáteční množina je množina integrovatelných funkcí $f$ reálné proměnné $x$ . Sada příjezdu je sada funkcí reálné proměnné $ξ$ . Konkrétně, když se tato transformace použije při zpracování signálu, snadno si všimneme $t$ namísto $x$ a $ω$ nebo $2π ν$ namísto $ξ,$ což budou příslušné proměnné času a pulzace nebo frekvence. Potom řekneme, že $f$ je v časové doméně , a to je ve frekvenční doméně . ${\ hat {f}}$

Ve fyzice Fourierova transformace umožňuje určit spektrum signálu. Difrakční jevy poskytují obraz duálního prostoru mřížky, jsou jakýmsi přirozeným „Fourierovým transformačním strojem“. Pro tyto aplikace fyzici obecně definují přímou transformaci s faktorem a inverzní Fourierovu transformaci se stejným prefaktorem. ${\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}}$

Zápis lze také nahradit $F$ $(ƒ)$ nebo $TF$ $(ƒ)$ . V tomto článku použijeme výhradně první notaci. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f)}$

V některých vědeckých komunitách je také obvyklé psát $f ( x )$ pro počáteční funkci a $f ( p )$ pro její transformaci, takže $x , y , z$ odpovídají duálním proměnným $p , q , r$ . Tato notace je v souladu s fyzickou interpretací inspirovanou kvantovou mechanikou: dualita mezi polohou a hybností. Tato notace se zde nepoužívá.

Rozšíření Fourierovy transformace

Nejpřirozenější rámec pro definování Fourierových transformací je integrovatelných funkcí . Mnoho operací (derivace, inverzní Fourierova transformace) však nelze zapsat s veškerou obecností. Plancherelu vděčíme za zavedení Fourierovy transformace pro funkce sčítatelných čtverců , pro které platí inverzní vzorec. Pak teorie o Schwartz rozvodů , a konkrétněji z distribucí mírných bylo možné najít dokonale přizpůsobený rámec.

Můžeme zobecnit definici Fourierovy transformace na několik proměnných a dokonce i na jiné skupiny než na skupinu aditiv. Můžeme jej tedy definovat na aditivní skupině ℝ / ℤ, tj. Na funkcích období 1 - najdeme tedy Fourierovu řadu - a obecněji na lokálně kompaktních skupinách , ne nutně komutativních, a zejména na konečných skupiny. Tyto definice zahrnují dvojí skupiny , stejně jako Haarovo opatření .

Vlastnosti Fourierovy transformace

	Funkce	Fourierova transformace
Linearita	${\ displaystyle a \ cdot g_ {1} (x) + b \ cdot g_ {2} (x)}$	${\ displaystyle a \ cdot {\ hat {g}} _ {1} (\ xi) + b \ cdot {\ hat {g}} _ {2} (\ xi)}$
Kontrakce domény	$f (a \ cdot x) \$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| a \|}} \ cdot {\ hat {f}} (\ xi / a)}$
Časový překlad	$g (x + x_ {0}) \$	${\ displaystyle {\ hat {g}} (\ xi) \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ xi x_ {0}}}$
Modulace v časové oblasti	${\ displaystyle g (x) \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x \ xi _ {0}}}$	${\ displaystyle {\ hat {g}} (\ xi - \ xi _ {0})}$
Konvoluční produkt	${\ displaystyle (f * g) (x)}$	${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) \ cdot {\ hat {g}} (\ xi)}$
Produkt	$(f \ cdot g) (x)$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} ({\ hat {f}} * {\ hat {g}}) (\ xi)}$
Derivace časové domény	$f '(x)$ (viz podmínky níže)	${\ displaystyle {\ rm {i}} \ xi \ cdot {\ hat {f}} (\ xi)}$
Odvození ve frekvenční doméně	${\ displaystyle x \ cdot f (x)}$	${\ displaystyle \ mathrm {i} {\ hat {f}} '(\ xi)}$
Symetrie	skutečné a pár	skutečné a pár
	nemovitý	pár (s hermitovskou symetrií)
	skutečné a zvláštní	čistý a lichý imaginární
	čisté a dokonce imaginární	čisté a dokonce imaginární
	čistý a lichý imaginární	skutečné a zvláštní
Formulář	Gaussian	Gaussian

Kontrakce v jedné doméně (časové, prostorové nebo frekvenční) znamená expanzi v druhé. Konkrétní příklad tohoto jevu lze pozorovat například na gramofonu . Přehrávání 33 otáček za minutu při 45 otáčkách za minutu znamená zvýšení frekvence zvukového signálu ( $a > 1$ ), zvukový signál se smršťuje v časové doméně, která jej ve frekvenční doméně rozšiřuje.
Pokud má funkce $f$ omezenou podporu ( tj. Pokud ), má nekonečnou podporu. Naopak, pokud je spektrální podpora funkce ohraničená, pak $f$ má neomezenou podporu. $\ existuje x_ {0} \ in \ mathbb {R}, \ forall | x |> x_ {0}, f (x) = 0$ ${\ hat {f}}$ ${\ hat {f}}$
Pokud $f$ je nenulová funkce na omezeném intervalu, pak je nenulová funkce zapnuta a naopak, pokud je nenulová na omezeném intervalu, pak $f$ je nenulová funkce zapnuta . ${\ hat {f}}$ $\ mathbb {C}$ ${\ hat {f}}$ $\ mathbb {C}$
Fourierova transformace $f$ je spojitá funkce s nulovým limitem v nekonečnu ( Riemann-Lebesgueova věta ), zejména ohraničená

{\ displaystyle \ | {\ hat {f}} \ | _ {\ infty} \ leq \ | f \ | _ {1}}

Změnou proměnné najdeme při provádění překladu zajímavé vzorce, dilataci grafu $f$ .
Předpokládejme, že je funkce integrovatelná; pak můžeme odvodit definiční vzorec pod znamením integrace . Pak vidíme, že derivací je Fourierova transformace $g$ . $g: x \ mapsto - \ mathrm {i} xf (x)$ ${\ displaystyle {\ hat {f}} '}$
Pokud $f$ je lokálně absolutně kontinuální ( tj odvoditelné téměř všude a rovná se „integrálu jeho derivát“), a v případě, $F$ a $F '$ jsou integrovatelné, pak je Fourierova transformace derivace $f$ je . ${\ displaystyle {\ widehat {f '}} (\ xi) = \ mathrm {i} \ xi {\ hat {f}} (\ xi)}$

Můžeme shrnout poslední dvě vlastnosti: označme $D$ operaci

{\ displaystyle Df = {\ frac {1} {\ mathrm {i}}} f '}

a $M je$ násobení argumentem:

{\ displaystyle (Mf) (x) = xf (x), \ quad (M {\ hat {f}}) (\ xi) = \ xi {\ hat {f}} (\ xi)}

Pak, pokud $f$ splňuje vhodné funkční podmínky, a . ${\ widehat {Df}} = + M {\ hat {f}}$ ${\ widehat {Mf}} = - D {\ hat {f}}$

Osvobodíme se od těchto funkčních podmínek rozšířením třídy objektů, na kterých Fourierova transformace funguje. To je jedna z motivací za definicí distribucí .

Inverzní Fourierova transformace

Pokud je Fourierova transformace $f$ , uvedená , sama o sobě integrovatelnou funkcí , takzvaný vzorec inverzní Fourierovy transformace, operace zaznamenaná a aplikovaná na , umožňuje (za vhodných podmínek) najít $f$ z údajů o frekvenci: ${\ hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1}}$ ${\ hat {f}}$

{\ displaystyle f (x) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ hat {f}}) (x) = {1 \ nad 2 \ pi} \, \ int _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (\ xi) \, \ mathrm {e} ^ {+ {\ rm {i}} \ xi x} \, \ mathrm {d} \ xi \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad {\ hat {f}} (\ xi) \ = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \, \ mathrm {e} ^ {- {\ rm {i }} \ xi x} \, \ mathrm {d} x}

Tato operace inverzní Fourierovy transformace má vlastnosti analogické přímé transformaci, protože se mění pouze multiplikativní koeficient a $-i$ stanou $i$ .

V případě alternativních definic se inverzní Fourierova transformace stává:

Definice Frekvence: .

{\ displaystyle f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (\ nu) \, \ mathrm {e} ^ {+ {\ rm {i}} 2 \ pi \ nu t} \, \ mathrm {d} \ nu \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad {\ hat {f}} (\ nu) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f ( t) \, \ mathrm {e} ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi \ nu t} \, \ mathrm {d} t}

Definice pulzující: .

{\ displaystyle f (t) = {1 \ nad {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (\ omega) \, \ mathrm {e} ^ {+ {\ rm {i}} \ omega t} \, \ mathrm {d} \ omega \ quad \ Leftrightarrow \ quad {\ hat {f}} (\ omega) \ = {1 \ přes {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (t) \, \ mathrm {e} ^ {- {\ rm {i}} \ omega t} \ , \ mathrm {d} t}

Důkaz podle Poissonova součtového vzorce

Nechť h je komplexní funkce definovaná na ℝ a dvakrát spojitě diferencovatelná. Předpokládáme, že $h$ splňuje odhad

{\ displaystyle | h (x) | \ leq {\ frac {C} {1 + x ^ {2}}}}

a že první dva deriváty $h$ jsou integrovatelné na ℝ. Pak Fourierova transformace $h$ uspokojí analogický odhad

{\ displaystyle | {\ hat {h}} (\ xi) | \ leq {\ frac {C} {1+ \ xi ^ {2}}}}

Nechť $y$ je reálné číslo, které je pro tuto chvíli pouze parametr, a napište:

{\ displaystyle f (x) = h (x) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} yx}}

Ověřujeme, že $f$ má stejné funkční vlastnosti jako $h$ . Můžeme tedy použít Poissonův součtový vzorec na $f$ s periodou $2π$ :

{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} f (x + 2 \ pi n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z} } {\ hat {f}} (k) \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} kx}}

Výpočet ale dává: ${\ hat {f}} (k)$

{\ displaystyle {\ hat {f}} (k) = \ int _ {\ mathbb {R}} h (x) \ mathrm {e} ^ {- {\ rm {i}} (y ​​+ k) x} \, \ mathrm {d} x = {\ hat {h}} (y ​​+ k)}

Můžeme tedy přepsat Poissonův součtový vzorec na $h$ a přijde:

{\ displaystyle \ sum _ {n \ v \ mathbb {Z}} h (x + 2 \ pi n) \ mathrm {e} ^ {- {\ rm {i}} (x + 2 \ pi n) y} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {h}} (y ​​+ k) \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} kx}}

Oba členy této identity vynásobíme : ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} xy}}$

{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} h (x + 2 \ pi n) \ mathrm {e} ^ {- 2 {\ rm {i}} \ pi ny} = {\ frac { 1} {2 \ pi}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {h}} (y ​​+ k) \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} ( k + y) x}}

Všimli jsme si, že série objevující se na obou stranách jsou obvykle konvergentní pro normu maxima. Budeme tedy schopni vyměnit součet a integraci vzhledem k $y$ v intervalu $[0; 1]$ .

