Střelec rovnice

Střelec rovnice je matematický vztah vyvinutý britskou meteorolog Richard střelcem popsat chování horských vln downstream od hornatého terénu podle stabilitě vzduchu a síly větru. Tato rovnice, odvozená z teorie vln atmosférické gravitace , je velmi užitečná v horské meteorologii a v letectví pro výpočet velikosti turbulence a rotorů pod horami.

Definice

Na horských vlny již dlouho nepochopený motorem pilotů. Jelikož je vzduch nad rotory extrémně laminární , legenda říká, že selhaly přístroje letadla ( výškoměr a variometr ) a dávaly falešné údaje. Ve skutečnosti tyto přístroje fungovaly perfektně a mnoho pilotů narazilo do hor. V důsledku těchto nehod a výzkumu Richarda Scorera a Paula Queneyho byla objevena existence silných vln pod horami.

Protože pohoří jsou často přímočará, je možné vyvinout 2-dimenzionální model tohoto jevu. Tento model je založen na Scorerově rovnici, lineární parciální diferenciální rovnici druhého řádu (což je Helmholtzova rovnice ), popisující gravitační vlny generované silným větrem nad horami. Rozměry jsou uvedeny x a z . Horizontální rychlost větru je označena u (x, z) a vertikální rychlost je označena w (x, z) .

Důkaz Scorerovy rovnice je založen na Navier-Stokesových rovnicích a Boussinesqově aproximaci . Uvažujeme 3 typy rovnic:

Rozsah pohybu: ${\ displaystyle {d {\ vec {u}} \ přes dt} = - {1 \ přes \ rho} {\ vec {\ nabla}} str {{vec {k}}}$
Energie;
Zachování hmoty: ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} (\ rho {\ vec {u}}) = 0}$

Kromě rovnice ideálního plynu: ${\ displaystyle p = \ rho (c_ {p} -c_ {v}) T}$

Nebo:

$\ vec {u}$ je vektor rychlosti větru;
$\ rho$ je hustota vzduchu;
$p$ je atmosférický tlak;
$G$ je gravitační zrychlení;
${\ vec {k}}$ je normalizovaný vektor směřující vzhůru.

$c_p$ a jsou to specifické teplo vzduchu při konstantním tlaku a konstantním objemu. $životopis$

Kombinací těchto rovnic je výsledkem Scorerova rovnice vztahu vertikálního pohybu vzduchových skvrn ve vlně vytvořené pod horou:

{\ displaystyle \ Delta w + \ ell ^ {2} w = 0}

S parametrem Scorer nastaveným následovně: ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$

{\ displaystyle \ ell (z) ^ {2} = {N ^ {2} \ přes u_ {0} ^ {2}} - {1 \ přes u_ {0}} {d ^ {2} u_ {0} \ přes dz ^ {2}}}

nebo

N je frekvence Brunt-Väisälä ;
${\ displaystyle u_ {0} (z)}$ je průměrná horizontální rychlost ve výšce z .

Důkaz rovnice Střelce

Důkaz této rovnice je založen na teorii poruch. Každá fyzikální veličina q se rozloží následovně:

{\ displaystyle q = q_ {0} + q '}

kde q 0 je střední hodnota veličiny a q ' je odchylka za předpokladu, že:

{\ displaystyle | q '| \ ll | q_ {0} |}

Když vyvíjíme Navier-Stokesovy rovnice, linearizujeme a zanedbáváme podmínky typu druhého řádu . Tato ukázka je poměrně dlouhá a lze ji zobrazit v rozevíracím seznamu níže. ${\ displaystyle q_ {1} 'q_ {2}'}$

Kompletní důkaz rovnice Scorer

Definujeme

{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {u}} _ {0} + {\ vec {u}} '}

jako součet rychlosti větru bez rušení a narušení vektoru rychlosti.

Hustota, tlak a teplota s výjimkou rušení a jejich příslušných poruch jsou definovány stejným způsobem.

{\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} + \ rho ', \, p = p_ {0} + p', \, T = T_ {0} + T '}

Rovnice zachování hmotnosti je napsána:

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} (\ rho {\ vec {u}}) = {\ částečné (\ rho u) \ nad \ částečné x} + {\ částečné (\ rho w) \ nad \ částečné z} = 0}

Získáváme proto:

${\ displaystyle u {\ částečné \ rho \ nad \ částečné x} + \ rho {\ částečné u \ nad \ částečné x} + w {\ částečné \ rho \ nad \ částečné z} + \ rho {\ částečné w \ nad \ částečné z} = 0}$

Předpokládáme, že u 0 a ρ 0 závisí pouze na z . Poté získáme:

{\ displaystyle u {\ částečné \ rho '\ nad \ částečné x} + \ rho {\ částečné u' \ nad \ částečné x} + w '{\ částečné \ rho \ nad \ částečné z} + \ rho {\ částečné w '\ over \ částečné z} = 0}

Poznamenáváme, že w 0 je nula.

V této rovnici odstraníme výrazy druhého řádu a dostaneme:

{\ displaystyle u_ {0} {\ částečné \ rho '\ nad \ částečné x} + \ rho _ {0} {\ částečné u' \ nad \ částečné x} + w '{\ částečné \ rho _ {0} \ přes \ částečné z} + \ rho _ {0} {\ částečné '\ přes \ částečné z} = 0}

Můžeme nahradit parciální derivace v z :

{\ displaystyle u_ {0} {\ částečné \ rho '\ nad \ částečné x} + \ rho _ {0} {\ částečné u' \ nad \ částečné x} + w '{d \ rho _ {0} \ nad dz} + \ rho _ {0} {\ částečné '\ nad \ částečné z} = 0}

Nyní používáme rovnici ideálního plynu:

{\ displaystyle p = \ rho (c_ {p} -c_ {v}) T}

Definujeme . Rozlišujeme: ${\ displaystyle R = c_ {p} -c_ {v}}$

{\ displaystyle {dp \ over dt} = {d \ rho \ over dt} RT + \ rho R {dT \ over dt}}

Pohyb leteckého balíku je adiabatický :

{\ displaystyle T \ alpha \ rho ^ {\ gama -1}}

nebo ${\ displaystyle \ gamma = {c_ {p} \ nad c_ {v}} = {7 \ nad 5}}$

Proto,

{\ displaystyle {dT \ over dt} = {T \ over \ rho} (\ gamma -1) {d \ rho \ over dt}}

Nahrazením získáme:

{\ displaystyle {dp \ over dt} = {d \ rho \ over dt} RT + \ rho R {T \ over \ rho} (\ gamma -1) {d \ rho \ over dt} = {d \ rho \ přes dt} RT (1+ \ gamma -1) = {d \ rho \ přes dt} RT {c_ {p} \ přes c_ {v}}}

Definujeme rychlost adiabatického zvuku:

{\ displaystyle c ^ {2} = \ gamma RT}

Získáváme proto:

{\ displaystyle {dp \ over dt} = c ^ {2} {d \ rho \ over dt}}

Vyvíjíme následující rovnici, pokud jde o advekci:

{\ displaystyle {\ částečné p \ nad \ částečné t} + ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) p = c ^ {2} \ doleva [{\ částečné \ rho \ nad \ částečné t} + ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) \ rho \ right]}

Jsme v ustáleném stavu:

{\ displaystyle ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) p = c ^ {2} ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) \ rho }

Proto,

{\ displaystyle u {\ částečné p \ nad \ částečné x} + w {\ částečné p \ nad \ částečné z} = c ^ {2} \ vlevo (u {\ částečné \ rho \ nad \ částečné x} + w { \ částečné \ rho \ nad \ částečné z} \ pravé)}

Připomínáme, že p 0 a ρ 0 závisí pouze na z . Opět linearizujeme a odstraníme podmínky druhého řádu:

{\ displaystyle u_ {0} {\ částečné p '\ přes \ částečné x} + w' {\ částečné p_ {0} \ přes \ částečné z} = c ^ {2} \ vlevo (u_ {0} {\ částečné \ rho '\ over \ částečné x} + w' {\ částečné \ rho _ {0} \ nad \ částečné z} \ vpravo)}

Můžeme nahradit parciální derivaci v z :

{\ displaystyle u_ {0} {\ částečné p '\ přes \ částečné x} + w' {dp_ {0} \ přes dz} = c ^ {2} \ vlevo (u_ {0} {\ částečné \ rho '\ přes \ částečné x} + w '{d \ rho _ {0} \ přes dz} \ vpravo)}

Znovu linearizujeme:

{\ displaystyle u_ {0} {\ částečné p '\ přes \ částečné x} + w' {dp_ {0} \ přes dz} = c_ {0} ^ {2} \ vlevo (u_ {0} {\ částečné \ rho '\ over \ částečné x} + w' {d \ rho _ {0} \ over dz} \ right)}

Získáváme proto:

{\ displaystyle c_ {0} ^ {2} u_ {0} {\ částečné \ rho '\ přes \ částečné x} = u_ {0} {\ částečné p' \ přes \ částečné x} + w '{dp_ {0 } \ over dz} -w'c_ {0} ^ {2} {d \ rho _ {0} \ over dz}}

Tak,

{\ displaystyle {u_ {0} \ over \ rho _ {0}} {\ částečné \ rho '\ over \ částečné x} = {u_ {0} \ over \ rho _ {0} c_ {0} ^ {2 }} {\ částečné p '\ přes \ částečné x} + w' {1 \ přes \ rho _ {0} c_ {0} ^ {2}} {dp_ {0} \ přes dz} -w '{1 \ přes \ rho _ {0}} {d \ rho _ {0} \ přes dz}}

Dílčí derivace p ' odpovídá akustickým vlnám. Můžeme tedy tento termín ignorovat:

{\ displaystyle {u_ {0} \ over \ rho _ {0}} {\ částečné \ rho '\ over \ částečné x} = w' \ left ({1 \ over \ rho _ {0} c_ {0} ^ {2}} {dp_ {0} \ over dz} - {1 \ over \ rho _ {0}} {d \ rho _ {0} \ over dz} \ right)}

Pamatuj si to

{\ displaystyle {dp_ {0} \ over dz} = - \ rho _ {0} g}

a tak,

{\ displaystyle {u_ {0} \ over \ rho _ {0}} {\ částečné \ rho '\ over \ částečné x} = w' \ left (- {g \ over c_ {0} ^ {2}} - {1 \ over \ rho _ {0}} {d \ rho _ {0} \ over dz} \ right)}

Zlato

{\ displaystyle - {1 \ over \ rho _ {0}} {d \ rho _ {0} \ over dz} - {g \ over c_ {0} ^ {2}} = {1 \ over \ theta _ { 0}} {d \ theta _ {0} \ over dz}}

kde θ 0 je potenciální teplota .

