Geodetická rovnice

V Riemannově varietě získáme rovnici geodetiky vyjádřením, že její délka je minimální - podle definice.

Souřadný systém daný metrickým tenzorem označuje délku nekonečně malé křivky: $x ^ {i}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} s = {\ sqrt {\ pm g_ {ij} \ mathrm {d} x ^ {i} \ mathrm {d} x ^ {j}}}}

Volitelné znaménko se volí podle znaménka intervalu a podpisu metrického tenzoru. $\ pm$

Pokud je křivka parametrizována pomocí proměnné , zapíšeme $\ tau$

{\ displaystyle {\ dot {s}} = {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ sqrt {\ pm g_ {ij} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}}}

kde horní bod představuje celkovou derivaci vzhledem k . Délka trajektorie se proto rovná integrálu: $\ tau$

{\ displaystyle \ int {\ sqrt {\ pm g_ {ij} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}} \ mathrm {d} \ tau}

Použitím Lagrangeovy metody týkající se výpočtu variací k vyjádření, že integrál je minimální, získáme geodetickou rovnici

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ dot {s}}} {\ částečné x ^ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ dot {s}}} {\ částečné {\ dot {x}} ^ {k}}} \ vpravo) = 0}$

Kanonická parametrizace trajektorií umožňuje získat rovnici zahrnující symboly Christoffel : ${\ displaystyle \ tau = s}$

{\ displaystyle {\ ddot {x}} ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = 0}

Demonstrace

Vysvětlení v předchozí geodetické rovnici: ${\ dot {s}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ dot {s}}} {\ částečné x ^ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ dot {s}}} {\ částečné {\ dot {x}} ^ {k}}} \ vpravo) = 0}

jeden má, tím, že zaznamená parciální derivaci metrického tenzoru ve srovnání s k - tou souřadnicí: ${\ displaystyle g_ {ij, k} = \ částečné _ {k} g_ {ij}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 {\ dot {s}}}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} - { \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ vlevo ({\ frac {1} {\ dot {s}}} g_ {ki} {\ dot {x}} ^ {i } \ vpravo) = 0}

Parametrizujme trajektorii podle její délky , tj. Předpokládejme . S touto volbou máme a geodetická rovnice se stává $s$ ${\ displaystyle \ tau = s}$ ${\ displaystyle {\ dot {s}} = 1}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} - {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} s}} \ left (g_ {ki} {\ dot {x}} ^ {i} \ right) = 0}

Protože metrický tenzor závisí na, ale ne výslovně na , máme a geodetická rovnice má podobu $x ^ {i}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} g_ {ki}} {\ mathrm {d} s}} = g_ {ki, j} {\ tfrac {\ mathrm {d} x ^ {j}} {\ mathrm {d} s}} = g_ {ki, j} {\ dot {x}} ^ {j}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} -g_ {ki, j} {\ tečka {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} -g_ {ki} {\ ddot {x}} ^ {i} = 0}

nebo znovu, využitím skutečnosti, že indexy i a j hrají symetrické role, a proto, že : ${\ displaystyle g_ {ki, j} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = g_ {kj, i} {\ dot {x}} ^ {i} { \ dot {x}} ^ {j}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ vlevo (g_ {ij, k} -g_ {ki, j} -g_ {kj, i} \ vpravo) {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} -g_ {ki} {\ ddot {x}} ^ {i} = 0}

Avšak neplatnost kovariantní derivátu metrický tensor umožňuje potvrdit, že:

{\ displaystyle g_ {ij, k} = \ Gamma _ {ik} ^ {l} g_ {lj} + \ Gamma _ {jk} ^ {l} g_ {il}}

{\ displaystyle g_ {ki, j} = \ Gamma _ {kj} ^ {l} g_ {li} + \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

{\ displaystyle g_ {kj, i} = \ Gamma _ {ki} ^ {l} g_ {lj} + \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

proto pomocí symetrie metrického tenzoru a Christoffelových symbolů:

{\ displaystyle g_ {ij, k} -g_ {ki, j} -g_ {kj, i} = - 2 \ gama _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

a tak:

{\ displaystyle - \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = g_ {ki} {\ ddot {x }} ^ {i} = g_ {kl} {\ ddot {x}} ^ {l}}

přejmenováním indexu i na l v poslední vazbě. Potom stačí použít inverzní funkci tenzoru g k závěru, že:

{\ displaystyle {\ ddot {x}} ^ {l} = - \ Gamma _ {ij} ^ {l} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}

Příklad

Uvažujme Poincarého polorovinu , jejíž body jsou identifikovány dvojicí ( x , y ), s y > 0. Metrika této poloroviny je dána v bodě ( x , y ) pomocí:

{\ displaystyle g (x, y) = {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {y ^ {2}}}}

Výpočet symbolů Christoffel je z tohoto tensor dává:

{\ displaystyle \ Gamma _ {xx} ^ {y} = - \ Gamma _ {xy} ^ {x} = - \ Gamma _ {yx} ^ {x} = - \ Gamma _ {yy} ^ {y} = {\ frac {1} {y}}}

Rovnice geodetiky dává poznámkou a : ${\ displaystyle v_ {x} = {\ tečka {x}}}$ ${\ displaystyle v_ {y} = {\ tečka {y}}}$

{\ displaystyle {\ dot {v}} _ {x} - {\ frac {2} {y}} v_ {x} v_ {y} = 0}

{\ displaystyle {\ dot {v}} _ {y} + {\ frac {1} {y}} (v_ {x} ^ {2} -v_ {y} ^ {2}) = 0}

ke kterému můžeme přidat rovnici, která byla použita jako předpoklad pro stanovení rovnice geodetiky, která zde dává: ${\ displaystyle g (v_ {x}, v_ {y}) = 1}$

{\ displaystyle {\ frac {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}} {y ^ {2}}} = 1}

Budeme-li nahradit by v první rovnici, dostaneme jehož řešení jsou ve tvaru po určitou konstantou . Vztah pak dává . $v_ {y}$ ${\ displaystyle {\ dot {y}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dv_ {x}} {dy}} - {\ frac {2} {y}} v_ {x} = 0}$ ${\ displaystyle v_ {x} = \ alfa y ^ {2} = {\ tečka {x}}}$ $\ alfa$ ${\ displaystyle {\ frac {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}} {y ^ {2}}} = 1}$ ${\ displaystyle v_ {y} = \ pm y {\ sqrt {1- \ alpha ^ {2} y ^ {2}}} = {\ dot {y}}}$

Pokud je nula, získáme příslušně x konstantní a (vhodným výběrem počátku časů). Geodetická je čára rovnoběžná s O y , procházející exponenciálně. K hraně y = 0 se přibližujeme na neurčito nebo se na neurčito vzdalujeme tím, že t máme sklon k nekonečnu. $\ alfa$ ${\ displaystyle y = e ^ {\ pm t}}$

Pokud není nula, vede integrace rovnice k (vhodným výběrem počátku časů). Pak integrace rovnice vede k (až k překladu rovnoběžnému s O x ). Je vidět, že a geodetika jsou půlkruhy o průměru nesené O x . Při t inklinuje k nekonečnu, jsme neomezenou dobu přístup okrajovou O y , která představuje limit Poincaré polorovině nacházející se na nekonečno. $\ alfa$ ${\ displaystyle {\ dot {y}} = \ pm y {\ sqrt {1- \ alpha ^ {2} y ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {1} {\ alpha \ cosh (t)}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} = \ alfa y ^ {2}}$ ${\ displaystyle x = {\ frac {\ tanh (t)} {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = {\ frac {1} {\ alpha ^ {2}}}}$

Podívejte se také

Poznámky a odkazy

Používáme Einsteinovu konvenci součtu , která umožňuje zesvětlit symboly součtu.