Vlevo integrace s ohledem na $y$ ponechává pouze jeden člen, který odpovídá $n = 0$ . Vpravo integrujeme s ohledem na $y$ a v každém integrálu provádíme změnu proměnné $y + k = ξ$ . Tím získáme vzorec

{\ displaystyle h (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R}} {\ hat {h}} (\ xi) \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} x \ xi} \, \ mathrm {d} \ xi}

Přeneseme se k obecnému případu Fourierova inverzního vzorce pro integrovatelnou funkci $f$ a jeho Fourierovu transformaci metodou hustoty . Přistupujeme k $f$ řadou funkcí $f p$ ověřujících funkční hypotézy tohoto důkazu. Musíme samozřejmě předpokládat, že $f p$ a jejich Fourierovy transformace konvergují k příslušným limitům $f$ a v normě L 1 (ℝ). Můžeme sestavit takové aproximace zkrácením $f$ , to znamená jeho nahrazením 0 mimo interval $[-$ $p$ $,$ $p$ $]$ a jeho regularizací konvolucí. Pokud $ϕ$ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce, s integrálem 1 a s omezenou podporou, nastavíme $ϕ$ $p$ $($ $x$ $) =$ $p ϕ$ $($ $px$ $)$ a zkrácenou funkci $f$ $| [-$ $p$ $,$ $p$ $]$ o $ϕ$ $p$ . Je rozumné použít stejný parametr $p zde$ . ${\ hat {f}} _ {p}$ ${\ hat {f}}$

Důkaz nestandardní analýzou

Nechť $f$ je funkce třídy C $\infty$ s kompaktní podporou . Podle principu přenosu můžeme být spokojeni se studiem případu standardní funkce . V tomto případě existuje nekonečně velké reálné $T$ takové, že pro jakýkoli reálný $| x | > T$ , $f ( x ) = 0$ . Podívejme představit Hilbertovy základ z $L 2 ([- T , T ])$ dána vztahem:

{\ displaystyle e_ {n}: x \ mapsto {\ rm {e}} ^ {\ mathrm {i} n \ pi x / T}}

(okamžitý výpočet ukazuje, že je dobře ortonormální, a skutečnost, že je celková, je odvozena z hustoty spojitých funkcí a jejich jednotné aproximace trigonometrickými polynomy ). Podle Parsevalova lematu jsme schopni napsat:

{\ displaystyle f = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} c_ {n} e_ {n}}

nebo

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} f (x) {\ rm {e}} ^ {- \ mathrm {i} n \ pi x / T} {\ rm {d}} x = {\ frac {1} {2T}} {\ widehat {f}} \ left ({\ frac {n \ pi} {T}} \ right)}

Přesněji řečeno, pro x standard:

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ součet _ {n \ in \ mathbb {Z}} {\ widehat {f}} \ left ({\ frac {n \ pi } {T}} \ vpravo) {\ rm {e}} ^ {\ mathrm {i} n \ pi x / T} {\ frac {\ pi} {T}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ widehat {f}} (w) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} wx} {\ rm {d} } w}

Poslední rovnost pochází ze skutečnosti, že levý člen je standardní, že Riemannova suma se provádí na přepážce nekonečně malé délky ( $π / T$ ), a proto je pravý člen standardní součástí mezilehlého prvku. Požadovaná rovnost tedy platí pro všechny standardní funkce třídy C $\infty$ s kompaktní podporou a standardem all $x$ . Principem přenosu se také ověřuje pro všechny funkce C $\infty$ s kompaktní podporou a všemi $x$ , poté hustotou funkcí C $\infty$ s kompaktní podporou v prostoru integrovatelných funkcí, pro všechny integrovatelné funkce, jejichž transformace je integrovatelná a téměř pro všechny $x$ .

Rozšíření do prostoru ℝ n

Nechť $x ∙ ξ$ znamenají kanonický skalární součin v ℝ n :

{\ displaystyle x \ cdot \ xi = \ součet _ {j = 1} ^ {n} x_ {j} \ xi _ {j}}

Pokud $f$ je integrovatelná funkce přes ℝ n , její Fourierova transformace je dán vzorcem:

{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) ~ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i} } x \ cdot \ xi} ~ \ mathrm {d} x}

Pokud A je přímá lineární izometrie . Z toho vyplývá, že Fourierova transformace radiální funkce je radiální. ${\ displaystyle {\ widehat {f \ circ A}} = {\ hat {f}} \ circ A}$

Vyjádření Fourierovy transformace v ℝ n radiální funkce

Podle definice :

{\ displaystyle {\ hat {f}} (t_ {1}, t_ {2}, \ dots, t_ {n}) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x_ {1} , x_ {2}, \ dots, x_ {n}) ~ {\ rm {e}} ^ {{\ rm {2i \ pi}} (x_ {1} t_ {1} + x_ {2} t_ {2 } + \ dots + x_ {n} t_ {n})} ~ \ mathrm {d} x_ {1} \ mathrm {d} x_ {2} \ dots \ mathrm {d} x_ {n}}

Pokud vezmeme v úvahu případ, kdy $f$ je radiální (nebo se sférickou symetrií), pak $f$ závisí pouze na proměnných $x 1 , ..., x n$ prostřednictvím proměnné . Pak ukážeme, že proměnné $t$ $1$ $, ...,$ $t$ $n$ závisí pouze na proměnné . ${\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ tečky + x_ {n} ^ {2}}}}$ ${\ hat {f}}$ ${\ displaystyle \ tau = {\ sqrt {t_ {1} ^ {2} + t_ {2} ^ {2} + \ dots + t_ {n} ^ {2}}}}$

Nechť

f ( x 1 , ..., x n ) = g ( ρ )

Zaznamenáním vektorů: ${\ displaystyle {\ vec {\ rho}} = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} {x_ {1}} \\ {x_ {2}} \\\ vdots \\ {x_ {n}} \ end {array}} \ right) {\ text {et}} {\ vec {\ tau}} = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} { t_ {1}} \\ {t_ {2}} \\\ vdots \\ {t_ {n}} \ end {array}} \ right) \ Rightarrow {\ vec {\ rho}} \ cdot {\ vec { \ tau}} = \ rho \ tau \ cos \ theta = x_ {1} t_ {1} + x_ {2} t_ {2} + \ dots + x_ {n} t_ {n}}$

Předáním kartézských souřadnic na polární souřadnice v ℝ

n

{\ hat {f}} ({\ vec {\ tau}}) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (\ rho) ~ {\ rm {e}} ^ {{\ rm {2i \ pi}} {\ vec {\ tau}} \ cdot {\ vec {\ rho}}} ~ \ mathrm {d} ^ {n} {\ vec {\ rho}} = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (\ rho) ~ {\ rm {e}} ^ {{\ rm {2i \ pi}} \ tau \ rho \ cos \ theta} ~ \ mathrm {d} ^ {n } {\ vec {\ rho}}

Zvažte rotaci takovou ${\ mathcal {R}}$ ${\ vec {\ tau}} '= {\ mathcal {R}} ({\ vec {\ tau}}) \ Rightarrow {\ hat {f}} ({\ vec {\ tau}}') = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (\ rho) ~ {\ rm {e}} ^ {{\ rm {2i \ pi}} {\ vec {\ tau}} '\ cdot {\ vec {\ rho}}} ~ \ mathrm {d} ^ {n} {\ vec {\ rho}} = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (\ rho) ~ {\ rm {e }} ^ {{\ rm {2i \ pi}} {\ mathcal {R}} ({\ vec {\ tau}}) {\ vec {\ rho}}} ~ \ mathrm {d} ^ {n} { \ vec {\ rho}}$

Nezměníme hodnotu integrálu, nahradíme-li tím , že

g

je radiální.

{\ vec {\ rho}}

{\ mathcal {R}} ({\ vec {\ rho}})

\ Rightarrow {\ hat {f}} ({\ vec {\ tau}} ') = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (\ rho) ~ {\ rm {e}} ^ { {\ rm {2i \ pi}} {\ mathcal {R}} ({\ vec {\ tau}}) {\ mathcal {R}} ({\ vec {\ rho}})}} \ \ mathrm {d} ^ {n} {\ mathcal {R}} ({\ vec {\ rho}})

Jako a

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} ({\ vec {\ tau}}) \ cdot {\ mathcal {R}} ({\ vec {\ rho}}) = {\ vec {\ tau}} \ cdot {\ vec {\ rho}} = \ tau \ rho \ cos \ theta}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {n} {\ mathcal {R}} ({\ vec {\ rho}}) = \ mathrm {d} ^ {n} {\ vec {\ rho}}}

\ Rightarrow {\ hat {f}} ({\ vec {\ tau}} ') = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (\ rho) ~ {\ rm {e}} ^ { {\ rm {2i \ pi}} \ tau \ rho \ cos \ theta} ~ \ mathrm {d} ^ {n} \ rho = {\ hat {f}} ({\ vec {\ tau}})

Fourierova transformace radiální funkce je tedy také radiální funkcí (která závisí pouze na ). $\ paralelní {\ vec {\ tau}} \ paralelní$

Připomínáme si korespondenci mezi sférickými souřadnicemi a polárními souřadnicemi v ℝ n , souřadnicemi nazývanými také „ hypersférické souřadnice “.

x_ {i} = \ rho \ cos (\ varphi _ {n-i + 1}) \ prod _ {k = 1} ^ {ni} \ sin (\ varphi _ {k})

. Ukážeme také, že Jacobian transformace kartézských souřadnic na hypersférické souřadnice je:

J = \ rho ^ {n-1} \ prod _ {i = 1} ^ {n-2} \ sin ^ {n-1-i} (\ varphi _ {i})

φ 1 \leq j \leq n - 2 \in [0, π]

φ n - 1 \in [0,2π]

. Výsledek je:

{\ displaystyle {\ hat {f}} ({\ vec {\ tau}}) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (\ rho) ~ {\ rm {e}} ^ { {\ rm {2i \ pi}} \ tau \ rho \ cos \ theta} \ rho ^ {n-1} \ mathrm {d} \ rho \ mathrm {d} \ varphi _ {n-1} \ prod _ { j = 1} ^ {n-2} \ sin ^ {n-1-j} (\ varphi _ {j}) \ mathrm {d} \ varphi _ {j}}

Vzhledem k radiální symetrii se v integrálu nic nezmění, vezmeme-li v úvahu rovnoběžnost s osou

x

1

. To pak znamená mít

θ

=

φ

1

(a nezávisle na

φ

j

\neq 1

)

{\ vec {\ tau}}

${\ displaystyle \ Rightarrow {\ hat {f}} ({\ vec {\ tau}}) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} g (\ rho) \ rho ^ {n-1} \ mathrm {d} \ rho \ underbrace {\ left (\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} (\ theta) ~ {\ rm {e}} ^ {{\ rm {2i \ pi}} \ tau \ rho \ cos \ theta} \ mathrm {d} \ theta \ right)} _ {<2>} \ underbrace {\ left (\ prod _ {j = 2} ^ {n-2} \ int _ {\ varphi _ {j} = 0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-1-j} (\ varphi _ {j}) \ mathrm {d} \ varphi _ {j} \ vpravo)} _ {<1>} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ varphi _ {n-1} \ right)}$

Výpočet <1> Pojďme pózovat

{\ displaystyle I_ {j} = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-1-j} (\ varphi _ {j}) \ mathrm {d} \ varphi _ {j}}

Jsme si vědomi, zde je beta funkce s

y

s funkcí gama a

p

q

pozitivních reálných čísel.

{\ displaystyle \ mathrm {B} (p, q) = 2 \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {2p-1} (\ alpha) \ cos ^ {2q -1} (\ alpha) \ mathrm {d} \ alpha = {\ frac {\ Gamma (p) \ Gamma (q)} {\ Gamma (p + q)}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow I_ {j} = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-1-j} (\ varphi _ {j}) \ mathrm {d} \ varphi _ {j} = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {nj} {2}}) \ Gamma ({\ frac {1} {2}})}} {\ Gamma ({\ frac {nj + 1} {2}} )}} \ Rightarrow <1> = \ prod _ {j = 2} ^ {n-2} {\ frac {\ Gamma ({\ frac {nj} {2}}) \ Gamma ({\ frac {1} {2}})} {\ Gamma ({\ frac {nj + 1} {2}})}} = {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n-3} {2}}} {\ Gamma ( {\ frac {n-1} {2}})}}}

Γ (1) = 1

;

Γ (1 / 2) = \sqrt π

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ hat {f}} ({\ vec {\ tau}}) = 2 {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n-1} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n-1} {2}})}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} g (\ rho) \ rho ^ {n-1} \ mathrm {d} \ rho \ underbrace {\ left (\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} (\ theta) ~ {\ rm {e}} ^ {{\ rm {2i \ pi}} \ tau \ rho \ cos \ theta} \ mathrm {d} \ theta \ right)} _ {<2>}}

Poznamenáme si mimochodem

{\ displaystyle 2 \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n-2} \ alpha \ mathrm {d} \ alpha = {\ frac {\ gama ({\ frac {n-1} {2}}) {\ sqrt {\ pi}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} \ Rightarrow {\ hat {f}} ({\ vec { \ tau}}) = 2 {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}} int _ {0} ^ { + \ infty} g (\ rho) \ rho ^ {n-1} \ mathrm {d} \ rho {\ frac {\ left (\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} (\ theta) ~ {\ rm {e}} ^ {{\ rm {2i \ pi}} \ tau \ rho \ cos \ theta} \ mathrm {d} \ theta \ right)} {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} \ alpha \ mathrm {d} \ alpha}}}

Výpočet <2> Zvažte funkci

{\ displaystyle L_ {n} (z) = {\ frac {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} z \ cos \ theta} \ sin ^ {n- 2} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta} {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta}}}

Označíme

L n (0) = 1

Pak máme

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} L_ {n} (z)} {\ mathrm {d} z}} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {\ pi} i \ cos \ theta \ sin ^ {n-2} \ theta \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} z \ cos \ theta} \ mathrm {d} \ theta} {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta}}}

Integrací po částech integrálu v čitateli vytvoříme vztah:

{\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} L_ {n} (z)} {\ mathrm {d} z}} = {\ frac {z} {n-1}} {\ frac {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} \ theta \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} z \ cos \ theta} \ mathrm {d} \ theta} {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta}}}

Potom Poznámka: .