Frekvenci Brunt-Väisälä definujeme jako:

{\ displaystyle N ^ {2} = {g \ over \ theta _ {0}} {d \ theta _ {0} \ over dz}}

Proto,

{\ displaystyle {u_ {0} \ nad \ rho _ {0}} {\ částečné \ rho '\ nad \ částečné x} = w' {N ^ {2} \ nad g}}

Používáme rovnici zachování hmotnosti:

{\ displaystyle {\ částečné u '\ přes \ částečné x} + {\ částečné w' \ přes \ částečné z} + w '{1 \ přes \ rho _ {0}} {d \ rho _ {0} \ přes dz} + {u_ {0} \ over \ rho _ {0}} {\ částečné \ rho '\ over \ částečné x} = 0}

Nahrazujeme:

{\ displaystyle {\ částečné u '\ přes \ částečné x} + {\ částečné w' \ přes \ částečné z} + w '{1 \ přes \ rho _ {0}} {d \ rho _ {0} \ přes dz} + w '{N ^ {2} u_ {0} \ over g} = 0}

Konečně:

{\ displaystyle {\ částečné u '\ přes \ částečné x} + {\ částečné w' \ přes \ částečné z} = {g \ přes c_ {0} ^ {2}} w '}

Rovnice pro zachování hybnosti je napsána:

{\ displaystyle {d {\ vec {u}} \ přes dt} = - {1 \ přes \ rho} {\ vec {\ nabla}} str {{vec {k}}}

Získáním prodloužení derivace získáme:

{\ displaystyle {\ částečné {\ vec {u}} \ nad \ částečné t} + ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {u}} = - {1 \ over \ rho} {\ vec {\ nabla}} str {{vec {k}}}

Jsme ve stacionárních podmínkách . Proto: ${\ displaystyle {\ částečné {\ vec {u}} \ nad \ částečné t} = {\ vec {0}}}$

{\ displaystyle ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {u}} = - {1 \ over \ rho} {\ vec {\ nabla}} p}

Vyvíjíme:

{\ displaystyle \ left (u {\ částečné \ přes \ částečné x} + w {\ částečné \ přes \ částečné z} \ pravé) {\ vec {u}} = - {1 \ přes \ rho} \ vlevo ({ \ částečné p \ přes \ částečné x} {\ vec {i}} + {\ částečné p \ přes \ částečné z} {\ vec {k}} \ pravé) -g {\ vec {k}}}

Připomeňme, že w 0 je nula. Proto,

{\ displaystyle (u_ {0} + u ') {\ částečné ({\ vec {u}} _ {0} + {\ vec {u}}') \ nad \ částečné x} + w '{\ částečné ( {\ vec {u_ {0}}} + {\ vec {u}} ') \ přes \ částečné z} = - {1 \ přes \ rho} \ vlevo ({\ částečné (p_ {0} + p') \ přes \ částečné x} {\ vec {i}} + {\ částečné (p_ {0} + p ') \ přes \ částečné z} {\ vec {k}} \ vpravo) -g {\ vec {k} }}

Připomínáme si to a p 0 závisí pouze na z . Proto, ${\ displaystyle {\ vec {u_ {0}}}}$

{\ displaystyle (u_ {0} + u ') {\ částečné {\ vec {u}}' \ přes \ částečné x} + w '{\ částečné ({\ vec {u}} _ {0} + {\ vec {u}} ') \ přes \ částečné z} = - {1 \ přes \ rho} \ vlevo ({\ částečné p' \ přes \ částečné x} {\ vec {i}} + {\ částečné (p_ { 0} + p ') \ nad \ částečné z} {\ vec {k}} \ doprava) -g {\ vec {k}}}

Podmínky druhého řádu jsou linearizovány a odstraněny. Proto,

{\ displaystyle u_ {0} {\ částečné {\ vec {u}} '\ přes \ částečné x} + w' {\ částečné {\ vec {u}} _ {0} \ přes \ částečné z} = - { 1 \ nad \ rho} {\ částečné p '\ nad \ částečné x} {\ vec {i}} - {1 \ nad \ rho} {\ částečné p_ {0} \ nad \ částečné z} {\ vec {k }} - {1 \ over \ rho} {\ částečné p '\ nad \ částečné z} {\ vec {k}} - g {\ vec {k}}}

Nahradíme parciální derivace v z :

{\ displaystyle u_ {0} {\ částečné {\ vec {u}} '\ přes \ částečné x} + w' {d {\ vec {u}} _ {0} \ přes dz} = - {1 \ přes \ rho} {\ částečné p '\ přes \ částečné x} {\ vec {i}} - {1 \ přes \ rho} {dp_ {0} \ přes dz} {\ vec {k}} - {1 \ přes \ rho} {\ částečné p '\ nad \ částečné z} {\ vec {k}} - g {\ vec {k}}}

Násobíme ρ:

{\ displaystyle \ rho u_ {0} {\ částečné {\ vec {u}} '\ přes \ částečné x} + \ rho w' {d {\ vec {u}} _ {0} \ přes dz} = - {\ částečné p '\ nad \ částečné x} {\ vec {i}} - {dp_ {0} \ nad dz} {\ vec {k}} - {\ částečné p' \ nad \ částečné z} {\ vec {k}} - g \ rho {\ vec {k}}}

Promítáme následující : $\ vec {i}$

{\ displaystyle \ rho u_ {0} {\ částečné u '\ přes \ částečné x} + \ rho w' {du_ {0} \ přes dz} = - {\ částečné p '\ přes \ částečné x}}

Znovu linearizujeme:

{\ displaystyle \ rho _ {0} u_ {0} {\ částečné u '\ přes \ částečné x} + \ rho _ {0} w' {du_ {0} \ přes dz} = - {\ částečné p '\ přes \ částečné x}}

Můžeme eliminovat u ' :

${\ displaystyle \ rho _ {0} u_ {0} \ left (- {\ částečné w '\ over \ částečné z} + {g \ over c_ {0} ^ {2}} w' \ right) + \ rho _ {0} w '{du_ {0} \ over dz} = - {\ partial p' \ over \ částečné x}}$

Promítáme následující : ${\ vec {k}}$

{\ displaystyle \ rho u_ {0} {\ částečné w '\ přes \ částečné x} = - {dp_ {0} \ přes dz} - {\ částečné p' \ přes \ částečné z} - \ rho g = - { dp_ {0} \ přes dz} - {\ částečné p '\ přes \ částečné z} - (\ rho _ {0} + \ rho') g}

Bereme na vědomí, že:

{\ displaystyle {dp_ {0} \ over dz} = - \ rho _ {0} g}

Proto,

{\ displaystyle \ rho u_ {0} {\ částečné w '\ přes \ částečné x} = - {\ částečné p' \ přes \ částečné z} - \ rho 'g}

Znovu linearizujeme:

{\ displaystyle \ rho _ {0} u_ {0} {\ částečné w '\ přes \ částečné x} = - {\ částečné p' \ přes \ částečné z} - \ rho 'g}

Pamatuj si to:

{\ displaystyle - {\ částečné p '\ nad \ částečné x} = \ rho _ {0} u_ {0} \ vlevo (- {\ částečné w' \ nad \ částečné z} + {g \ nad c_ {0} ^ {2}} w '\ right) + \ rho _ {0} w' {du_ {0} \ over dz}}

a také

${\ displaystyle - {\ částečné p '\ nad \ částečné z} = \ rho _ {0} u_ {0} {\ částečné w' \ nad \ částečné x} + \ rho 'g}$

Eliminujeme p diferenciací těchto dvou rovnic:

{\ displaystyle - {\ částečné ^ {2} p '\ přes \ částečné x \ částečné z} = - {d (\ rho _ {0} u_ {0}) \ přes dz} {\ částečné w' \ přes \ částečné z} - \ rho _ {0} u_ {0} {\ částečné ^ {2} w '\ nad \ částečné z ^ {2}} + {d (u_ {0} \ rho _ {0}) \ nad dz} {g \ over c_ {0} ^ {2}} w '+ {u_ {0} \ rho _ {0} g \ over c_ {0} ^ {2}} {\ částečné w' \ nad \ částečné z} + {d \ over dz} \ left (\ rho _ {0} {du_ {0} \ over dz} \ right) w '+ \ rho _ {0} {du_ {0} \ over dz} {\ částečné w '\ over \ částečné z} = - {d \ rho _ {0} \ over dz} u_ {0} {\ částečné w' \ over \ částečné z} - \ rho _ {0} u_ {0} { \ částečné ^ {2} w '\ nad \ částečné z ^ {2}} + {d (u_ {0} \ rho _ {0}) \ nad dz} {g \ nad c_ {0} ^ {2}} w '+ {u_ {0} \ rho _ {0} g \ over c_ {0} ^ {2}} {\ částečné w' \ over \ částečné z} + {d \ over dz} \ left (\ rho _ {0} {du_ {0} \ over dz} \ right) w '}

