Helmholtzova rovnice

Helmholtzova rovnice (po fyzik Hermann von Helmholtz ) je eliptický parciální diferenciální rovnice , která se objeví při pohledu na harmonické řešení v D'Alemberta šíření vln rovnice , zvané „charakteristické módy“, v doméně.  : Ω⊂Rne{\ displaystyle \ Omega \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {n}}

∀r→∈Ω,(Δ + k2) ϕ(r→) = (∇2 + k2) ϕ(r→) = 0{\ displaystyle \ forall {\ vec {r}} \ in \ Omega, \ quad (\ Delta \ + \ k ^ {2}) \ \ phi ({\ vec {r}}) \ = \ (\ nabla ^ {2} \ + \ k ^ {2}) \ \ phi ({\ vec {r}}) \ = \ 0}

Aby byl matematický problém dobře položen , je třeba na okraji pole určit okrajovou podmínku , například: ∂Ω{\ displaystyle \ částečné \ Omega}

• Dirichlet podmínka ,
• Neumann podmínka ,
• směs předchozích dvou atd.

Pokud je doména je kompaktní , Laplacian spektrum je diskrétní, a režimy vlastní tvary tvoří nekonečný spočetnou set: Ω{\ displaystyle \ Omega}

∀r→∈Ω,(Δ + kne2) ϕne(r→) = 0,(0≤k02≤k12≤k22≤⋯≤+∞){\ displaystyle \ forall {\ vec {r}} \ in \ Omega, \ quad (\ Delta \ + \ k_ {n} ^ {2}) \ \ phi _ {n} ({\ vec {r}}) \ = \ 0, \ qquad (0 \ leq k_ {0} ^ {2} \ leq k_ {1} ^ {2} \ leq k_ {2} ^ {2} \ leq \ dots \ leq + \ infty)}

Helmholtzova rovnice zobecňuje neeuklidovskou geometrii nahrazením Laplacian operátorem Laplace-Beltrami na Riemannově potrubí .

Aplikace v meteorologii

Tato rovnice se také používá v meteorologii k popisu horských vln, které se tvoří pod horami pod silným větrem. Tyto vlny jsou modelovány pomocí Scorerovy rovnice, což je zvláštní forma Helmholtzovy rovnice .

Podívejte se také

• Laplacian
• Diferenciální operátor
• Greenova funkce
• Vývoj v několika odrazech Balian-Bloch
• Gaussův paprsek
• Spektrální geometrie
• Operátor Laplace-Beltrami .
• Sommerfeldův radiační stav
• Akustický
• Střelec rovnice