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} L_ {n} (0)} {\ mathrm {d} z}} = 0}

Druhý drift:

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} L_ {n} (z)} {dz ^ {2}}} = - {\ frac {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n -2} \ theta \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} z \ cos \ theta} \ mathrm {d} \ theta} {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2 } \ theta \, \ mathrm {d} \ theta}} + {\ frac {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} \ theta \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} z \ cos \ theta} \ mathrm {d} \ theta} {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta}} \ Rightarrow { \ frac {d ^ {2} L_ {n} (z)} {dz ^ {2}}} + {\ frac {n-1} {z}} {\ frac {dL_ {n} (z)} { dz}} + L_ {n} (z) = 0}

. Rozeznáváme zde rovnici, která je blízká Besselově diferenciální rovnici . Chcete-li odstranit faktor

n - 1

z druhého členu, nastavme:

L_ {n} (z) = a_ {n} z ^ {- m} J_ {m} (z)

. Odložením tohoto výrazu v diferenciální rovnici dospějeme k:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} J_ {m} (z)} {\ mathrm {d} z ^ {2}}} + \ doleva ({\ frac {n-1-2m } {z}} \ vpravo) {\ frac {\ mathrm {d} J_ {m} (z)} {\ mathrm {d} z}} + \ doleva ({\ frac {m (mn + 2)} { z ^ {2}}} + 1 \ vpravo) J_ {m} (z) = 0}

. Postačí nastavit

m = n - 2 / 2

abychom dospěli k následující Besselově diferenciální rovnici:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} z ^ {2}}} J _ {\ frac {n-2} {2}} (z) + {\ frac {1} {z}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} J _ {\ frac {n-2} {2}} (z) + \ vlevo (1- \ left ({\ frac {n-2} {2z}} \ right) ^ {2} \ right) J _ {\ frac {n-2} {2}} (z) = 0}

Je to skutečně diferenciální Besselova rovnice, jejíž řešení je Besselova funkce . To pak vede k následujícímu vztahu podle definice Besselovy funkce:

{\ displaystyle J _ {\ frac {n-2} {2}} (z)}

{\ displaystyle J _ {\ frac {n-2} {2}} (z) = \ left ({\ frac {z} {2}} \ right) ^ {\ frac {n-2} {2}} \ sum _ {p = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {p}} {p! \ Gamma (p + {\ frac {n} {2}})}}} vlevo ({\ frac {z} {2}} \ vpravo) ^ {2p} = {\ frac {z ^ {\ frac {n-2} {2}}} {a_ {n}}} L_ {n} ( z) \ Rightarrow L_ {n} (z) = a_ {n} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {\ frac {n-2} {2}} \ sum _ {p = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {p}} {p! \ Gamma (p + {\ frac {n} {2}})}}} vlevo ({\ frac { z} {2}} \ vpravo) ^ {2p}}

{\ displaystyle L_ {n} (0) = 1 \ Rightarrow a_ {n} = 2 ^ {\ frac {n-2} {2}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right ) \ Rightarrow L_ {n} (z) = \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right) \ sum _ {p = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1 ) ^ {p}} {p! \ Gamma (p + {\ frac {n} {2}})}} \ left ({\ frac {z} {2}} \ right) ^ {2p} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} z \ cos \ theta} \ sin ^ {n-2} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta } {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow L_ {n} (2 \ pi \ rho \ tau) = \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right) \ sum _ {p = 0} ^ {+ \ infty } {\ frac {(-1) ^ {p}} {p! \, \ Gamma (p + {\ frac {n} {2}})}} \ left ({\ frac {2 \ pi \ rho \ tau} {2}} \ vpravo) ^ {2p} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} 2 \ pi \ rho \ tau \ cos \ theta} \ sin ^ {n-2} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta} {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} \ theta \, \ mathrm { d} \ theta}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow <2> = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} \ pi \ rho \ tau \ cos \ theta} \ sin ^ {n- 2} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta = 2 ^ {\ frac {n-2} {2}} \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right) (2 \ pi \ rho \ tau) ^ {- {\ frac {n-2} {2}}} J _ {\ frac {n-2} {2}} (2 \ pi \ rho \ tau) \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta}

Návrat k výrazu Fourierovy transformace:

{\ displaystyle {\ hat {f}} ({\ vec {\ tau}}) = 2 {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} g (\ rho) \ rho ^ {n-1} \ mathrm {d} \ rho {\ frac {\ left (\ int _ { 0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} (\ theta) ~ {\ rm {e}} ^ {{\ rm {2i \ pi}} \ tau \ rho \ cos \ theta} \ mathrm { d} \ theta \ right)} {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} \ alpha \ mathrm {d} \ alpha}} = 2 \ pi (\ tau) ^ {\ frac {2-n} {2}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} g (\ rho) (\ rho) ^ {\ frac {n} {2}} J _ {\ frac {n- 2} {2}} (2 \ pi \ rho \ tau) \ mathrm {d} \ rho}

Pokud je Fourierova transformace $f$ sama o sobě integrovatelnou funkcí, máme inverzní vzorec:

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ hat {f}} (\ xi ) ~ {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x \ cdot \ xi} ~ \ mathrm {d} \ xi}

V důsledku toho je Fourierova transformace $L 1$ v $C 0$ je injective (ale ne surjective ).

Fourierova transformace pro funkce sečtitelných čtverců

Prodloužení transformace z $L 1 \capL 2$ na $L 2$

Plancherel teorém umožňuje dát smysl Fourierova transformace funkcí čtvercový summable na ℝ.

Začínáme s prvním přípravným výsledkem.

Lema - Nechť $h$ je komplexní funkce dvakrát spojitě diferencovatelná na ℝ, což splňuje odhad

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad | h (x) | \ leq C / (1 + x ^ {2})}

(kde

C

je konstanta),

a jejichž první dva deriváty jsou integrovatelné. To znamená, že Fourierova transformace je dobře definovaná a čtvercová integrovatelná. Kromě toho máme identitu: ${\ hat {h}}$

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} | h (x) | ^ {2} \, {\ rm {d}} x = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ { \ mathbb {R}} | {\ hat {h}} (\ xi) | ^ {2} \, {\ rm {d}} \ xi}

. Důkaz podle Poissonova součtového vzorce

Použijeme vzorec stanovený výše v důkazu vzorce Fourierovy inverze:

{\ displaystyle \ sum _ {n \ v Z} h (x + 2 \ pi n) {\ rm {e}} ^ {- 2 \ mathrm {i} \ pi ny} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {h}} (y ​​+ k) {\ rm {e}} ^ {\ mathrm {i} (k + y) x}}

Vezmeme druhou mocninu modulu dvou členů a integrujeme přes interval $[0; 1]$ vzhledem k $y$ a přes interval $[0; 2π]$ vzhledem k $x$ :

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ součet _ {m, n \ in \ mathbb {Z}} h (x + 2 \ pi n) { \ bar {h}} (x + 2 \ pi m) {\ rm {e}} ^ {2 \ mathrm {i} \ pi (mn) y} \, {\ rm {d}} x \, {\ rm {d}} y = {\ frac {1} {4 \ pi ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ sum _ {j , k \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {h}} (y ​​+ j) {\ bar {\ hat {h}}} (y ​​+ k) {\ rm {e}} ^ {\ mathrm {i} (jk) x} \, {\ rm {d}} x \, {\ rm {d}} y}

Ve výše uvedeném výrazu můžeme zaměnit pořadí součtu a dvou integrací, protože předpoklady učiněné na $h$ naznačují, že řada normálně konverguje v prostoru spojitých funkcí $x$ a $y$ , periodikách periody $2π$ v $x$ a periodě 1 v $r$ . Integrace v $y$ prvního člena ponechává pouze členy, pro které jsou $m$ a $n$ stejné, a integrace v $x$ druhého člena ponechává pouze členy, pro které jsou $j$ a $k$ identické. Zůstává tedy:

{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} | h (x + 2 \ pi n) | ^ {2} \, {\ rm {d }} x = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} \ int _ {0} ^ {1} | {\ hat {h}} (y + K) | ^ {2} \, {\ rm {d}} y}

Stačí udělat v prvním členu změnu proměnné v každém integrálu $x + 2π n = x '$ a ve druhém změnu proměnné v každém integrálu $y + k = ξ$ a získáme vzorec:

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} | h (x ') | ^ {2} \, {\ rm {d}} x' = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R}} | {\ hat {h}} (\ xi) | ^ {2} \, {\ rm {d}} \ xi}

Po změně fiktivní proměnné $x '$ na $x$ získáme oznámený vzorec.

Jakmile jsme demonstrovali v lematu nad Plancherelovým vzorcem pro dostatečně pravidelnou třídu funkcí, rozšířili jsme hustotou Fourierovu transformaci na všechny $L 2 (ℝ)$ .

Rozšíření Fourierovy transformace o hustotu

Stále přijímáme stejné notace jako v důkazu Fourierova inverzního vzorce pomocí Poissonova součtového vzorce, takže $ϕ$ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce, s kompaktní podporou a s integrálem 1. $Nastavíme ϕ p ( x ) = p ϕ ( px )$ .

Nechť $h$ je integrovatelná čtvercová funkce a $p je$ celé číslo. Definujeme

{\ displaystyle h_ {p} = (h1 _ {[- p, p]}) * \ phi _ {p}}

a můžeme ukázat následující výsledek:

{\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} \ int _ {\ mathbb {R}} | h-h_ {p} | ^ {2} \, {\ rm {d}} x = 0}

Důkaz používá klasické techniky aproximace regularizace.

Na druhou stranu mají funkce $h p$ vlastnosti nezbytné k uplatnění výše uvedeného lemmatu, zejména

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} | h_ {p} -h_ {q} | ^ {2} \, {\ rm {d}} x = {\ frac {1} {2 \ pi} } \ int _ {\ mathbb {R}} | {\ hat {h}} _ {p} - {\ hat {h}} _ {q} | ^ {2} \, {\ rm {d}} \ xi}

Protože posloupnost $( h p ) p \geq 1$ je Cauchy v prostoru $L 2 (ℝ)$ , je sekvence Fourierových transformací také Cauchy, takže konverguje. Jeho limit, který si všimneme , nezávisí na volbě řady aproximací. Ve skutečnosti, pokud by $g$ $p$ byla další řada aproximací konvergujících k $h$ v kvadratickém průměru a splňující funkční podmínky, za kterých můžeme použít součet Poissonova vzorce, měli bychom odhad $({\ hat {h}} _ {p}) _ {p \ geq 1}$ ${\ hat {h}}$

{\ displaystyle \ | g_ {p} -h_ {p} \ | _ {2} \ leq \ | g_ {p} -h \ | _ {2} + \ | h-h_ {p} \ | _ {2 }}

který má tendenci k 0 pro $p$ směřující k nekonečnu. V důsledku toho má také tendenci k 0 a dospěli jsme k závěru, že limit posloupnosti je dobrý . $\ | {\ hat {g}} _ {p} - {\ hat {h}} _ {p} \ | _ {2}$ ${\ hat {g}} _ {p}$ ${\ hat {h}}$

Máme tedy Plancherelovu větu :

Plancherelova věta - Nechť $f$ je komplexní funkce nad ℝ se sčítatelným čtvercem. Potom můžeme definovat Fourierovu transformaci $f$ takto: pro jakékoli celé číslo $p$ nastavíme

{\ displaystyle f_ {p} (x) = (f1 _ {[- p, p]}) (x) = {\ begin {cases} f (x) & {\ text {si}} | x | \ leq p, \\ 0 a {\ text {jinak.}} \ konec {případů}}}