Jeden zanedbává jevy stlačitelnosti a zvažuje to . ${\ displaystyle c_ {0} \ přibližně \ infty}$

{\ displaystyle - {\ částečné ^ {2} p '\ přes \ částečné x \ částečné z} = - {d \ rho _ {0} \ přes dz} u_ {0} {\ částečné w' \ přes \ částečné z } - \ rho _ {0} u_ {0} {\ částečné ^ {2} w '\ nad \ částečné z ^ {2}} + {d \ nad dz} \ vlevo (\ rho _ {0} {du_ { 0} \ over dz} \ right) w '}

Vyvíjíme trochu víc:

{\ displaystyle - {\ částečné ^ {2} p '\ přes \ částečné x \ částečné z} = - {d \ rho _ {0} \ přes dz} u_ {0} {\ částečné w' \ přes \ částečné z } - \ rho _ {0} u_ {0} {\ částečné ^ {2} w '\ nad \ částečné z ^ {2}} + {d \ rho _ {0} \ nad dz} {du_ {0} \ přes dz} + \ rho _ {0} {d ^ {2} u_ {0} \ přes dz ^ {2}} s '}

Používáme zákon o ideálním plynu:

{\ displaystyle p_ {0} = \ rho _ {0} RT_ {0} \, \ Leftrightarrow \, \ rho _ {0} = {p_ {0} \ přes RT_ {0}}}

Proto,

{\ displaystyle {d \ rho _ {0} \ over dz} = {1 \ přes RT_ {0}} {dp_ {0} \ přes dz} - {dT_ {0} \ přes dz} {p_ {0} \ nad RT_ {0} ^ {2}}}

Proto,

{\ displaystyle {d \ rho _ {0} \ over dz} = {\ rho _ {0} g \ přes RT_ {0}} - {dT_ {0} \ přes dz} {p_ {0} \ přes RT_ { 0} ^ {2}}}

Připomíná se, že a tekutina má být nestlačitelná: ${\ displaystyle c_ {0} ^ {2} = \ gamma RT}$

{\ displaystyle {d \ rho _ {0} \ nad dz} \ přibližně 0}

Konečně tedy získáváme:

{\ displaystyle - {\ částečné ^ {2} p '\ přes \ částečné x \ částečné z} = - \ rho _ {0} u_ {0} {\ částečné ^ {2} w' \ přes \ částečné z ^ { 2}} + \ rho _ {0} {d ^ {2} u_ {0} \ přes dz ^ {2}} s '}

Uvažujeme druhou rovnici:

{\ displaystyle - {\ částečné ^ {2} p '\ přes \ částečné z \ částečné x} = {\ částečné \ rho _ {0} u_ {0} \ přes \ částečné x} {\ částečné w' \ přes \ částečné x} + rho_ {0} u_ {0} {\ částečné ^ {2} w '\ nad \ částečné x ^ {2}} + {\ částečné \ rho' \ nad \ částečné z} g}

S vědomím, že ρ 0 a u 0 závisí pouze na z :

{\ displaystyle - {\ částečné ^ {2} p '\ nad \ částečné z \ částečné x} = \ rho _ {0} u_ {0} {\ částečné ^ {2} w' \ nad \ částečné x ^ {2 }} + {\ částečné \ rho '\ nad \ částečné z} g}

Pamatuj si to:

{\ displaystyle {u_ {0} \ nad \ rho _ {0}} {\ částečné \ rho '\ nad \ částečné x} = w' {N ^ {2} \ nad g}}

Proto,

{\ displaystyle - {\ částečné ^ {2} p '\ nad \ částečné z \ částečné x} = \ rho _ {0} u_ {0} {\ částečné ^ {2} w' \ nad \ částečné x ^ {2 }} + g {N ^ {2} \ rho _ {0} \ over gu_ {0}} w '= \ rho _ {0} u_ {0} {\ částečné ^ {2} w' \ přes \ částečné x ^ {2}} + {N ^ {2} \ rho _ {0} \ nad u_ {0}} s '}

Píšeme, že:

{\ displaystyle - {\ částečné ^ {2} p '\ přes \ částečné z \ částečné x} = - {\ částečné ^ {2} p' \ přes \ částečné x \ částečné z}}

Proto,

{\ displaystyle \ rho _ {0} u_ {0} {\ částečné ^ {2} w '\ nad \ částečné x ^ {2}} + {N ^ {2} \ rho _ {0} \ nad u_ {0 }} w '= - \ rho _ {0} u_ {0} {\ částečné ^ {2} w' \ nad \ částečné z ^ {2}} + \ rho _ {0} {d ^ {2} u_ { 0} \ přes dz ^ {2}} w '= - {\ částečné ^ {2} w' \ přes \ částečné z ^ {2}} + {1 \ přes u_ {0}} {d ^ {2} u_ {0} \ přes dz ^ {2}} s '}

Nakonec dostaneme Scorerův vzorec:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} w '\ nad \ částečné x ^ {2}} + {\ částečné ^ {2} w' \ nad \ částečné z ^ {2}} + \ doleva ({N ^ { 2} \ over u_ {0} ^ {2}} w '- {1 \ over u_ {0}} {d ^ {2} u_ {0} \ over dz ^ {2}} \ right) w'}

Definujeme parametr Střelec:

{\ displaystyle \ ell ^ {2} = {N ^ {2} \ nad {u_ {0}} ^ {2}} - {1 \ nad u_ {0}} {d ^ {2} u_ {0} \ přes dz ^ {2}}}

Nakonec je napsána Scorerova rovnice:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} w '\ nad \ částečné x ^ {2}} + {\ částečné ^ {2} w' \ nad \ částečné z ^ {2}} + \ ell ^ {2} w '= 0}

Tato rovnice je lineární při w '= w a lze ji v mnoha případech vyřešit analyticky.

Analytická řešení

Případ sinusového uzemnění

V případě sinusového základu periody L bude řešení Scorerovy rovnice periodické. Definujeme . Dovolit je parametr Střelce. ${\ displaystyle k = 2 \ pi / L}$ $\ Ell$

V případě , že lze vertikální rychlost vyjádřit takto: ${\ displaystyle \ ell <k}$

{\ displaystyle w (x, z) = u_ {0} h_ {0} k \ cos (kx) e ^ {- {\ sqrt {k ^ {2} - \ ell ^ {2}}} z}}

V případě , že lze vertikální rychlost vyjádřit takto: ${\ displaystyle \ ell> k}$

{\ displaystyle w (x, z) = u_ {0} h_ {0} k \ cos \ left [kx + {\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z \ right]}

Podmínky v mezích

V případě sinusového základu periody L bude řešení Scorerovy rovnice periodické. Definujeme . ${\ displaystyle k = 2 \ pi / L}$

Na úrovni terénu je vítr mírný ke svahu.

Výslovné vyjádření okrajových podmínek

Hraniční podmínka je tedy zapsána:

{\ displaystyle w (x, h (x)) = (u_ {0} + u ') {dh (x) \ nad dx}}

Provádíme omezený vývoj:

{\ displaystyle w (x, 0) + {\ částečné w \ přes \ částečné z} h (x) = (u_ {0} + u ') {dh (x) \ přes dx}}

Používáme rovnici kontinuity:

{\ displaystyle {\ částečné (u_ {0} + u ') \ nad \ částečné x} + {\ částečné w \ nad \ částečné z} = 0}

Všimněte si, že u_0 závisí pouze na z :

{\ displaystyle {\ částečné u '\ nad \ částečné x} + {\ částečné w \ přes \ částečné z} = 0}

Nahrazením tak získáme:

{\ displaystyle w (x, 0) - {\ částečné u '\ přes \ částečné x} h (x) = (u_ {0} + u') {dh (x) \ přes dx}}

Množství je množství druhé objednávky. Poté získáme: ${\ displaystyle u'h (x)}$

{\ displaystyle - {\ částečné u '\ nad \ částečné x} h (x) \ přibližně u' {dh (x) \ nad dx}}

Takto získáme následující okrajovou podmínku:

{\ displaystyle w (x, 0) = u_ {0} {dh (x) \ nad dx}}

Definujeme: ${\ displaystyle h (x) = \ sin (kx)}$

Tak,

{\ displaystyle w (x, 0) = u_ {0} h_ {0} k \ cos (kx)}

Formulace Scorerovy rovnice

V případě sinusového základu periody L bude řešení Scorerovy rovnice periodické. Řešení je vyjádřeno ve formě Fourierovy řady, která se redukuje na 1 člen.

Vývoj Fourierových řad

Definujeme . Můžeme tedy napsat: ${\ displaystyle k = 2 \ pi / L}$

{\ displaystyle w (x, z) = \ součet _ {n \ geq 1} a_ {n} (z) \ levý (\ cos (nkx) + b_ {n} (z) \ sin (nkx) \ pravý) }

Scorerova rovnice se poté stává:

{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} \ left ({d ^ {2} a_ {n} (z) \ over dz ^ {2}} \ cos (nkx) + {d ^ {2} b_ { n} (z) \ přes dz ^ {2}} \ sin (nkx) -k ^ {2} [a_ {n} (z) \ cos (kx) + b_ {n} (z) \ sin (nkx) ] + \ ell ^ {2} [a_ {n} (z) \ cos (nkx) + b_ {n} (z) \ sin (nkx)] \ vpravo) = 0}

Kosinové a sinusové funkce jsou lineárně nezávislé. Získáváme tedy následující diferenciální rovnice:

{\ displaystyle {d ^ {2} a_ {n} (z) \ nad dz ^ {2}} + (\ ell ^ {2} -k ^ {2}) a_ {n} (z) = 0}

{\ displaystyle {d ^ {2} b_ {n} (z) \ nad dz ^ {2}} + (\ ell ^ {2} -k ^ {2}) b_ {n} (z) = 0}

Tvar řešení závisí na hodnotách k a . $\ Ell$

Pokud je stabilita atmosféry neutrální, máme jako první aproximaci .