Sekvence Fourierových transformací konverguje v $L$ $2$ $(ℝ)$ a jejím limitem je Fourierova transformace , tj. ${\ hat {f}} _ {p}$ ${\ hat {f}}$

{\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} \ int _ {\ mathbb {R}} | {\ hat {f}} (\ xi) - {\ hat {f}} _ {p} (\ xi ) | ^ {2} \, {\ rm {d}} \ xi = 0}

Kromě toho máme identitu:

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} | f (x) | ^ {2} \, {\ rm {d}} x = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ { \ mathbb {R}} | {\ hat {f}} (\ xi) | ^ {2} {\ rm {d}} \ xi}

Podobně, pokud pózujeme , $g$ $p$ konverguje v odmocnině na $f$ . ${\ displaystyle g_ {p} (x) = \ int _ {- p} ^ {p} {\ hat {f}} (\ xi) {\ rm {e}} ^ {\ mathrm {i} x \ xi } \, {\ rm {d}} \ xi}$

Důkaz Plancherelovy věty

Následující identita je výsledkem procesu rozšíření popsaného výše:

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} | h (x) | ^ {2} \, {\ rm {d}} x = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ { \ mathbb {R}} | {\ hat {h}} (\ xi) | ^ {2} \, {\ rm {d}} \ xi}

Uvažujme tedy posloupnost funkcí $f ' p = f 1 {[- p , p ]}$ . Na základě Lebesgueovy dominující věty o konvergenci pro funkce sčítatelných čtverců se posloupnost $f p$ sblíží v odmocnině na $f$ a následně budeme mít také

{\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} \ | {\ hat {f}} - {\ hat {f}} _ {p} \ | _ {2} = 0}

Jinými slovy, kvadratická mocnina konverguje k . Důkaz pro inverzní vzorec je analogický. ${\ hat {f}} _ {p}$ ${\ hat {f}}$

Transformace Fourier-Plancherel tedy definuje nadčasový automorfismus prostoru $L 2$ , což je izometrie, za podmínky provedení změny měřítka, pokud použijeme notaci v pulzaci

{\ displaystyle \ | {\ hat {f}} / {\ sqrt {2 \ pi}} \ | _ {2} = \ | f {\ sqrt {2 \ pi}} \ | _ {2}}

Ve fyzice je termín pod integrálem interpretován jako výkonová spektrální hustota . ${\ displaystyle | {\ hat {f}} (\ xi) / {\ sqrt {2 \ pi}} | ^ {2}}$

Definice Fourier-Plancherelovy transformace je kompatibilní s obvyklou definicí Fourierovy transformace integrovatelných funkcí . Na křižovatce $L 1 (ℝ)} \cap L 2 (ℝ)$ definičních domén ukážeme pomocí Lebesgueovy dominující věty konvergence, že se obě definice shodují.

Transformace vnímaná jako operátor $L 2 (ℝ)$

Poznámka: tento odstavec používá z izometrických důvodů definici frekvence Fourierovy transformace .

Právě jsme viděli, že Fourierova transformace indukuje v Hilbertově prostoru $L$ $2$ $(ℝ)$ lineární operátor. Zde shrnujeme vlastnosti: ${\ mathcal {F}}$

${\ mathcal {F}}$ je jednotný operátor z $L 2$ . Jedná se zejména o izometrii. Najdeme první fakt, známý pod názvem Parsevalova vzorce, který tvrdí, že pro všechny funkce $f , g \in L 2 (ℝ)$ ,

${\ displaystyle \ langle f \ mid g \ rangle = \ langle {\ mathcal {F}} f \ mid {\ mathcal {F}} g \ rangle, \ quad {\ text {ie}} \ quad \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} f (x) {\ overline {g (x)}} \, {\ rm {d}} x = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} (\ nu) {\ overline {{\ hat {g}} (\ nu)}} \, {\ rm {d}} \ nu}$ a zejména druhá skutečnost, známá jako Plancherelova věta ${\ displaystyle \ | f \ | _ {2} = \ | {\ hat {f}} \ | _ {2}, \ quad {\ text {ie}} \ quad \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} | f (x) | ^ {2} \, {\ rm {d}} x = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | {\ hat {f}} (\ nu ) | ^ {2} \, {\ rm {d}} \ nu}$ ;

jeho inverzní (což je také jeho doplněk ) je dán vztahem ; ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} g = \ left [t \ mapsto \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (\ nu) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi \ nu t} \ mathrm {d} \ nu \ right]}$
jako automorfismus , je z období 4. Jinými slovy = $id$ ; ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {4}}$
jako endomorfismů z $L 2 (ℝ)$ , má jak vlastní hodnoty čtyř čtvrtý kořeny jednoty : $1, i, -1$ a $-i$ . Hilbert základ z vektorů je dán funkcí Hermite-Gauss ${\ mathcal {F}}$

${\ displaystyle {\ phi} _ {n} (x) = {\ frac {2 ^ {1/4}} {\ sqrt {n!}}} \, {\ rm {e}} ^ {- \ pi x ^ {2}} H_ {n} (2x {\ sqrt {\ pi}})}$ , kde $H n ( x )$ jsou „pravděpodobnostní“ Hermitovy polynomy , které jsou zapsány ${\ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} {\ rm {e}} ^ {\ frac {x ^ {2}} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} {\ rm {e}} ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}}$ . S těmito notacemi shrnuje situaci následující vzorec ${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {n} (\ nu) = (- {\ rm {i}}) ^ {n} {\ phi} _ {n} (\ nu)}$ . Najdeme Gaussian jako první funkci poustevníka. Tyto funkce patří do třídy Schwartz . ${\ mathcal {S}}$

Spojte se s konvolučním produktem

Fourierova transformace má velmi zajímavé vlastnosti související s konvolučním produktem . Připomeňme si, že (podle Youngovy nerovnosti pro konvoluci ):

pokud , pak a ; $f, g \ in {\ rm {L}} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $f * g \ in {\ rm {L}} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ | f * g \ | _ {1} \ leq \ | f \ | _ {1} \ cdot \ | g \ | _ {1}$
pokud a pak a ; $f \ in {\ rm {L}} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $g \ in {\ rm {L}} ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $f * g \ in {\ rm {L}} ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ | f * g \ | _ {2} \ leq \ | f \ | _ {1} \ cdot \ | g \ | _ {2}$
pokud , pak a . $f, g \ in {\ rm {L}} ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $f * g \ in {\ rm {L}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ | f * g \ | _ {\ infty} \ leq \ | f \ | _ {2} \ cdot \ | g \ | _ {2}$

Tak :

pokud tedy ; $f, g \ in {\ rm {L}} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f * g) = {\ mathcal {F}} (f) \, \ cdot \, {\ mathcal {F}} (g)}$
podle hustoty tato rovnost stále platí, pokud a ; $f \ in {\ rm {L}} ^ {1}$ $g \ in {\ rm {L}} ^ {2}$
Pokud tedy ; rovnost navíc platí, pokud . $f, g \ in {\ rm {L}} ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ displaystyle f \ ast g = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} [{\ mathcal {F}} (f) \, \ cdot \, {\ mathcal {F}} (g)]}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f * g) = {\ mathcal {F}} (f) \, \ cdot \, {\ mathcal {F}} (g)}$ $f * g \ in {\ rm {L}} ^ {1}$

Princip nejistoty

Poznámka: tento odstavec používá definici frekvence Fourierovy transformace .

Můžeme si všimnout, že distribuce funkce a její Fourierova transformace mají opačné chování: čím více je hmota $f ( x )$ „koncentrovaná“, tím více se transformace rozprostírá a naopak. Je ve skutečnosti nemožné soustředit současně hmotnost funkce a její transformaci.

Tento kompromis mezi zhutněním funkce a jejím Fourierovou transformací lze formalizovat na principu neurčitosti tím, že se funkce a její Fourierova transformace považují za proměnné konjugované symplektickou formou v časově-frekvenční oblasti: lineární kanonickou transformací Fourierova transformace je rotace o 90 ° v časově-frekvenční doméně, která zachovává symplektickou formu.

Předpokládejme, že $f$ integrovatelné a čtvereční integrovatelné. Bez ztráty obecnosti budeme předpokládat $f$ normalizaci:

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | f (x) | ^ {2} \, {\ rm {d}} x = 1}

Podle Plancherelovy věty víme, že je to také normalizováno. ${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ nu)}$

Měříme distribuci kolem bodu ( $x = 0$ bez ztráty obecnosti) podle:

{\ displaystyle D_ {0} (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} | f (x) | ^ {2} \, {\ rm {d}} x}

Podobně pro frekvenci kolem bodu : $\ nu = 0$

{\ displaystyle D_ {0} ({\ hat {f}}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ nu ^ {2} | {\ hat {f}} (\ nu) | ^ {2} \, {\ rm {d}} \ nu}

V pravděpodobnostech jsou to momenty řádu 2 z $| f | 2$ a . ${\ displaystyle | {\ hat {f}} | ^ {2}}$

Princip neurčitosti říká, že pokud je $f ( x )$ absolutně spojité a funkce $x \cdot f ( x )$ a $f ( x )$ jsou čtvercově integrovatelné, pak:

{\ displaystyle D_ {0} (f) D_ {0} ({\ hat {f}}) \ geq {\ frac {1} {16 \ pi ^ {2}}}}

Tato nerovnost je také známá jako Heisenberg-Gaborova nerovnost nebo jednoduše Heisenbergova nerovnost díky širokému použití v kvantové mechanice .

Rovnosti je dosaženo pouze pro (pak ) pro σ> 0 libovolné a C 1 tak, že $f$ je L 2 - normalizované, tj. Pokud $f$ je (normalizovaná) Gaussova funkce se středem na 0 a rozptylu σ 2 a její Fourierova transformace je Gaussian s rozptylem σ –2 . $f (x) = C_ {1} \, {\ rm {e}} ^ {{- \ pi x ^ {2}} / {\ sigma ^ {2}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ sigma C_ {1} \, {\ rm {e}} ^ {- \ pi \ sigma ^ {2} \ xi ^ {2}}}$

Fourierova transformace na Schwartzově prostoru

Schwartz prostor je prostor funkcí $f$ třídy C ∞ na , tak, že $f$ a všechny jeho deriváty se rychle snižuje. Je to vektorový podprostor $L$ $1$ , proto je definována Fourierova transformace. Tyto funkce se časově i frekvenčně exponenciálně rozpadají. Zájem třídy Schwartz vyplývá z vlastnosti směny mezi pravidelností a rozpadem do nekonečna, kterou Fourierova transformace funguje. ${\ mathcal S} (\ mathbb {R} ^ {n})$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

Jakákoli funkce Schwartz je třídy C ∞ se všemi integrovatelnými deriváty. Dedukujeme, že jeho Fourierova transformace rychle klesá.
Jakákoli funkce Schwartz rychle klesá. Dedukujeme, že jeho Fourierova transformace je třídy C ∞ .

Intuitivně si tedy vizualizujeme, proč je Schwartzův prostor Fourierovou transformací neměnný. Tento prostor je proto pro jeho použití velmi vhodný. Kromě toho je Schwartzův prostor hustý v $L 1$ a v $L 2$ , a mohl by tedy sloužit jako základ pro definici Fourierovy transformace v těchto prostorech.

Fourierův inverzní vzorec zapnutý ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})$ -

Fourierova transformace sama o sobě indukuje bikontinuální automorfismus Schwartzova prostoru, jehož inverzní je definován

{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ phi) (x) = ({\ mathcal {F}} \ phi) (- x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ { n}} \ phi (\ xi) \, \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi x \ cdot \ xi} \, \ mathrm {d} \ xi}

Poznámka: tento vzorec závisí na konvenci zvolené pro Fourierovu transformaci v prostoru funkcí. Platí pro Fourierovu transformaci vyjádřenou ve frekvenčním prostoru , jejíž definice používá . ${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi \ xi \ cdot x}}$

Demonstrace inverzního vzorce

Nejprve dokážeme, že je stabilní . Pro větší pohodlí se budeme zabývat pouze případem $n$ $= 1$ , ale s jakýmkoli případem se zachází podobně. Budiž . ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R})}$

Na jedné straně rychlý pokles znamená, že pro všechny fyzické celá čísla $n$ , je integrovatelná. Funkce je tedy definována a C ∞ . ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {n} f (x)}$ ${\ mathcal {F}} f$
Na druhou stranu pro jakoukoli dvojici přirozených celých čísel $( n , k )$ je funkce in , tedy v $L$ $1$ . Jeho Fourierova transformace má tendenci k 0 do nekonečna. Aplikováním vlastností výměny mezi násobením polynomem a derivací však $[x \ mapsto (-2 {\ rm {i}} \ pi x) ^ {n} f (x)] ^ {(k)}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ vlevo ([x \ mapsto (-2 {\ rm {i}} \ pi x) ^ {n} f (x)] ^ {(k)} \ vpravo) ( \ xi) = (2 {\ rm {i}} \ pi \ xi) ^ {k} \ left [{\ mathcal {F}} \ left (x \ mapsto (-2 {\ rm {i}} \ pi x) ^ {n} f (x) \ right) \ right] (\ xi) = (2 {\ rm {i}} \ pi \ xi) ^ {k} [{\ mathcal {F}} (f) ] ^ {(n)} (\ xi)}$ ,což dokazuje rychlý pokles i všech jeho následných derivátů. Splňuje tedy podmínky pro příslušnost k . ${\ mathcal {F}} f$ ${\ mathcal {S}}$

Nechť $f je$ prvek tedy $L$ $1$ . Podle předchozího bodu patří také do $L$ $1$ . Věta o inverzi na $L$ $1$ platí a dává, upozorňuje na operátor kompozice pomocí $-Id$ : ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {F}} f$ ${\ tilda {}}$ ${\ displaystyle f = \ left (~ {\ tilde {}} \ circ {\ mathcal {F}} \ circ {\ mathcal {F}} \ right) (f) = \ left ({\ mathcal {F}} \ circ {\ tilde {}} \ circ {\ mathcal {F}} \ right) (f)}$ , což dokazuje, že je bijektivní a že jeho inverzní je . ${\ mathcal {F}}: {\ mathcal {S}} \ do {\ mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {}} \ circ {\ mathcal {F}}}$

Fourierova transformace pro mírné distribuce

Definujeme Fourierovu transformaci temperované distribuce jako distribuci definovanou prostřednictvím její dvojité závorky ${\ displaystyle T \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$

{\ displaystyle \ forall \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ quad \ langle {\ mathcal {F}} T, \ phi \ rangle = \ langle T, { \ mathcal {F}} \ phi \ rangle}

Jak je na , operátor takto definovaný na je bikontinuální automorfizmus. ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {F}}$ $\ mathcal S '$

Podrobnosti a příklady zde nejsou uvedeny, ale lze je najít v článku o mírných distribucích .

Všimněte si, že výraz Fourierovy transformace funkce $f$ vypadá jako bodový produkt mezi $f$ a konjugátem . Kromě toho, že nemá smysl, protože $e$ $2 n$ $EJ$ není v $L$ $2$ . Je to háček duality distribucí , který se pro funkce shoduje s bodovým součinem $L$ $2$ , dává této formulaci význam jako bodový součin. ${\ displaystyle {\ rm {L}} ^ {2} (\ mathbb {C}), (f, g) _ {L ^ {2}}: = \ int f {\ bar {g}}}$ $e_ {2 \ pi \ xi}: x \ mapsto {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi \ xi \ cdot x}$ $(f, e_ {2 \ pi \ xi}) _ {L ^ {2}}$ $\ langle T_ {f}, e_ {2 \ pi \ xi} \ rangle$

Toto zobecnění jde mnohem dále, protože prostor temperovaných distribucí zahrnuje různé objekty, na nichž byla definována Fourierova transformace: funkce summable nebo summable square, funkce lokálně sumovatelných nebo lokálně sumovatelných periodik, sumarizovatelné diskrétní sekvence, periodické diskrétní soupravy. Fourierova transformace sjednocuje a zobecňuje různé definice transformací s jedinečným formalismem distribucí. Ukážeme, že Fourierova transformace generalizuje pojmy Fourierových integrálů a Fourierových řad postupnou analýzou těchto prostorů. ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ $\ mathcal S '$

Kompatibilita

Kompatibilita s funkčními prostory

Integrovatelné funkce a sumovatelné čtvercové funkce definují temperované distribuce. Ukažme, že dva možné pojmy Fourierovy transformace se shodují v případě $L 1$ , pak tuto kompatibilitu využijeme ke stanovení v případě $L 2$ .

Kompatibilita s $L 1$ a $L 2$ - Buď

$f \ in {\ rm {L}} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})$ a jeho Fourierova transformace, ${\ displaystyle {\ hat {f}} \ v C_ {0} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

nebo

$f \ in {\ rm {L}} ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})$ a jeho Fourierova transformace. ${\ displaystyle {\ hat {f}} \ in {\ rm {L}} ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

V těchto dvou případech definujte temperované rozdělení rovné Fourierově transformaci

T

f

, tj.

{\ hat {f}}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} T_ {f} = T _ {\ hat {f}}}

. Demonstrace

Buď . Jde o ověření, že u všeho , $f \ in {\ rm {L}} ^ {1}$ ${\ displaystyle \ phi \ v {\ mathcal {S}}}$

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) {\ hat {\ phi}} (x) {\ rm {d}} x = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ hat {f}} (y) \ phi (y) {\ rm {d}} y}

to znamená

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ phi (y) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x \ cdot y} {\ rm {d}} y \ right) {\ rm {d}} x = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x \ cdot y} {\ rm {d}} x \ right) \ phi (y) {\ rm {d}} y}

Toto vyplývá jednoduše z Fubiniho věty aplikované na integrovatelnou funkci . ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto f (x) \ phi (y) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x \ cdot y}}$

Tyto dva souvislé mapy a , z $L$ $2$ v oddělené prostory , jsou stejné, protože se shodují, podle předchozího bodu, na husté podprostoru $L$ $1$ $\cap L$ $2$ . ${\ displaystyle f \ mapsto {\ mathcal {F}} T_ {f}}$ ${\ displaystyle f \ mapsto T _ {\ hat {f}}}$ $\ mathcal S '$

A konečně, periodické funkce integrovatelné během období jsou přesně ty funkce, které jsou periodické i lokálně integrovatelné, a proto definují pravidelné distribuce.

Kompatibilita s $L 1 na$ - Fourierova transformace pravidelného rozdělení $T f$ definovaná $T$ -periodickou funkcí je distribuce s diskrétní podporou odpovídající posloupnosti jeho Fourierových koeficientů: $f \ in {\ rm {L}} ^ {1} ([0, T [)$

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} T_ {f} = \ součet _ {n \ in \ mathbb {Z}} c_ {n} (f) \ delta _ {n} \ quad {\ rm {with}} \ quad c_ {n} (f) = \ int _ {0} ^ {T} f (x) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} {\ frac {2 \ pi} { T}} nx} \, \ mathrm {d} x}

Uvedený výsledek se týká pouze periodické funkce reálné proměnné, ale snadno rozšířit na periodických funkcí v síti ℝ N . Jelikož Fourierova transformace Je bijektivní, bude důkaz tohoto výsledku důsledkem věty o periodických distribucích .

Kompatibilita s prostorem apartmá

Sekvence, to znamená diskrétní signály, lze někdy vyjádřit jako distribuce na ℝ s podporou v ℤ. Dané posloupnosti jedinečným způsobem odpovídá řada Diracových hmot . Když je tato posloupnost shrnutelná, má tato řada Diracových hmot význam jako temperované rozdělení řádu 0. $a: = (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}$ $T_ {a}: = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} a_ {k} \ delta _ {k}$

Kompatibilita s $l$ $1$ ${\ mathcal {F}}$ - Dovolme být shrnutelnou posloupností s komplexními hodnotami . Jeho diskrétní Fourierova transformace je 1-periodická funkce, která se shoduje s Fourierovou transformací Diracovy hromadné řady spojené s $a$ . $a: = (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}$

{\ displaystyle \ mathbf {TFTD} [(a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}] = {\ mathcal {F}} \ left (\ sum _ {k \ in \ mathbb {Z} } a_ {k} \ delta _ {k} \ vpravo)}

. Demonstrace kompatibility s

l

1

{\ mathcal {F}}

Když je summable, součet se skutečně definují rozdělení řádu 0. Ve skutečnosti, pro testovací funkcí , $T_ {a}: = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} a_ {k} \ delta _ {k}$ ${\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ langle \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} a_ {k} \ delta _ {k}, \ phi \ rangle & = & \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} (a_ {k} \ phi (k)) \\\ left | \ langle \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} a_ {k} \ delta _ {k}, \ phi \ rangle \ right | & \ leq & \ left (\ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} | a_ {k} | \ right) \ | \ phi \ | _ {\ infty}. \ end {pole}}}$

Kontinuita Fourierovy transformace a vzorce v Dirac transformace , ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ delta _ {k}) = e _ {- 2 \ pi k}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} T_ {a} = \ xi \ mapsto \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} a_ {k} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} 2 \ pi k \ xi} = \ mathbf {TFTD} [a]}

Fourierovu transformaci najdeme v diskrétním čase.

Hustotou se důkaz rozšiřuje na řadu sčítatelných čtverců. Všimněte si také, že Fourierova transformace periodických distribucí poskytuje definici diskrétní Fourierovy transformace sekvencí, které nemusí být nutně sčítatelné: sekvence s polynomickým růstem.

Zejména je diskrétní Fourierova transformace (DFT) může být také interpretován jako transformace z temperovaného rozdělení. Konečná posloupnost N bodů je skutečně identifikována jedinečným způsobem pomocí N- periodické posloupnosti získané periodizací, to znamená konvoluce s Diracovým hřebenem. $\ lbrace x_ {k} \ rbrace _ {k = 0} ^ {N-1}$

Kompatibilita s DFT ${\ mathcal {F}}$ - DFT posloupnosti $x (•)$ v pořadí N je Fourierova transformace distribuce s podporou ℤ získaná periodizací $x (•)$ v období N , tj. - tj. Konvoluce hřebenem Dirac $W N$ :

{\ displaystyle \ mathbf {TFD} _ {N} [x (.)] (k) = {\ mathcal {F}} [{\ tilde {x}} (.)] (k)}

s .

{\ tilde {x}} = W_ {N} \ ast \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ delta _ {n} \ right)

Diskrétní signály a periodické signály

To si můžeme formálně ponechat, Fourierova transformace si vyměňuje diskretizaci a periodizaci.

Spektrum diskrétního signálu $x [•]$ získané vzorkováním v periodě $T$ představuje periodické spektrum vyplývající z periodizace spektra spojitého signálu:

{\ displaystyle \ mathbf {TFTD} (x [.]) = {\ mathcal {F}} (x (.)) \ ast W _ {\ frac {2 \ pi} {T}}}

Pokud je násobení není definováno mezi distribuci, je uveden v případě hřebenem smyslu , a formulace konvoluce dále ověřena: . $x [.] = x (.) \ cdot W_ {T}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (x (.) \ cdot W_ {T}) = {\ mathcal {F}} (x (.)) \ ast {\ mathcal {F}} (W_ {T} )}$

Spektrum $T$ -periodického signálu $x T (•)$ , to znamená součet jeho Fourierovy řady, je spektrum získané diskretizací spektra zkráceného signálu za jedinou periodu.

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (x_ {T} (.)) = {\ mathcal {F}} (x (.)) \ cdot W_ {T}}

s .

x = x_ {T}. 1 _ {[0, T]}

Odkazy na jiné transformace

Propojte s Laplaceovými transformacemi

Fourierova transformace funkce $f$ je speciální případ bilaterální Laplaceovy transformace stejné funkce definované pomocí: s . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {bil} \ {f \} (p) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (t) \, {\ rm {e}} ^ {- pt} {\ rm {d}} t}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {C}}$

Pak to vidíme . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \} (\ xi) = {\ mathcal {L}} _ {bil} \ {f \} ({\ rm {i}} \ xi)}$

Můžeme také napsat tento odkaz pomocí „obvyklé“ Laplaceovy transformace pomocí:

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \} (\ xi) = {\ mathcal {L}} \ {f ^ {+} \} (+ {\ rm {i}} \ xi) + { \ mathcal {L}} \ {f ^ {-} \} (- {\ rm {i}} \ xi)}

kde funkce $f +$ a $f -$ jsou definovány:

{\ displaystyle f ^ {+} (t) = f (+ t), \ {\ text {si}} t \ geq 0,0 \ {\ text {jinak}}.}

{\ displaystyle f ^ {-} (t) = f (-t), \ {\ text {si}} t \ leq 0,0 \ {\ text {jinak}}.}

Spojení s Fourierovou sérií

Formální paralela

Fourierova transformace je definována podobným způsobem: integrační proměnná $x$ je nahrazena $n Δ x$ , kde $n$ je součtový index, a integrál součtem. Pak máme

{\ displaystyle {\ hat {f}} (k) = \ Delta t \ součet _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm { i}} 2 \ pi kn \ Delta t}}

Některé poznámky k tomuto tématu najdete ve spektrální analýze .