{\ displaystyle \ ell = 0}

Případ, kdy l <k

V rozevíracím seznamu předvedeme výše uvedený vzorec.

Demonstrace vzorce

Jak bylo uvedeno výše, tento případ je docela běžný. Pak máme:

{\ displaystyle a_ {n} (z) = \ alpha _ {n} e ^ {- {\ sqrt {k ^ {2} - \ ell ^ {2}}} z} + \ alpha '_ {n} e ^ {{\ sqrt {k ^ {2} - \ ell ^ {2}}} z}}

Druhý člen součtu je nefyzický, a proto je vyloučen. Totéž platí pro b ( z ). Takže máme:

{\ displaystyle a_ {n} (z) = \ alpha _ {n} e ^ {- {\ sqrt {k ^ {2} - \ ell ^ {2}}} z} \ qquad b_ {n} (z) = \ beta _ {n} e ^ {- {\ sqrt {k ^ {2} - \ ell ^ {2}}} z}}

Takže máme:

{\ displaystyle w (x, z) = \ left [\ sum _ {n \ geq 1} \ left (\ alpha _ {n} \ cos (nkx) + \ beta _ {n} \ sin (nkx) \ right ) \ right] e ^ {- {\ sqrt {k ^ {2} - \ ell ^ {2}}} z}}

Použijeme okrajovou podmínku popsanou výše.

Máme tedy z = 0

{\ displaystyle u_ {0} h_ {0} k \ cos (kx) = w (x, 0) = \ left [\ sum _ {n \ geq 1} \ left (\ alpha _ {n} \ cos (nkx ) + \ beta _ {n} \ sin (nkx) \ right) \ right] e ^ {- {\ sqrt {k ^ {2} - \ ell ^ {2}}} 0}}

Proto,

{\ displaystyle u_ {0} h_ {0} k \ cos (kx) = \ left [\ sum _ {n \ geq 1} \ left (\ alpha _ {n} \ cos (nkx) + \ beta _ {n } \ sin (nkx) \ right) \ right] \ krát 1}

Funkce sinus a kosinus jsou lineárně nezávislé. Jediným nenulovým členem je α 1 . Proto,

{\ displaystyle w (x, z) = h_ {0} k \ cos (kx) e ^ {- {\ sqrt {k ^ {2} - \ ell ^ {2}}} z}}

Případ, kdy l > k

V rozevíracím seznamu předvedeme výše uvedený vzorec.

Demonstrace vzorce

Píšeme :

{\ displaystyle w (x, z) = \ součet _ {n \ geq 1} a_ {n} (z) \ cos (nkx) + \ součet _ {n \ geq 1} b_ {n} (z) \ sin (nkx)}

Pamatuj si to:

{\ displaystyle {d ^ {2} a_ {n} (z) \ nad dz ^ {2}} + (\ ell ^ {2} -k ^ {2}) a_ {n} (z) = 0}

{\ displaystyle {d ^ {2} b_ {n} (z) \ nad dz ^ {2}} + (\ ell ^ {2} -k ^ {2}) b_ {n} (z) = 0}

Pak máme:

{\ displaystyle a_ {n} (z) = \ alpha _ {n} \ cos [{\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z] + \ alpha '_ {n} \ sin [{\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z]}

Rovněž,

{\ displaystyle b_ {n} (z) = \ beta _ {n} \ cos [{\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z] + \ beta '_ {n} \ sin [{\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z]}

V tomto případě máme:

{\ displaystyle w (x, z) = \ součet _ {n \ geq 1} \ vlevo [\ alpha _ {n} \ cos [{\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z ] + \ alpha '_ {n} \ sin [{\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z] \ vpravo] \ cos (nkx) + \ sum _ {n \ geq 1} \ left [\ beta _ {n} \ cos [{\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z] + \ beta '_ {n} \ sin [{\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z] \ vpravo] \ sin (nkx)}

Vyjadřujeme okrajové podmínky na úrovni země, a proto máme:

{\ displaystyle u_ {0} h_ {0} k \ cos (kx) = w (x, 0) = \ součet _ {n \ geq 1} \ left [\ alpha _ {n} \ cos [{\ sqrt { \ ell ^ {2} -k ^ {2}}} 0] + \ alpha '_ {n} \ sin [{\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} 0] \ vpravo] \ cos (nkx) + \ sum _ {n \ geq 1} \ left [\ beta _ {n} \ cos [{\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} 0] + \ beta '_ {n} \ sin [{\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} 0] \ right] \ sin (nkx) = \ sum _ {n \ geq 1} \ left [\ alpha _ {n} \ times 1+ \ alpha '_ {n} \ times 0 \ right] \ cos (nkx) + \ sum _ {n \ geq 1} \ left [\ beta _ {n} \ times 1+ \ beta '_ {n} \ times 0] \ right] \ sin (nkx) = \ sum _ {n \ geq 1} \ alpha _ {n} \ cos (nkx) + \ sum _ {n \ geq 1} \ beta _ {n} \ sin (nkx)}

Získáváme tedy za : ${\ displaystyle n \ geq 2}$

{\ displaystyle \ alpha _ {n} = \ beta _ {n} = \ alpha '_ {n} = \ beta' _ {n} = 0}

Nyní můžeme přeformulovat vertikální rychlost pomocí trigonometrických vzorců:

{\ displaystyle w (x, z) = A \ cos \ left [kx + {\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z \ right] + B \ cos \ left [kx - { \ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z \ vpravo] + C \ sin \ vlevo [kx + {\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z \ right] + D \ sin \ left [kx - {\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z \ right]}

Nyní uvažujeme omezující podmínku v z = 0. Máme tedy:

{\ displaystyle u_ {0} h_ {0} k \ cos (kx) = A \ cos \ vlevo [kx + {\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} 0 \ vpravo] + B \ cos \ left [kx - {\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} 0 \ right] + C \ sin \ left [kx + {\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} 0 \ vpravo] + D \ sin \ vlevo [kx - {\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} 0 \ vpravo]}

Proto,

{\ displaystyle u_ {0} h_ {0} k \ cos (kx) = A \ cos (kx) + B \ cos (kx) + C \ sin (kx) + D \ sin (kx)}

Proto získáváme a . ${\ displaystyle A + B = u_ {0} h_ {0} k}$ ${\ displaystyle C + D = 0}$

Kvůli tření se vlny naklánějí před proudem.

Konečně:

{\ displaystyle w (x, z) = u_ {0} h_ {0} k \ cos \ left [kx + {\ sqrt {\ ell ^ {2} -k ^ {2}}} z \ right]}

Osamělá hora

Obecná formulace

Předpokládejme, že hora je znázorněna Agnesiho čarodějnickou křivkou následovně:

{\ displaystyle h (x) = h_ {m} a {a ^ {2} \ nad a ^ {2} + x ^ {2}}}

Připomeňme, že Fourierova transformace (viz věta o zbytku článku ) je vyjádřena takto:

{\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = h_ {m} ae ^ {- a \ xi}}

V rozevíracím seznamu obecně vyjadřujeme posun aktuálních čar . ${\ displaystyle \ eta (x, z)}$

Obecné vyjádření efektivnosti

Diferenciální rovnice je zapsána:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} w \ nad \ částečné z ^ {2}} + (\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}) w = 0}

Zvažujeme to . ${\ displaystyle \ xi> \ ell}$

Řešení je pak:

{\ displaystyle w (\ xi, z) = \ alpha (\ xi) e ^ {{\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ {2}}} z} + \ beta (\ xi) e ^ {{\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}}} z}}

První termín není fyzický, a proto máme:

{\ displaystyle {\ hat {w}} (\ xi, z) = \ beta e ^ {- {\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}}} z }}

Zvažujeme to . ${\ displaystyle \ xi <\ ell}$

Řešení je pak:

{\ displaystyle {\ hat {w}} (\ xi, z) = \ gamma e ^ {i {\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}}} z} + \ delta e ^ { -i {\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}}} z}}

Okrajová podmínka je vyjádřena:

{\ displaystyle w (x, 0) = u_ {0} h '(x)}

Vyjádřeno ve Fourierově prostoru je tato okrajová podmínka vyjádřena takto:

{\ displaystyle {\ hat {w}} (\ xi, 0) = u_ {0} {\ hat {h}} '(\ xi)}

Pamatuj si to:

{\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = h_ {m} ae ^ {ia \ xi}, \, {\ hat {h}} '(\ xi) = h_ {m} ai \ xi e ^ {ia \ xi}}

Takto získáme v případě ${\ displaystyle \ xi> \ ell}$

{\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) i \ xi = w (\ xi, 0) = \ beta (\ xi) e ^ {{\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ { 2}}} 0} = \ beta (\ xi)}

Proto,

{\ displaystyle {\ hat {w}} (\ xi, z) = {\ hat {h}} (\ xi) i \ xi e ^ {{\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ {2 }}} z}}

V případě ${\ displaystyle \ xi <\ ell}$

My máme :

{\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) i \ xi = w (\ xi, 0) = \ gamma e ^ {i {\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}} } 0} + \ delta e ^ {- i {\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}}} 0} = \ gamma + \ delta}

Takže máme

{\ displaystyle \ gamma = {\ hat {h}} (\ xi) i \ xi - \ delta}

Proto,

{\ displaystyle {\ hat {w}} (\ xi, z) = {\ hat {h}} (\ xi) i \ xi e ^ {ia \ xi + i {\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ {2}}} z} + \ delta \ left (e ^ {i {\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ {2}}} z} -e ^ {- i {\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ {2}}} z} \ vpravo)}