Přímý odkaz

Jak však naznačuje teoretická studie v předchozí části, přímá souvislost mezi sériemi a Fourierovými transformacemi je možná teorií distribucí. Vezmeme-li předchozí prezentaci praktičtěji, Fourierova transformace (definice frekvence) periodické funkce $f$ období T je Diracův hřeben frekvenční periody 1 / T , modulovaný komplexními koeficienty c n :

{\ displaystyle {\ hat {f}} (k) = \ součet _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} \ delta \ left (k - {\ frac {n} {T} } \ že jo),}

kde c n jsou přesně koeficienty (komplexní) Fourierovy řady $f$ . Abychom to viděli, stačí zkontrolovat, že vzorec inverzní transformace dává přesně Fourierovu řadu $f$ , a proto je téměř všude roven $f$ (za předpokladu, že Fourierova řada $f$ konverguje). ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$

To umožňuje sjednotit formalismus Fourierovy řady s Fourierovou transformací.

Pokud dáváme přednost pulzující definici Fourierovy transformace ( ), musíme předchozí vzorec nahradit ${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} \ omega t} dt}$

{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ omega) = 2 \ pi \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} \ delta (\ omega - \ omega _ {T} n), \ {\ textrm {with}} \ \ omega _ {T} = 2 \ pi / T}

Například po několika manipulacích:

${\ displaystyle {\ cal {Fe ^ {i \ omega _ {T} t} = 2 \ pi \ delta (\ omega - \ omega _ {T})}}}$ (Dirac se posunul);
${\ displaystyle {\ cal {F \ cos (\ omega _ {T} t) = \ pi [\ delta (\ omega + \ omega _ {T}) + \ delta (\ omega - \ omega _ {T}) ]}}}$
${\ displaystyle {\ cal {F \ sin (\ omega _ {T} t) = i \ pi [\ delta (\ omega + \ omega _ {T}) - \ delta (\ omega - \ omega _ {T} )]}}}$

Stále existuje užitečný vzorec, který dává Fourierově řadě periodické funkce $f,$ jakmile známe Fourierovu transformaci jejího omezení g na jednu periodu T ( nutně existuje, pokud je $f$ lokálně integrovatelné, protože T je kompaktní). Porovnáním vzorců to snadno získáme ${\ displaystyle {\ cal {Fg}}}$

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} {\ hat {g}} (n \ omega _ {T}).}

Tento vzorec umožňuje použití impozantního aparátu dostupného pro Fourierovu transformaci (konvoluce, posun, součin, distribuce, tabulky atd.) Pro výpočet Fourierových koeficientů periodické funkce. Například je snadné získat Fourierovu řadu pulzních vln čtvercového, trojúhelníkového, polosinusového tvaru atd.

Jiný výklad

Jak jsme viděli výše , na druhou stranu je možné interpretovat integrál Fourierovy transformace jako konečný součet n harmonických oscilátorů, kde n je nestandardní celé číslo ; to se rovná identifikaci (v jiném smyslu) Fourierovy transformace na koeficientech Fourierovy řady.

Transformovaný

Používají se následující normalizované proměnné: , . $F = {f \ over f_ {e}} = f \ Delta t = f | _ {\ Delta t = 1}$ ${\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi F = 2 \ pi f \ Delta t = \ omega \ Delta t = \ omega | _ {\ Delta t = 1}}$

Fourierova transformace (analýza)	Reverzní transformace (syntéza)
$X (f) = \ Delta t \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi fn \ Delta t}$	$x (n) = \ int _ {f_ {e}} X (f) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi fn \ Delta t} {\ rm {d}} f$
$X (w) = \ Delta t \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} \ omega n \ Delta t }$	$x (n) = {1 \ přes 2 \ pi} \ int _ {\ omega _ {2} = 2 \ pi f_ {e}} X (w) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i }} wn \ Delta t} {\ rm {d}} w$
$X (F) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi nF}$	$x (n) = \ int _ {1} X (f) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi nF} {\ rm {d}} F \, \!$
$X (\ Omega) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ Omega}$	$x (n) = {1 \ přes 2 \ pi} \ int _ {2 \ pi} X (\ Omega) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ Omega} {\ rm { d}} \ Omega$

Zobecnění

Fourierova transformace se díky duality Pontryagina prakticky zobecňuje na místní kompaktní abelianské skupiny .

Při zpracování obrazu se provádějí dvourozměrné Fourierovy transformace: je-li $f$ funkcí ℝ 2 v ℝ, je jeho Fourierova transformace definována:

{\ displaystyle {\ hat {f}} (u, v) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x, y) \ mathrm {e} ^ {- {\ rm {i}} (ux + vy)} \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y}

Tabulky hlavních Fourierových transformací

Následující tabulky představují Fourierovy transformace určitých funkcí. K Fourierovy transformace $f ( x )$ , $g ( x )$ a $h ( x )$ jsou označeny příslušně $f$ , $g$ a $h$ . Objeví se pouze tři nejběžnější konvence. Může být užitečné poznamenat, že vstup 105 označuje vztah mezi Fourierovou transformací funkce a původní funkcí, kterou lze považovat za vztah mezi Fourierovou transformací a její inverzí.

Vztahy mezi funkcemi s jednou proměnnou

Fourierovy transformace této tabulky jsou zpracovány v (en) Arthur Erdélyi, Tables of Integral Transforms, Vol. 1 , McGraw-Hill,1954nebo (en) David Kammler, První kurz Fourierovy analýzy , USA, Prentice Hall,2000.

	Funkce	Fourierova transformace ξ je frekvence v hertzích	Fourierova transformace ω je úhlová frekvence nebo pulzace, ω = 2πξ	Fourierova transformace alternativní definice	Poznámky
	${\ displaystyle f (x) \,}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ hat {f}} (\ xi) \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- 2 \ pi ix \ xi} \, dx \ end {zarovnáno}}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ hat {f}} (\ omega) \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- i \ omega x} \, dx \ end {zarovnáno}}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ hat {f}} (\ nu) \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- i \ nu x } \, dx \ end {zarovnáno}}}$	Definice
101	${\ displaystyle a \ cdot f (x) + b \ cdot g (x) \,}$	${\ displaystyle a \ cdot {\ hat {f}} (\ xi) + b \ cdot {\ hat {g}} (\ xi) \,}$	${\ displaystyle a \ cdot {\ hat {f}} (\ omega) + b \ cdot {\ hat {g}} (\ omega) \,}$	${\ displaystyle a \ cdot {\ hat {f}} (\ nu) + b \ cdot {\ hat {g}} (\ nu) \,}$	Linearita
102	${\ displaystyle f (xa) \,}$	${\ displaystyle e ^ {- 2 \ pi ia \ xi} {\ hat {f}} (\ xi) \,}$	${\ displaystyle e ^ {- ia \ omega} {\ hat {f}} (\ omega) \,}$	${\ displaystyle e ^ {- ia \ nu} {\ hat {f}} (\ nu) \,}$	Časový posun
103	${\ displaystyle f (x) e ^ {iax} \,}$	${\ displaystyle {\ hat {f}} \ vlevo (\ xi - {\ frac {a} {2 \ pi}} \ vpravo) \,}$	${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ omega -a) \,}$	${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ nu -a) \,}$	Ofset ve frekvenční doméně, tento vztah je duální 102
104	${\ displaystyle f (sekera) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| a \|}} {\ hat {f}} \ vlevo ({\ frac {\ xi} {a}} \ vpravo) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| a \|}} {\ hat {f}} \ vlevo ({\ frac {\ omega} {a}} \ vpravo) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| a \|}} {\ hat {f}} \ vlevo ({\ frac {\ nu} {a}} \ vpravo) \,}$	Změna časového měřítka. Pokud je velký, pak $f$ $($ $ax$ $)$ je zúžené kolem 0 a rozprostírá se a zplošťuje. ${\ displaystyle {\| a \|}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\| a \|}} {\ hat {f}} \ vlevo ({\ frac {\ omega} {a}} \ vpravo) \,}$
105	${\ displaystyle {\ hat {f}} (x) \,}$	${\ displaystyle f (- \ xi) \,}$	${\ displaystyle f (- \ omega) \,}$	${\ displaystyle 2 \ pi f (- \ nu) \,}$	Dualita. Zde $f̂$ musí být vypočteno pomocí stejného vzorce jako ve sloupci Fourierovy transformace. To vyplývá ze změny „fiktivní“ proměnné z $x$ na $ξ$ nebo $ω$ nebo $ν$ .
106	${\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} f (x)} {dx ^ {n}}} \,}$	${\ displaystyle (2 \ pi i \ xi) ^ {n} {\ hat {f}} (\ xi) \,}$	${\ displaystyle (i \ omega) ^ {n} {\ hat {f}} (\ omega) \,}$	${\ displaystyle (i \ nu) ^ {n} {\ hat {f}} (\ nu) \,}$
107	${\ displaystyle x ^ {n} f (x) \,}$	${\ displaystyle \ left ({\ frac {i} {2 \ pi}} \ right) ^ {n} {\ frac {d ^ {n} {\ hat {f}} (\ xi)} {d \ xi ^ {n}}} \,}$	${\ displaystyle i ^ {n} {\ frac {d ^ {n} {\ hat {f}} (\ omega)} {d \ omega ^ {n}}}}$	${\ displaystyle i ^ {n} {\ frac {d ^ {n} {\ hat {f}} (\ nu)} {d \ nu ^ {n}}}}$	Jedná se o dvojí vztah 106
108	${\ displaystyle (f * g) (x) \,}$	${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) {\ hat {g}} (\ xi) \,}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ pi}} {\ hat {f}} (\ omega) {\ hat {g}} (\ omega) \,}$	${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ nu) {\ hat {g}} (\ nu) \,}$	Notace $f * g$ se rozumí konvoluční produkt ve $f$ a $g$ - toto pravidlo je Fubiniova věta
109	${\ displaystyle f (x) g (x) \,}$	${\ displaystyle \ left ({\ hat {f}} * {\ hat {g}} \ right) (\ xi) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ vlevo ({\ hat {f}} * {\ hat {g}} \ vpravo) (\ omega) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ vlevo ({\ hat {f}} * {\ hat {g}} \ vpravo) (\ nu) \,}$	Jedná se o dvojí vztah 108
110	Pokud je $f ( x )$ čistě reálné	${\ displaystyle {\ hat {f}} (- \ xi) = {\ overline {{\ hat {f}} (\ xi)}} \,}$	${\ displaystyle {\ hat {f}} (- \ omega) = {\ overline {{\ hat {f}} (\ omega)}} \,}$	${\ displaystyle {\ hat {f}} (- \ nu) = {\ overline {{\ hat {f}} (\ nu)}} \,}$	Hermitovská symetrie. $z$ je zápis konjugovat komplexu z $Z$ .
111	Pokud je $f ( x )$ čistě reálné a párové	$f̂ ( ξ )$ , $f̂ ( ω )$ a $f̂ ( ν )$ jsou čistě reálné a sudé .
112	Pokud je $f ( x )$ čistě reálné a liché	$f̂ ( ξ )$ , $f̂ ( ω )$ a $f̂ ( ν )$ jsou čistě imaginární a lichá .
113	Pokud je $f ( x )$ čistě imaginární	${\ displaystyle {\ hat {f}} (- \ xi) = - {\ overline {{\ hat {f}} (\ xi)}} \,}$	${\ displaystyle {\ hat {f}} (- \ omega) = - {\ overline {{\ hat {f}} (\ omega)}} \,}$	${\ displaystyle {\ hat {f}} (- \ nu) = - {\ overline {{\ hat {f}} (\ nu)}} \,}$	$z$ jekonjugát komplexz $Z$ .
114	${\ displaystyle {\ overline {f (x)}}}$	${\ displaystyle {\ overline {{\ hat {f}} (- \ xi)}}}$	${\ displaystyle {\ overline {{\ hat {f}} (- \ omega)}}}$	${\ displaystyle {\ overline {{\ hat {f}} (- \ nu)}}}$	Komplexní konjugace , zobecnění 110 a 113.
115	${\ displaystyle f (x) \ cos (sekera)}$	${\ displaystyle {\ frac {{\ hat {f}} \ vlevo (\ xi - {\ frac {a} {2 \ pi}} \ vpravo) + {\ hat {f}} \ vlevo (\ xi + { \ frac {a} {2 \ pi}} \ vpravo)} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {{\ hat {f}} (\ omega -a) + {\ hat {f}} (\ omega + a)} {2}} \,}$	${\ displaystyle {\ frac {{\ hat {f}} (\ nu -a) + {\ hat {f}} (\ nu + a)} {2}}}$	Vyplývá z 101 a 103 díky Eulerovu vzorci : ${\ displaystyle \ cos (ax) = {\ frac {e ^ {iax} + e ^ {- iax}} {2}}}$
116	${\ displaystyle f (x) \ sin (sekera)}$	${\ displaystyle {\ frac {{\ hat {f}} \ vlevo (\ xi - {\ frac {a} {2 \ pi}} \ vpravo) - {\ hat {f}} \ vlevo (\ xi + { \ frac {a} {2 \ pi}} \ doprava)} {2i}}}$	${\ displaystyle {\ frac {{\ hat {f}} (\ omega -a) - {\ hat {f}} (\ omega + a)} {2i}}}$	${\ displaystyle {\ frac {{\ hat {f}} (\ nu -a) - {\ hat {f}} (\ nu + a)} {2i}}}$	Vyplývá z 101 a 103 díky Eulerovu vzorci : ${\ displaystyle \ sin (ax) = {\ frac {e ^ {iax} -e ^ {- iax}} {2i}}}$

Funkce čtverce integrovatelné do proměnné

Fourierovy transformace této tabulky lze nalézt ve dvou předchozích referencích nebo v (en) George Campbell; Ronald Foster, Fourier Integrals for Practical Applications , New York, USA, D. Van Nostrand Company, Inc,1948.

	Funkce	Fourierova transformace ξ je frekvence v hertzích	Fourierova transformace ω je úhlová frekvence nebo pulzace, ω = 2πξ	Fourierova transformace alternativní definice	Poznámky
	${\ displaystyle f (x) \,}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ hat {f}} (\ xi) \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- 2 \ pi ix \ xi} \, dx \ end {zarovnáno}}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ hat {f}} (\ omega) \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- i \ omega x} \, dx \ end {zarovnáno}}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ hat {f}} (\ nu) \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- i \ nu x } \, dx \ end {zarovnáno}}}$
201	${\ displaystyle \ operatorname {rect} (sekera) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| a \|}} \ cdot \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {\ xi} {a}} \ right)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi a ^ {2}}}} \ cdot \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {\ omega} {2 \ pi a}} \ right )}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| a \|}} \ cdot \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {\ nu} {2 \ pi a}} \ right)}$	Pravoúhlá funkce viz funkce dveří ; normalizovaná kardinální sinusová funkce je zde definována pomocí $sinc ( x ) = hřích (π x ) / π x$
202	${\ displaystyle \ operatorname {sinc} (sekera) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| a \|}} \ cdot \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {\ xi} {a}} \ right) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi a ^ {2}}}} \ cdot \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {\ omega} {2 \ pi a}} \ right )}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| a \|}} \ cdot \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {\ nu} {2 \ pi a}} \ right)}$	Duální vztah pravidla 201. Funkce hradla je ideální dolní propust a funkce kardinálního sinu je nekauzální impulsní odezva takového filtru. Funkce sinc je zde definována jako $sinc ( x ) = hřích (π x ) / π x$
203	${\ displaystyle \ operatorname {sinc} ^ {2} (sekera)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| a \|}} \ cdot \ operatorname {tri} \ left ({\ frac {\ xi} {a}} \ right)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi a ^ {2}}}} \ cdot \ operatorname {tri} \ vlevo ({\ frac {\ omega} {2 \ pi a}} \ vpravo )}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| a \|}} \ cdot \ operatorname {tri} \ left ({\ frac {\ nu} {2 \ pi a}} \ right)}$	Funkce $sort ( x )$ je trojúhelníková funkce
204	${\ displaystyle \ operatorname {tri} (sekera)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| a \|}} \ cdot \ operatorname {sinc} ^ {2} \ left ({\ frac {\ xi} {a}} \ right) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi a ^ {2}}}} \ cdot \ operatorname {sinc} ^ {2} \ left ({\ frac {\ omega} {2 \ pi a }} \ že jo)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| a \|}} \ cdot \ operatorname {sinc} ^ {2} \ left ({\ frac {\ nu} {2 \ pi a}} \ right)}$	Jedná se o dvojí vztah pravidla 203.
205	${\ displaystyle e ^ {- ax} u (x) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {a + 2 \ pi i \ xi}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} (a + i \ omega)}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {a + i \ nu}}}$	Funkce $u ( x )$ je funkce chůze Heaviside a $a > 0$ .
206	${\ displaystyle e ^ {- \ alpha x ^ {2}} \,}$	${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}} \ cdot e ^ {- {\ frac {(\ pi \ xi) ^ {2}} {\ alpha}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ alpha}}} \ cdot e ^ {- {\ frac {\ omega ^ {2}} {4 \ alpha}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}} \ cdot e ^ {- {\ frac {\ nu ^ {2}} {4 \ alpha}}}}$	Poznámka: pro první dvě Fourierovy transformace je Gaussova funkce $e - αx 2$ pro uvážlivou volbu $α$ vlastní Fourierovou transformací. Aby to bylo integrovatelné, musíme mít $Re ( α )> 0$ .
207	${\ displaystyle \ operatorname {e} ^ {- a \| x \|} \,}$	${\ displaystyle {\ frac {2a} {a ^ {2} +4 \ pi ^ {2} \ xi ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ cdot {\ frac {a} {a ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2a} {a ^ {2} + \ nu ^ {2}}}}$	Pro $Re ( a )> 0$ . To znamená, že Fourierova transformace hustoty pravděpodobnosti Laplaceova rozdělení je hustotou pravděpodobnosti Cauchyova zákona .
208	${\ displaystyle \ operatorname {sech} (sekera) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {a}} \ operatorname {sech} \ left ({\ frac {\ pi ^ {2}} {a}} \ xi \ right)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {a}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ operatorname {sech} \ left ({\ frac {\ pi} {2a}} \ omega \ že jo)}$	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {a}} \ operatorname {sech} \ vlevo ({\ frac {\ pi} {2a}} \ nu \ vpravo)}$	Hyperbolické secant je jeho vlastní Fourierova transformace.
209	${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {a ^ {2} x ^ {2}} {2}}} H_ {n} (sekera) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {2 \ pi}} (- i) ^ {n}} {a}} e ^ {- {\ frac {2 \ pi ^ {2} \ xi ^ {2} } {a ^ {2}}}} H_ {n} \ left ({\ frac {2 \ pi \ xi} {a}} \ right)}$	${\ displaystyle {\ frac {(-i) ^ {n}} {a}} e ^ {- {\ frac {\ omega ^ {2}} {2a ^ {2}}}} H_ {n} \ vlevo ({\ frac {\ omega} {a}} \ vpravo)}$	${\ displaystyle {\ frac {(-i) ^ {n} {\ sqrt {2 \ pi}}} {a}} e ^ {- {\ frac {\ nu ^ {2}} {2a ^ {2} }}} H_ {n} \ left ({\ frac {\ nu} {a}} \ right)}$	$H n$ je $n-$ tý poustevnický polynom . Pokud $= 1$ pak funkce Hermiteho-Gaussovy jsou vlastní funkce provozovatele Fourierovy transformace.

Univariable distribuce

Fourierovy transformace této tabulky jsou zpracovány v (en) Arthur Erdélyi, Tables of Integral Transforms, Vol. 1 , McGraw-Hill,1954nebo (ne) David Kammler, první kurz Fourierovy analýzy , USA, Prentice Hall,2000.