Druhý člen je vyloučen, protože není fyzický. Proto,

{\ displaystyle {\ hat {w}} (\ xi, z) = {\ hat {h}} (\ xi) i \ xi e ^ {i {\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ { 2}}} z}}

Pamatuj si to

{\ displaystyle w = u_ {0} {\ částečné \ eta \ nad \ částečné x}}

Proto,

{\ displaystyle {\ hat {w}} = u_ {0} i \ xi {\ hat {\ eta}}}

Získáváme proto:

{\ displaystyle {\ hat {\ eta}} (\ xi, z) = {\ hat {h}} (\ xi) e ^ {- {\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ {2} }} z}}

pro

{\ displaystyle \ xi \ geq \ ell}

{\ displaystyle {\ hat {\ eta}} (\ xi, z) = {\ hat {h}} (\ xi) e ^ {i {\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2} }} z}}

pro

{\ displaystyle \ xi \ leq \ ell}

Provádíme inverzní Fourierovu transformaci a získáváme tak:

{\ displaystyle \ eta (x, z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ hat {\ eta}} (\ xi, z) e ^ {i \ xi x} d \ xi}

Rozšířením tedy získáme:

{\ displaystyle \ eta (x, z) = \ int _ {0} ^ {\ ell} {\ hat {\ eta}} (\ xi, z) e ^ {i \ xi x} d \ xi + \ int _ {\ ell} ^ {\ infty} {\ hat {\ eta}} (\ xi, z) e ^ {i \ xi x} d \ xi = \ int _ {0} ^ {\ ell} {\ hat {h}} (\ xi) e ^ {i {\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}}} z} e ^ {i \ xi x} d \ xi + \ int _ {\ ell} ^ {\ infty} {\ hat {h}} e ^ {- {\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ {2}}} z} e ^ {i \ xi x} d \ xi }

Případ zploštělé hory (čarodějnice z Agnesi)

V případě zploštělé hory, kde je posun aktuálních linií vyjádřen takto: ${\ displaystyle a \ ell \ gg 1}$

{\ displaystyle \ eta (x, z) = h_ {m} a {a \ cos (\ ell z) -x \ sin (\ ell z) \ nad a ^ {2} + x ^ {2}}}

Je jasně vidět, že vertikální rychlost má vertikální periodicitu.

Výpočet proudnic pro zploštělou horu (Agnesi)

V tomto případě máme ${\ displaystyle a \ ell \ gg 1}$

První člen integrálu je dominantní. Takže máme:

{\ displaystyle \ eta (x, z) \ přibližně \ int _ {0} ^ {\ ell} {\ hat {h}} (\ xi) e ^ {i {\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}}} z} e ^ {i \ xi x} d \ xi}

Tak a tak: ${\ displaystyle \ ell \ gg \ xi}$

{\ displaystyle \ eta (x, z) \ přibližně \ int _ {0} ^ {\ ell} {\ hat {h}} (\ xi) e ^ {i {\ sqrt {\ ell ^ {2}}} z} e ^ {i \ xi x} d \ xi}

Proto,

{\ displaystyle \ eta (x, z) \ přibližně e ^ {- \ ell z} \ int _ {0} ^ {\ ell} {\ hat {h}} (\ xi) e ^ {i \ xi x} d \ xi \ přibližně e ^ {i \ ell z} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ hat {h}} (\ xi) e ^ {ix \ xi} d \ xi}

Nyní nahrazujeme, a proto: ${\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = h_ {m} ae ^ {- \ xi a}}$

{\ displaystyle \ eta (x, z) \ přibližně e ^ {i \ ell z} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- a \ xi} e ^ {ix \ xi} d \ xi}

Proto,

{\ displaystyle \ eta (x, z) \ přibližně e ^ {i \ ell z} {1 \ nad -a + ix}}

Proto,

{\ displaystyle \ eta (x, z) = e ^ {i \ ell z} {a + ix \ nad a ^ {2} + x ^ {2}}}

Proto,

{\ displaystyle \ eta (x, z) = \ cos (\ ell z) + i \ sin (\ ell z) {a + ix \ nad a ^ {2} + x ^ {2}}}

Skutečnou částí získáme:

{\ displaystyle \ eta (x, z) = h_ {m} a {a \ cos (\ ell z) -x \ sin (\ ell z) \ nad a ^ {2} + x ^ {2}}}

Pamatuj si to ${\ displaystyle w (x, z) = u_ {0} {\ částečná \ eta \ nad \ částečné x}}$

Získáváme proto:

{\ displaystyle {\ částečné \ eta \ nad \ částečné x} = h_ {m} a {- \ sin (\ ell z) (a ^ {2} + x ^ {2}) - 2x [a \ cos (\ ell z) -x \ sin (\ ell z)] \ over (a ^ {2} + x ^ {2}) ^ {2}}}

Proto,

{\ displaystyle {\ částečné \ eta \ nad \ částečné x} = h_ {m} a {(x ^ {2} -a ^ {2}) \ sin (\ ell z) -2xa \ cos (\ ell z) \ over (a ^ {2} + x ^ {2}) ^ {2}}}

Všimli jsme si, že:

{\ displaystyle h '(x) = - h_ {m} {2a ^ {2} x \ over (a ^ {2} + x ^ {2}) ^ {2}}}

Proto,

{\ displaystyle {\ částečné \ eta \ nad \ částečné x} = h_ {m} a {x ^ {2} -a ^ {2} \ nad (a ^ {2} + x ^ {2}) ^ {2 }} \ sin (\ ell z) + h '(x) \ cos (\ ell z)}

Pozorujeme tedy vertikální periodicitu vertikální rychlosti w . V případě, kdy bude vertikální periodicita km.

{\ displaystyle N = 10 ^ {- 2}}

u_ {0} = 10

{\ displaystyle Z = 2 \ pi {u_ {0} \ nad N} = 6,28}

Případ zploštělé hory (křivka Gauß)

Předpokládá se, že hora má tvar zvonu. Myslíme si, že :

{\ displaystyle h (x) = h_ {0} e ^ {- {x ^ {2} \ přes a ^ {2}}}}

Pohyb aktuálních řádků je zjednodušen následovně:

{\ displaystyle \ eta (x, z) = e ^ {i \ ell z} h (x)}

Výpočet proudnic pro zploštělou horu (Gauß)

Fourierova transformace Gaußovy křivky je následující:

{\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = a {\ sqrt {\ pi}} h_ {0} {\ sqrt {\ pi}} e ^ {- {a ^ {2} \ xi ^ { 2} \ nad 4}}}

Pamatuj si to:

{\ displaystyle \ eta (x, z) \ simeq e ^ {- \ ell z} \ int _ {0} ^ {\ ell} {\ hat {h}} (\ xi) e ^ {i \ xi x} d \ xi \ přibližně e ^ {i \ ell z} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ hat {h}} (\ xi) e ^ {ix \ xi} d \ xi}

{\ displaystyle \ eta (x, z) \ simeq e ^ {i \ ell z} {\ sqrt {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {a ^ {2} \ xi ^ {2} \ přes 4}} e ^ {ix \ xi} d \ xi}

Vidíme, že člen pod integrálem je Fourierova transformace Gaussovy křivky. Při použití předchozího výsledku máme:

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {a ^ {2} \ xi ^ {2} \ přes 4}} e ^ {ix \ xi} d \ xi = e ^ {- {a ^ {2} \ nad x ^ {2}}}}

Proto,

{\ displaystyle \ eta (x, z) \ simeq e ^ {i \ ell z} h (x)}

V tomto případě se nevytvoří žádná skoková vlna. Tento přibližný vzorec také umožňuje vyhodnotit zdvih ve svahu. Všimli jsme si, že vzestupný efekt se s výškou nad kopcem snižuje. Tento přibližný vzorec lze použít k odhadu rychlosti stoupání během letu ve svahu . Úzké horské pouzdro

V případě úzké hory, kde je posunutí aktuálních čar vyjádřeno takto: ${\ displaystyle a \ ell \ ll 1}$

{\ displaystyle \ eta (x, z) = {h_ {m} a (a + z) \ nad x ^ {2} + (a + z) ^ {2}}}

Jasně vidíme, že neexistují žádné skokové vlny a že ani výchylka vzduchu nemá vertikální periodicitu.

V rozevíracím seznamu předvádíme vzorec.

Výpočet proudnic pro úzkou horu

Druhý člen integrálu je dominantní. Takže máme:

{\ displaystyle \ eta (x, z) \ přibližně \ int _ {\ ell} ^ {\ infty} {\ hat {h}} e ^ {- {\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ { 2}}} z} e ^ {i \ xi x} d \ xi}

Máme . Proto, ${\ displaystyle {\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ {2}}} \ přibližně {\ sqrt {\ xi ^ {2}}}}$

{\ displaystyle \ eta (x, z) \ přibližně \ int _ {\ ell} ^ {\ infty} {\ hat {h}} e ^ {- {\ sqrt {\ xi ^ {2}}} z} e ^ {i \ xi x} d \ xi \ cca \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ hat {h}} e ^ {- \ xi z} e ^ {i \ xi x} d \ xi}

Nahrazujeme a proto: ${\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = h_ {m} ae ^ {- a \ xi}}$

{\ displaystyle \ eta (x, z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- a \ xi} e ^ {- \ xi z} e ^ {i \ xi x} d \ xi = h_ {m} a \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {(- az + ix) \ xi} d \ xi}

Konečně,

{\ displaystyle \ eta (x, z) = {h_ {m} a (-) \ nad -a-z + ix}}

Když tedy vezmeme skutečnou část, získáme:

{\ displaystyle \ eta (x, z) = {h_ {m} a (a + z) \ nad x ^ {2} + (a + z) ^ {2}}}

My máme :