	Funkce	Fourierova transformace ξ je frekvence v hertzích	Fourierova transformace ω je úhlová frekvence nebo pulzace, ω = 2πξ	Fourierova transformace alternativní definice	Poznámky
	${\ displaystyle f (x) \,}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ hat {f}} (\ xi) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- 2 \ pi ix \ xi} \, dx \ end {zarovnáno}}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ hat {f}} (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } f (x) e ^ {- i \ omega x} \, dx \ end {zarovnáno}}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ hat {f}} (\ nu) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- i \ nu x} \, dx \ end {zarovnáno}}}$
301	$1$	${\ displaystyle \ delta (\ xi)}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ pi}} \ cdot \ delta (\ omega)}$	${\ displaystyle 2 \ pi \ delta (\ nu)}$	$δ ( ξ )$ je Diracova distribuce .
302	${\ displaystyle \ delta (x) \,}$	$1$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \,}$	$1$	Podobně jako 301.
303	${\ displaystyle e ^ {iax}}$	${\ displaystyle \ delta \ left (\ xi - {\ frac {a} {2 \ pi}} \ right)}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ pi}} \ cdot \ delta (\ omega -a)}$	${\ displaystyle 2 \ pi \ delta (\ nu -a)}$	Výsledky 103 a 301.
304	${\ displaystyle \ cos (sekera)}$	${\ displaystyle {\ frac {\ delta \ left (\ xi - {\ frac {a} {2 \ pi}} \ right) + \ delta \ left (\ xi + {\ frac {a} {2 \ pi} } \ vpravo)} {2}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ pi}} \ cdot {\ frac {\ delta (\ omega -a) + \ delta (\ omega + a)} {2}} \,}$	${\ displaystyle \ pi \ left (\ delta (\ nu -a) + \ delta (\ nu + a) \ right)}$	Výsledky 101 a 303 díky Eulerovu vzorci : ${\ displaystyle \ cos (ax) = {\ frac {e ^ {iax} + e ^ {- iax}} {2}}.}$
305	${\ displaystyle \ sin (sekera)}$	${\ displaystyle {\ frac {\ delta \ left (\ xi - {\ frac {a} {2 \ pi}} \ right) - \ delta \ left (\ xi + {\ frac {a} {2 \ pi} } \ vpravo)} {2i}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ pi}} \ cdot {\ frac {\ delta (\ omega -a) - \ delta (\ omega + a)} {2i}}}$	${\ displaystyle -i \ pi {\ bigl (} \ delta (\ nu -a) - \ delta (\ nu + a) {\ bigr)}}$	Výsledky z 101 a 303 od ${\ displaystyle \ sin (ax) = {\ frac {e ^ {iax} -e ^ {- iax}} {2i}}.}$
306	${\ displaystyle \ cos \ left (ax ^ {2} \ right)}$	${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ pi} {a}}} \ cos \ left ({\ frac {\ pi ^ {2} \ xi ^ {2}} {a}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ vpravo)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2a}}} \ cos \ left ({\ frac {\ omega ^ {2}} {4a}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ že jo)}$	${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ pi} {a}}} \ cos \ left ({\ frac {\ nu ^ {2}} {4a}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ že jo)}$
307	${\ displaystyle \ sin \ left (ax ^ {2} \ right) \,}$	${\ displaystyle - {\ sqrt {\ frac {\ pi} {a}}} \ sin \ left ({\ frac {\ pi ^ {2} \ xi ^ {2}} {a}} - {\ frac { \ pi} {4}} \ vpravo)}$	${\ displaystyle {\ frac {-1} {\ sqrt {2a}}} \ sin \ left ({\ frac {\ omega ^ {2}} {4a}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ že jo)}$	${\ displaystyle - {\ sqrt {\ frac {\ pi} {a}}} \ sin \ left ({\ frac {\ nu ^ {2}} {4a}} - {\ frac {\ pi} {4} } \ že jo)}$
308	${\ displaystyle x ^ {n} \,}$	${\ displaystyle \ left ({\ frac {i} {2 \ pi}} \ right) ^ {n} \ delta ^ {(n)} (\ xi) \,}$	${\ displaystyle i ^ {n} {\ sqrt {2 \ pi}} \ delta ^ {(n)} (\ omega) \,}$	${\ displaystyle 2 \ pi i ^ {n} \ delta ^ {(n)} (\ nu) \,}$	Zde $n$ je celé číslo a je $n-$ tou derivací (ve smyslu distribucí) Diracova rozdělení. To vyplývá z pravidel 107 a 301. V kombinaci s 101 získáme transformace všech polynomů . ${\ displaystyle \ delta ^ {(n)} (\ xi) \,}$
	${\ displaystyle \ delta ^ {(n)} (x) \,}$	${\ displaystyle (2 \ pi i \ xi) ^ {n} \,}$	${\ displaystyle {\ frac {(i \ omega) ^ {n}} {\ sqrt {2 \ pi}}} \,}$	${\ displaystyle (i \ nu) ^ {n} \,}$	Analogicky k 308. je $n-$ tou derivací (ve smyslu distribucí) Diracova rozdělení. Výsledky 106 a 302. ${\ displaystyle \ delta ^ {(n)} (\ xi) \,}$
309	${\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$	${\ displaystyle -i \ pi \ operatorname {sgn} (\ xi)}$	${\ displaystyle -i {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ operatorname {sgn} (\ omega)}$	${\ displaystyle -i \ pi \ operatorname {sgn} (\ nu)}$	Zde $sgn ( ξ )$ je znaková funkce . Všimněte si, že $1 / X$ není distribuce. Pro studium funkcí Schwartze musíme použít hlavní hodnotu Cauchyho . Toto pravidlo je užitečné při studiu Hilbertovy transformace .
310	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ frac {1} {x ^ {n}}} \\ &: = {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {(n-1) !}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ log \| x \| \ end {zarovnáno}}}$	${\ displaystyle -i \ pi {\ frac {(-2 \ pi i \ xi) ^ {n-1}} {(n-1)!}} \ operatorname {sgn} (\ xi)}$	${\ displaystyle -i {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ cdot {\ frac {(-i \ omega) ^ {n-1}} {(n-1)!}} \ operatorname {sgn} (\ omega)}$	${\ displaystyle -i \ pi {\ frac {(-i \ nu) ^ {n-1}} {(n-1)!}} \ operatorname {sgn} (\ nu)}$	$1 / x n$ je homogenní distribuce definovaná derivací ${\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {(n-1)!}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ log \| x \| }$
311	${\ displaystyle \| x \| ^ {\ alpha} \,}$	${\ displaystyle - {\ frac {2 \ sin \ left ({\ frac {\ pi \ alpha} {2}} \ right) \ Gamma (\ alpha +1)} {\| 2 \ pi \ xi \| ^ {\ alfa +1}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {-2} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {\ sin \ vlevo ({\ frac {\ pi \ alpha} {2}} \ vpravo) \ Gamma ( \ alpha +1)} {\| \ omega \| ^ {\ alpha +1}}}}$	${\ displaystyle - {\ frac {2 \ sin \ left ({\ frac {\ pi \ alpha} {2}} \ right) \ Gamma (\ alpha +1)} {\| \ nu \| ^ {\ alpha +1 }}}}$	Vzorec platný pro skutečné α s $-1 < α <0$ . Pokud je komplex α s $Re ( α )> -1$ , pak je to lokálně integrovatelná funkce, a proto jde o temperované rozdělení . Funkce $α$ ↦ je holomorfní funkcí skutečné komplexní poloroviny v prostoru mírných distribucí. To má jedinečnou příponu meromorfní který je temperovaného rozdělení také známý pouze pro $alfa$ $\neq -2, -4, ...$ . ${\ displaystyle \| x \| ^ {\ alpha} \,}$ ${\ displaystyle \| x \| ^ {\ alpha} \,}$ ${\ displaystyle \| x \| ^ {\ alpha} \,}$
	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {\| x \|}}} \,}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {\| \ xi \|}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {\| \ omega \|}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 \ pi}} {\ sqrt {\| \ nu \|}}}}$	Zvláštní případ 311.
312	${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {i \ pi \ xi}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} {\ frac {1} {i \ omega}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2} {i \ nu}}}$	Duální vzorec 309. Tentokrát je třeba brát Fourierovu transformaci jako hlavní Cauchyovu hodnotu .
313	${\ displaystyle u (x)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ vlevo ({\ frac {1} {i \ pi \ xi}} + \ delta (\ xi) \ vpravo)}$	${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ vlevo ({\ frac {1} {i \ pi \ omega}} + \ delta (\ omega) \ vpravo)}$	${\ displaystyle \ pi \ left ({\ frac {1} {i \ pi \ nu}} + \ delta (\ nu) \ right)}$	Funkce $u ( x )$ je Heavisideova funkce ; vzorec vyplývá z 101, 301 a 312.
314	${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x-nT)}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ součet _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (\ xi - {\ frac {k} {T}} \ right)}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 \ pi}} {T}} \ součet _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (\ omega - {\ frac {2 \ pi k } {T}} \ vpravo)}$	${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {T}} \ součet _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (\ nu - {\ frac {2 \ pi k} {T} } \ že jo)}$	Tato funkce se nazývá hřeben Dirac . Což vyplývá z 302 a 102, s tím, že jsou považovány za distribuce. ${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {inx} = 2 \ pi \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x + 2 \ pi k)}$
315	${\ displaystyle J_ {0} (x)}$	${\ displaystyle {\ frac {2 \, \ operatorname {rect} (\ pi \ xi)} {\ sqrt {1-4 \ pi ^ {2} \ xi ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ cdot {\ frac {\ operatorname {rect} \ left ({\ frac {\ omega} {2}} \ right)} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2 \, \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {\ nu} {2}} \ right)} {\ sqrt {1- \ nu ^ {2}}}}}$	Funkce $J 0 ( x )$ je Besselova funkce 1. řádu nultého řádu.
316	${\ displaystyle J_ {n} (x)}$	${\ displaystyle {\ frac {2 (-i) ^ {n} T_ {n} (2 \ pi \ xi) \ operatorname {rect} (\ pi \ xi)} {\ sqrt {1-4 \ pi ^ { 2} \ xi ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} {\ frac {(-i) ^ {n} T_ {n} (\ omega) \ operatorname {rect} \ vlevo ({\ frac { \ omega} {2}} \ vpravo)} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2 (-i) ^ {n} T_ {n} (\ nu) \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {\ nu} {2}} \ right)} {\ sqrt {1- \ nu ^ {2}}}}}$	Zevšeobecnění 315. Funkce $J n ( x )$ je Besselova funkce řádu n 1. druhu. Funkce $T n ( x )$ je Čebyševův polynom 1. typu.
317	${\ Displaystyle \ log \ left \| x \ right \|}$	${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {\ left \| \ xi \ right \|}} - \ gamma \ delta \ left (\ xi \ right)}$	${\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} {\ left \| \ omega \ right \|}} - {\ sqrt {2 \ pi}} \ gamma \ delta \ left ( \ omega \ right)}$	${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {\ left \| \ nu \ right \|}} - 2 \ pi \ gamma \ delta \ left (\ nu \ right)}$	$γ$ je Euler-Mascheronova konstanta .
318	${\ displaystyle \ left (\ mp ix \ right) ^ {- \ alpha}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ doleva (2 \ pi \ doprava) ^ {\ alfa}} {\ gama \ doleva (\ alpha \ doprava)}} u \ doleva (\ pm \ xi \ doprava) \ doleva (\ pm \ xi \ right) ^ {\ alpha -1}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 \ pi}} {\ Gamma \ doleva (\ alfa \ doprava)}} u \ doleva (\ pm \ omega \ doprava) \ doleva (\ pm \ omega \ doprava) ^ {\ alpha -1}}$	${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {\ gama \ vlevo (\ alpha \ right)}} u \ left (\ pm \ nu \ right) \ left (\ pm \ nu \ right) ^ {\ alpha - 1}}$	Správný vzorec pro $0 < α <1$ . Použijte derivační vzorec 106 k odvození vzorce pro vyšší exponenty. $u$ je funkce Heaviside.

Funkce dvou proměnných

	Funkce	Fourierova transformace ξ je frekvence v hertzích	Fourierova transformace ω je úhlová frekvence nebo pulzace, ω = 2πξ	Fourierova transformace, alternativní definice	Poznámky
400	${\ displaystyle f (x, y)}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ hat {f}} (\ xi _ {x}, \ xi _ {y}) \\ & = \ iint f (x, y) e ^ {- 2 \ pi i (\ xi _ {x} x + \ xi _ {y} y)} \, dx \, dy \ end {zarovnáno}}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ hat {f}} (\ omega _ {x}, \ omega _ {y}) \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ iint f (x, y) e ^ {- i (\ omega _ {x} x + \ omega _ {y} y)} \, dx \, dy \ end {zarovnáno}}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ hat {f}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) \\ & = \ iint f (x, y) e ^ {- i ( \ nu _ {x} x + \ nu _ {y} y)} \, dx \, dy \ end {zarovnáno}}}$	Proměnné $ξ x$ , $ξ y$ , $ω x$ , $ω y$ , $ν x$ , $ν y$ jsou skutečné. Integrály pokrývají celou složitou rovinu.
401	${\ displaystyle e ^ {- \ pi \ left (a ^ {2} x ^ {2} + b ^ {2} y ^ {2} \ right)}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| ab \|}} e ^ {- \ pi \ left ({\ frac {\ xi _ {x} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {\ xi _ {y} ^ {2}} {b ^ {2}}} \ vpravo)}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ cdot \| ab \|}} e ^ {- {\ frac {1} {4 \ pi}} \ vlevo ({\ frac {\ omega _ {x} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {\ omega _ {y} ^ {2}} {b ^ {2}}} \ vpravo)}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\| ab \|}} e ^ {- {\ frac {1} {4 \ pi}} \ vlevo ({\ frac {\ nu _ {x} ^ {2}} { a ^ {2}}} + {\ frac {\ nu _ {y} ^ {2}} {b ^ {2}}} \ vpravo)}}$	Funkce a její transformace jsou všichni Gaussové.
402	${\ displaystyle \ operatorname {circ} \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right)}$	${\ displaystyle {\ frac {J_ {1} \ vlevo (2 \ pi {\ sqrt {\ xi _ {x} ^ {2} + \ xi _ {y} ^ {2}}} \ vpravo)} {\ sqrt {\ xi _ {x} ^ {2} + \ xi _ {y} ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {J_ {1} \ vlevo ({\ sqrt {\ omega _ {x} ^ {2} + \ omega _ {y} ^ {2}}} \ vpravo)} {\ sqrt {\ omega _ {x} ^ {2} + \ omega _ {y} ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi J_ {1} \ vlevo ({\ sqrt {\ nu _ {x} ^ {2} + \ nu _ {y} ^ {2}}} \ vpravo)} {\ sqrt {\ nu _ {x} ^ {2} + \ nu _ {y} ^ {2}}}}}$	Funkce je definována pomocí $cirkulace ( r ) = 1$ nad $0 \leq r \leq 1$ a všude jinde je nulová. Výsledkem je distribuce amplitudy vzdušného bodu . $J 1$ je Besselova funkce prvního druhu řádu 1.
403	${\ displaystyle {\ frac {i} {x + iy}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi _ {x} + i \ xi _ {y}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {x} + i \ omega _ {y}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {\ nu _ {x} + i \ nu _ {y}}}}$

Poznámky a odkazy

(en) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Fourierova transformace “ ( viz seznam autorů ) .

Walter Rudin , Reálná a komplexní analýza [ detail vydání ], str. 174 z roku 1975-77.
(in) Mark Pinsky (de) , Introduction to Fourier Analysis and Wavelets , Brooks / Cole,2002( ISBN 978-0-8218-7198-0 , číst online ) , s. 131.
Nebo přesněji ve stínu tohoto součtu .
Stein a Weiss 1971 , Thm. IV.3.3.

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

Jean-Michel Bony , kurz analýzy , Éditions de l'École Polytechnique
Srishti D. Chatterji, Kurz analýzy , Presses polytechniques et universitaire romandes , 1998 ( ISBN 978-2880743468 )

externí odkazy

Alain Yger, Hilbertovy prostory a Fourierova analýza (2008), během 3. ročníku , University Bordeaux I
(en) „ FTL-SE “ , vzdělávací program o Fourierových transformacích obrazů
J. Fourier, Analytical Theory of Heat (1822), kap. III (základy Fourierovy transformace), online a komentoval web BibNum
Oko a fyziologie vidění: „elektrofyziologické signály“ .