{\ displaystyle u '= - u_ {0} {\ částečná \ eta \ nad \ částečná z}}

Pamatuj si to:

{\ displaystyle \ eta (x, z) = h_ {m} a {z + a \ nad x ^ {2} + (z + a) ^ {2}}}

Proto,

${\ displaystyle u '= - u_ {0} h_ {m} a {x ^ {2} + (z + a) ^ {2} -2 (z + a) ^ {2} \ nad [x ^ {2 } + (z + a) ^ {2}] ^ {2}} = - u_ {0} h_ {m} a {x ^ {2} - (z + a) ^ {2} \ přes [x ^ { 2} + (z + a) ^ {2}] ^ {2}} = u_ {0} h_ {m} a {(z + a) ^ {2} -x ^ {2} \ přes [x ^ { 2} + (z + a) ^ {2}] ^ {2}}}$

Poznamenáváme, že u 'se může stát záporným a dokonce můžeme mít u + u' <0. Pokud k tomu dojde, nejsme již v lineárním případě a hypotéza již není platná. ${\ displaystyle | u '| \ ll | u + 0 |}$

Podobně máme:

{\ displaystyle w = w '= u_ {0} {\ částečné \ eta \ nad \ částečné x}}

Proto,

{\ displaystyle w (x, z) = - 2u_ {0} {h_ {m} a (a + z) x \ over [(a + z) ^ {2} + x ^ {2}] ^ {2} }}

Všimli jsme si, že:

{\ displaystyle h '(x) = {- 2h_ {m} a ^ {2} x \ over (x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {2}}}

Proto,

{\ displaystyle w (x, z) = - 2u_ {0} h '(x) {(a + z) \ nad a} \ krát {(a ^ {2} + x ^ {2}) ^ {2} \ přes [(a + z) ^ {2} + x ^ {2}] ^ {2}}}

Obecný případ

Když je x velké, lze posunutí proudnic vyjádřit následovně (Smithův vzorec 2.68):

{\ displaystyle \ eta (x, z) = - {\ sqrt {\ rho _ {0} \ nad \ rho (z)}} h_ {0} a {\ sqrt {2 \ pi}} {(\ ell ^ {2} - \ xi _ {c} ^ {2}) ^ {3 \ nad 4} \ nad \ ell {\ sqrt {z}}} e ^ {- \ xi _ {c} a} \ cos \ vlevo ({\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi _ {c} ^ {2}}} z + \ xi _ {c} x - {\ pi \ nad 4} \ vpravo)}

s . ${\ displaystyle \ xi _ {c} = \ ell \ left / {\ sqrt {\ left ({z \ over x} \ right) ^ {2} +1}} \ right.}$

V rozevíracím seznamu předvádíme vzorec.

Výpočet aktuálních linek v obecném případě

Zvažujeme případ, kdy . Pamatuj si to: ${\ displaystyle a \ ell \ přibližně 1}$

{\ displaystyle \ eta (x, z) = \ int _ {0} ^ {\ ell} {\ hat {h}} (\ xi) e ^ {ia \ xi + i {\ sqrt {\ ell ^ {2 } - \ xi ^ {2}}} z} e ^ {i \ xi x} d \ xi + \ int _ {\ ell} ^ {\ infty} {\ hat {h}} e ^ {ia \ xi - {\ sqrt {\ xi ^ {2} - \ ell ^ {2}}} z} e ^ {i \ xi x} d \ xi}

Omezujeme se v případě, že x je velké. Protože termín rychle osciluje, je druhý integrál nulový. Takže máme znovu: ${\ displaystyle e ^ {i \ xi x}}$

{\ displaystyle \ eta (x, z) \ přibližně \ int _ {0} ^ {\ ell} {\ hat {h}} (\ xi) e ^ {ia \ xi + i {\ sqrt {\ ell ^ { 2} - \ xi ^ {2}}} z} e ^ {i \ xi x} d \ xi}

Definujeme fázi:

{\ displaystyle \ phi (\ xi) = x \ xi + {\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}}} z}

Tento integrál je téměř nulový, pokud není derivace fáze nulová.

{\ displaystyle {d \ phi (\ xi) \ nad d \ xi} = 0}

Bereme na vědomí, že:

{\ displaystyle {d \ phi (\ xi) \ nad d \ xi} = x + {z \ nad 2 {\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}}}}} d (\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}) \ over d \ xi} = x- {z \ over {\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}}}}}

Proto řešíme:

{\ displaystyle x- {z \ xi \ over {\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}}}} = 0 \, \ leftrightarrow \, x ^ {2} (\ ell ^ {2 } - \ xi ^ {2}) = z \ xi \, \ leftrightarrow \, - x ^ {2} \ xi ^ {2} + z \ xi + x ^ {2} \ ell ^ {2} = 0}

Řešení tedy jsou:

{\ displaystyle \ xi = {- z \ xi \ pm {\ sqrt {z ^ {2} + 4x ^ {2} \ ell ^ {2}}} \ nad 2z}}

Pouze jedno řešení je fyzické a máme:

{\ displaystyle \ xi ^ {*} = {- z \ xi + {\ sqrt {z ^ {2} + 4x ^ {2} \ ell ^ {2}}} \ nad 2z}}

Provádíme omezený vývoj a máme:

{\ displaystyle \ phi (\ xi ^ {*} + \ delta \ xi) = \ phi (\ xi ^ {*}) + {1 \ nad 2} {d ^ {2} \ phi (\ xi) \ nad d \ xi ^ {2}} \ delta \ xi ^ {2}}

Definujeme ξ c tak, že:

{\ displaystyle {z \ over x} = {{\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi _ {c} ^ {2}}} \ over \ xi _ {c}}}

Po několika výpočtech dostaneme:

{\ displaystyle \ eta (x, z) = - h_ {m} a {\ sqrt {2 \ pi}} {(\ ell ^ {2} - \ xi _ {c} ^ {2}) ^ {3 \ přes 4} \ přes \ ell {\ sqrt {z}}} e ^ {- \ xi _ {c} a} \ cos \ vlevo ({\ sqrt {\ ell ^ {2} - \ xi _ {c} ^ {2}}} z + \ xi _ {c} x - {\ pi \ nad 4} \ vpravo)}

Proměnlivá rychlost větru

Model je založen na Kellerově papíru.

Předpokládá, že rychlost větru se zvyšuje lineárně s nadmořskou výškou. Jsou uvedeny dva výsledky:

Hydrostatický případ, kdy má být číslo vlny nulové;
Nehydrostatický případ, kdy je číslo vlny nenulové.

Předpokládáme, že rychlost větru je ve tvaru:

{\ displaystyle u (z) = u_ {0} (1+ \ lambda z)}

Předpokládá se, že překážkou je Agnesi čarodějnice, jak je definováno výše. Definujeme Richardsonovo číslo následovně:

{\ displaystyle Ri = {N \ nad u_ {0} \ lambda}}

V hydrostatickém případě je vertikální rychlost vyjádřena takto:

{\ displaystyle w (x, z) = h '(x) u_ {0} {\ sqrt {1+ \ lambda z}} \ cos \ left ({\ sqrt {Ri ^ {2} - {1 \ přes 4 }}} \ log (1+ \ lambda z) \ right) + h_ {0} au_ {0} {\ sqrt {1+ \ lambda z}} {x ^ {2} -a ^ {2} \ over ( a ^ {2} + x ^ {2}) ^ {2}} \ sin \ left ({\ sqrt {Ri ^ {2} - {1 \ over 4}}}} \ log (1+ \ lambda z) \ že jo)}

Nechť je upravená Besselova funkce imaginárního řádu. V nehydrostatickém případě je vertikální rychlost vyjádřena takto: ${\ displaystyle K_ {i \ mu}}$

{\ displaystyle w (x, z) = u_ {0} h_ {0} a {\ sqrt {1+ \ lambda z}} \ součet _ {j = 1} ^ {n} {\ xi _ {j} \ přes \ lambda} {K_ {i \ mu} [\ xi _ {j} (1+ \ lambda z) / \ lambda] \ přes K_ {i \ mu} '(\ xi _ {j} / \ lambda)} \ cos (x \ xi _ {j}) e ^ {- a \ xi _ {j}}}

kde je nula . ${\ displaystyle \ xi _ {j} / \ lambda}$ ${\ displaystyle K_ {i \ mu} ()}$

Střelec rovnice s proměnnou rychlostí větru

Mírně opravíme parametr Střelec, kde

{\ displaystyle \ ell ^ {2} = {N ^ {2} \ nad u (z)} - {\ beta ^ {2} \ nad 4}}

s ${\ displaystyle \ beta = {\ rho '(z) \ nad \ rho (z)}}$

Longova rovnice je přepsána takto:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} {\ hat {\ psi}} \ nad \ částečné z ^ {2}} + (\ ell ^ {2} - \ xi ^ {2}) {\ hat {\ psi }} = 0}

Předpokládá se, že rychlost větru se zvyšuje s nadmořskou výškou. Píšeme:

{\ displaystyle u (z) = u_ {0} (1+ \ lambda z)}

Poté získáme:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} {\ hat {\ psi}} \ nad \ částečné z ^ {2}} + \ doleva ({N ^ {2} \ nad u_ {0} ^ {2} (1 + \ lambda z) ^ {2}} - {\ beta ^ {2} \ přes 4} - \ xi ^ {2} \ right) {\ hat {\ psi}} = 0}

Definujeme

{\ displaystyle \ zeta = 1 + \ lambda z}

Hydrostatický roztok

Uvažujeme hydrostatickou aproximaci kde

{\ displaystyle \ beta = \ xi = 0}

Pak máme:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} {\ hat {\ psi}} \ nad \ částečné z ^ {2}} + {N ^ {2} \ nad u_ {0} ^ {2} \ zeta ^ {2 }} {\ hat {\ psi}} = 0}

Demonstrace v hydrostatickém případě

Proto,

{\ displaystyle \ lambda ^ {2} {\ částečné ^ {2} {\ hat {\ psi}} \ nad \ částečné \ zeta ^ {2}} + {N ^ {2} \ nad u_ {0} ^ { 2} \ zeta ^ {2}} {\ hat {\ psi}} = 0}

Definujeme Richardsonovo číslo jako:

{\ displaystyle Ri = {N \ nad u_ {0} \ lambda}}

Proto řešíme:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} {\ hat {\ psi}} \ nad \ částečné \ zeta ^ {2}} + {Ri ^ {2} \ nad \ zeta ^ {2}} {\ hat {\ psi}} = 0}

Definujeme

{\ displaystyle {\ hat {\ psi}} = {\ sqrt {\ zeta}} y}

My máme :

{\ displaystyle {\ hat {\ psi}} '= {1 \ nad 2 {\ sqrt {\ zeta}}} y + {\ sqrt {\ zeta}} y'}

Proto,

{\ displaystyle {\ hat {\ psi}} '' = - {1 \ nad 4 \ zeta ^ {3 \ nad 2}} y + 2 {1 \ nad 2 {\ sqrt {\ zeta}}} y '+ {\ sqrt {\ zeta}} y '}}

Proto řešíme:

{\ displaystyle - {1 \ nad 4 \ zeta ^ {3 \ nad 2}} y + 2 {1 \ nad 2 {\ sqrt {\ zeta}}} y '+ {\ sqrt {\ zeta}} y' ' + {Ri ^ {2} {\ sqrt {\ zeta}} \ nad \ zeta ^ {2}} y = 0}

Násobíme . Proto, ${\ displaystyle \ zeta ^ {3 \ nad 2}}$

{\ displaystyle - {1 \ nad 4} y + \ zeta y '+ \ zeta ^ {2} y' '+ Ri ^ {2} y = 0}

Proto,

{\ displaystyle \ zeta ^ {2} y '' + \ zeta y '+ \ doleva (Ri ^ {2} - {1 \ přes 4} \ doprava) y = 0}

My máme :

{\ displaystyle \ zeta {d \ over \ zeta} \ left (\ zeta {d \ over d \ zeta} y \ right) = \ zeta {dy \ over d \ zeta} + \ zeta ^ {2} {d ^ {2} y \ over d \ zeta ^ {2}}.}

Získáváme proto:

{\ displaystyle \ zeta ^ {2} {d ^ {2} y \ over d \ zeta ^ {2}} = \ zeta {d \ over \ zeta} \ left (\ zeta {d \ over d \ zeta} y \ right) - \ zeta {dy \ over d \ zeta}}

Rovnice se proto stává:

{\ displaystyle \ zeta {d \ over \ zeta} \ left (\ zeta {d \ over d \ zeta} y \ right) + \ left (Ri ^ {2} - {1 \ over 4} \ right) y = 0}

Definujeme lineární operátor:

{\ displaystyle P (y) = \ zeta {d \ nad d \ zeta}}

Proto řešíme:

! ${\ displaystyle P ^ {2} (y) + \ vlevo (Ri ^ {2} - {1 \ nad 4} \ vpravo) y = 0}$

které lze proto započítat do:

${\ displaystyle \ left (P + i {\ sqrt {Ri ^ {2} -1/4}} \ right) \ times \ left (Pi {\ sqrt {Ri ^ {2} -1/4}} \ right ) y = 0}$

Tím získáme lineární rovnice:

{\ displaystyle \ left (P \ pm i {\ sqrt {Ri ^ {2} -1/4}} \ right) y = 0}

To tedy spočívá v řešení:

{\ displaystyle \ zeta {dy \ over d \ zeta} \ pm i {\ sqrt {Ri ^ {2} -1/4}} y = 0 \, \ Leftrightarrow \, {dy \ over y} = \ pm i {\ sqrt {Ri ^ {2} -1/4}} {d \ zeta \ over \ zeta}}

Proto,

{\ displaystyle \ log (y) = \ pm já {\ sqrt {Ri ^ {2} - {1 \ nad 4}}} \ log (\ zeta)}

{\ displaystyle y = Ke ^ {\ pm i {\ sqrt {Ri ^ {2} - {1 \ nad 4}}} \ log (\ zeta)}}

Řešení je proto napsáno ve formě:

{\ displaystyle y = K \ cos \ left ({\ sqrt {Ri ^ {2} - {1 \ nad 4}}} \ log (\ zeta) \ right)}

Řešení tedy je:

{\ displaystyle {\ hat {\ psi}} = K {\ sqrt {\ zeta}} \ cos \ vlevo ({\ sqrt {Ri ^ {2} - {1 \ nad 4}}} \ log (\ zeta) \ že jo)}

Po několika výpočtech dostaneme:

{\ displaystyle \ psi (x, z) = h_ {0} au_ {0} {\ sqrt {1+ \ lambda z}} {1 \ nad a ^ {2} + x ^ {2}} \ vlevo [a \ cos \ left ({\ sqrt {Ri ^ {2} - {1 \ over 4}}}} log (1+ \ lambda z) \ right) -x \ sin \ left ({\ sqrt {Ri ^ {2 } - {1 \ nad 4}}} \ log (1+ \ lambda z) \ right) \ right]}

Pamatuj si to ${\ displaystyle w = {\ částečné \ psi \ nad \ částečné x}}$

Proto,

{\ displaystyle w (x, z) = - h_ {0} au_ {0} {\ sqrt {1+ \ lambda z}} {2x \ over (a ^ {2} + x ^ {2}) ^ {2 }} \ left [a \ cos \ left ({\ sqrt {Ri ^ {2} - {1 \ over 4}}}} log (1+ \ lambda z) \ right) -x \ sin \ left ({\ sqrt {Ri ^ {2} - {1 \ nad 4}}} \ log (1+ \ lambda z) \ right) \ right] -h_ {0} au_ {0} {\ sqrt {1+ \ lambda z} } {1 \ nad a ^ {2} + x ^ {2}} \ sin \ doleva ({\ sqrt {Ri ^ {2} - {1 \ nad 4}}} \ log (1+ \ lambda z) \ right) = h '(x) u_ {0} {\ sqrt {1+ \ lambda z}} \ cos \ left ({\ sqrt {Ri ^ {2} - {1 \ over 4}}}} log (1 + \ lambda z) \ right) + h_ {0} au_ {0} {\ sqrt {1+ \ lambda z}} {x ^ {2} -a ^ {2} \ over (a ^ {2} + x ^ {2}) ^ {2}} \ sin \ left ({\ sqrt {Ri ^ {2} - {1 \ over 4}}} \ log (1+ \ lambda z) \ right)}

Nehydrostatický roztok

Rovnice k řešení je následující:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} {\ hat {\ psi}} \ nad \ částečné z ^ {2}} + \ doleva ({N ^ {2} \ nad u_ {0} ^ {2} (1 + \ lambda z) ^ {2}} - {\ beta ^ {2} \ přes 4} - \ xi ^ {2} \ right) {\ hat {\ psi}} = 0}

Zavedeme termín β, který neodpovídá Boussinově aproximaci a není hydrostatický, aby bylo možné použít zbytkovou větu ve výpočtech.

Demonstrace v nehydrostatickém případě

Pózujeme ${\ displaystyle \ zeta = 1 + \ lambda z}$

Proto,

{\ displaystyle \ lambda ^ {2} {\ částečné ^ {2} {\ hat {\ psi}} \ nad \ částečné \ zeta ^ {2}} + \ vlevo ({N ^ {2} \ nad u_ {0 } ^ {2} \ zeta ^ {2}} - {\ beta ^ {2} \ přes 4} - \ xi ^ {2} \ vpravo) {\ hat {\ psi}} = 0}

Proto,

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} {\ klobouk {\ psi}} \ přes \ částečné \ zeta ^ {2}} + \ doleva ({N ^ {2} \ přes \ lambda ^ {2} u_ {0 } ^ {2} \ zeta ^ {2}} - {\ beta ^ {2} / 4 + \ xi ^ {2} \ over \ lambda ^ {2}} \ vpravo) {\ hat {\ psi}} = 0}

Ptáme se:

{\ displaystyle \ kappa ^ {2} = {\ beta ^ {2} / 4 + \ xi ^ {2} \ přes \ lambda ^ {2}}}

Proto řešíme:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} {\ klobouk {\ psi}} \ přes \ částečné \ zeta ^ {2}} + \ doleva ({N ^ {2} \ přes \ lambda ^ {2} u_ {0 } ^ {2} \ zeta ^ {2}} - \ kappa ^ {2} \ vpravo) {\ hat {\ psi}} = 0}

Proto,

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} {\ klobouk {\ psi}} \ přes \ částečné \ zeta ^ {2}} + \ doleva ({Ri ^ {2} \ přes \ zeta ^ {2}} - \ kappa ^ {2} \ vpravo) {\ hat {\ psi}} = 0}

Opět pózujeme ${\ displaystyle {\ hat {\ psi}} = {\ sqrt {\ zeta}} y}$

Pamatuj si to:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} {\ klobouk {\ psi}} \ nad \ částečné \ zeta ^ {2}} = {\ sqrt {\ zeta}} y '' + {1 \ nad {\ sqrt { \ zeta}}} r - {1 \ nad 4} {1 \ nad \ zeta ^ {3 \ nad 2}} y}

Proto řešíme:

{\ displaystyle {\ sqrt {\ zeta}} y '' + {1 \ nad {\ sqrt {\ zeta}}} y '- {1 \ nad 4} {1 \ nad \ zeta ^ {3 \ nad 2} } y + \ left ({Ri ^ {2} \ over \ zeta ^ {2}} - \ kappa ^ {2} \ right) {\ hat {\ psi}} = 0}

Násobíme tím, a proto: ${\ displaystyle \ zeta ^ {3 \ nad 2}}$

{\ displaystyle \ zeta ^ {2} y '' + \ zeta y '- {1 \ nad 4} y + (Ri ^ {2} - \ kappa ^ {2} \ zeta ^ {2}) y = 0}

Proto,

{\ displaystyle \ zeta ^ {2} y '' + \ zeta y '+ \ vlevo (Ri ^ {2} - {1 \ nad 4} - \ kappa ^ {2} \ zeta ^ {2} \ vpravo) y = 0}

Definujeme ${\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {Ri ^ {2} - {1 \ nad 4}}}}$

Proto,

{\ displaystyle \ zeta ^ {2} y '' + \ zeta y '+ \ left (\ mu ^ {2} - \ kappa ^ {2} \ zeta ^ {2} \ right) y = 0}

Pózujeme ${\ displaystyle t = \ kappa \ zeta}$

Získáváme proto:

{\ displaystyle \ zeta ^ {2} y '' + \ zeta y '+ \ left (\ mu ^ {2} -t ^ {2} \ right) y = 0}

Proto,

{\ displaystyle \ zeta ^ {2} {d ^ {2} y \ over d \ zeta ^ {2}} + \ zeta {dy \ over d \ zeta} + \ left (\ mu ^ {2} -t ^ {2} \ vpravo) y = 0}

Proto,

{\ displaystyle {t ^ {2} \ přes \ kappa ^ {2}} {d ^ {2} y \ přes dt ^ {2}} \ vlevo ({dt \ přes d \ zeta} \ vpravo) ^ {2 } + {t \ over \ kappa} {dy \ over dt} \ left ({dt \ over d \ zeta} \ right) + \ left (\ mu ^ {2} -t ^ {2} \ right) y = {t ^ {2} \ over \ kappa ^ {2}} {d ^ {2} y \ over dt ^ {2}} \ kappa ^ {2} + {t \ over \ kappa} {dy \ over dt} \ kappa + \ left (\ mu ^ {2} -t ^ {2} \ right) y = t ^ {2} {d ^ {2} y \ over dt ^ {2}} + t {dy \ over dt } + \ left (\ mu ^ {2} -t ^ {2} \ right) y = 0}

Toto je upravená Besselova rovnice. Jako řešení tam je konečný v nekonečnu je řešení:

{\ displaystyle y (t) = \ alfa K_ {i \ mu} (t)}

kde je upravená Besselova funkce druhého druhu. ${\ displaystyle K_ {i \ mu}}$

Proto,

{\ displaystyle y (\ zeta) = \ alfa K_ {i \ mu} (\ kappa \ zeta)}

Proto,

{\ displaystyle {\ hat {\ psi}} (\ xi, z) = \ alpha (\ xi) {\ sqrt {1+ \ lambda z}} K_ {i \ mu} [\ kappa (1+ \ lambda z )]}}

Děláme z = 0 . Poté získáme:

${\ displaystyle {\ hat {\ psi}} (\ xi, 0) = \ alpha (\ xi) {\ sqrt {1+ \ lambda 0}} K_ {i \ mu} [\ kappa (1+ \ lambda 0 )] = \ alpha (\ xi) K_ {i \ mu} \ vlevo ({\ sqrt {\ beta ^ {2} / 4 + \ xi ^ {2} \ přes \ lambda ^ {2}}} \ vpravo) = \ alpha (\ xi) K_ {i \ mu} \ left ({{\ sqrt {\ beta ^ {2} / 4 + \ xi ^ {2}}} \ over \ lambda} \ right)}$

Předpokládá se, že hora je agnesijská čarodějnice . Proto,

{\ displaystyle h (x) = h_ {0} {a ^ {2} \ nad a + 2 + x ^ {2}}}

Jeho Fourierova transformace je tedy:

{\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = h_ {0} ae ^ {- a \ xi}}

Hraniční podmínka je zapsána, a proto: ${\ displaystyle w (x, 0) = u_ {0} h '(x)}$

{\ displaystyle \ psi (x, 0) = u_ {0} h (x)}

Jeho Fourierova transformace se tedy stává:

{\ displaystyle {\ hat {\ psi}} (\ xi, 0) = u_ {0} {\ hat {(}} h (\ xi) = u_ {0} h_ {0} ae ^ {- a \ xi }}

Získáváme proto:

{\ displaystyle \ alpha (\ xi) K_ {i \ mu} \ vlevo ({{\ sqrt {\ beta ^ {2} / 4 + \ xi ^ {2}}} \ přes \ lambda} \ vpravo) = { \ hat {\ psi}} (\ xi, 0) = u_ {0} h_ {0} ae ^ {- a \ xi} \, \ Leftrightarrow \, \ alpha (\ xi) = {u_ {0} h_ { 0} ae ^ {- a \ xi} \ lambda \ nad K_ {i \ mu} \ doleva [\ doleva ({\ sqrt {\ beta ^ {2} / 4 + \ xi ^ {2}}} \ doprava) / \ lambda \ vpravo]}}

Proto,

{\ displaystyle {\ hat {\ psi}} (\ xi, z) = {u_ {0} h_ {0} ae ^ {- a \ xi} \ lambda \ nad K_ {i \ mu} \ vlevo [\ vlevo ({\ sqrt {\ beta ^ {2} / 4 + \ xi ^ {2}}} \ right) / \ lambda \ right]} {\ sqrt {1+ \ lambda z}} K_ {i \ mu} \ vlevo ({{\ sqrt {\ beta ^ {2} / 4 + \ xi ^ {2}}} (1+ \ lambda z) \ přes \ lambda} \ doprava)}

Provádíme inverzní Fourierovu transformaci:

{\ displaystyle \ psi (x, z) = u_ {0} h_ {0} a {\ sqrt {1+ \ lambda z}} \ lambda \ int _ {0} ^ {\ infty} {e ^ {- a \ xi} \ přes K_ {i \ mu} \ doleva [\ doleva ({\ sqrt {\ beta ^ {2} / 4 + \ xi ^ {2}}} \ doprava) / \ lambda \ doprava]} K_ { i \ mu} \ left ({{\ sqrt {\ beta ^ {2} / 4 + \ xi ^ {2}}} (1+ \ lambda z) \ over \ lambda} \ right) e ^ {i \ xi x} d \ xi = u_ {0} h_ {0} a {\ sqrt {1+ \ lambda z}} \ lambda \ int _ {0} ^ {\ infty} {1 \ nad K_ {i \ mu} \ left [\ left ({\ sqrt {\ beta ^ {2} / 4 + \ xi ^ {2}}} \ right) / \ lambda \ right]} K_ {i \ mu} \ left ({{\ sqrt { \ beta ^ {2} / 4 + \ xi ^ {2}}} (1+ \ lambda z) \ přes \ lambda} \ doprava) e ^ {(ix-a) \ xi} d \ xi}

Předpokládejme, že β je malý a použijte větu o zbytku. Nechť každý z pólů . ${\ displaystyle \ xi _ {j}}$ ${\ displaystyle K_ {i \ mu}}$

Pak máme:

{\ displaystyle \ psi (x, z) = u_ {0} h_ {0} a {\ sqrt {1+ \ lambda z}} \ součet _ {j = 1} ^ {n} i {K_ {i \ mu } [\ xi _ {j} (1+ \ lambda z) / \ lambda] \ přes K_ {i \ mu} '(\ xi _ {j} / \ lambda)} e ^ {(ix-a) \ xi _ {j}} = u_ {0} h_ {0} a {\ sqrt {1+ \ lambda z}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {K_ {i \ mu} [\ xi _ { j} (1+ \ lambda z) / \ lambda] \ přes K_ {i \ mu} '(\ xi _ {j} / \ lambda)} \ sin (x \ xi _ {j}) e ^ {- a \ xi _ {j}}}

Svislá rychlost je proto vyjádřena takto:

{\ displaystyle w (x, z) = u_ {0} h_ {0} a {\ sqrt {1+ \ lambda z}} \ součet _ {j = 1} ^ {n} {\ xi _ {j} \ přes \ lambda} {K_ {i \ mu} [\ xi _ {j} (1+ \ lambda z) / \ lambda] \ přes K_ {i \ mu} '(\ xi _ {j} / \ lambda)} \ cos (x \ xi _ {j}) e ^ {- a \ xi _ {j}}}

Porovnání analytických řešení s naměřenými hodnotami

Analytické modely předpovídají vlnovou délku horských vln zhruba správně. Je třeba poznamenat, že vlnová délka se obecně pohybuje mezi 6 a 20 km, a proto není divu, že modely dokážou reprodukovat experimentální data poměrně přesným způsobem. Tyto modely však hrubě podceňují amplitudu těchto vln (faktorem 4). Tento rozdíl se vysvětluje nezahrnutím nelinearit do analytického modelu. Lineární modely zejména nemohou reprodukovat existenci extrémních stoupání řádově 40 m / s, které byly pozorovány.

Rozšíření na rotory

Střelec by měl formulaci týkající se existence rotorů.

Předpokládá se, že tekutina je nestlačitelná, a proto lze definovat aktuální funkci vedení tak, že $\ psi$

, ${\ displaystyle u = - {\ částečné \ psi \ nad \ částečné z}, \ qquad w = {\ částečné \ psi \ nad \ částečné x}}$

Je napsána zjednodušená Longova rovnice (která je nelineární podle okrajových podmínek):

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} \ eta \ nad \ částečné x ^ {2}} + {\ částečné ^ {2} \ eta \ nad \ částečné z ^ {2}} + \ ell ^ {2} \ eta = 0}

kde η je posunutí aktuálních čar.

Nelineární bezrozměrná rovnice

Složitější znění je uvedeno v odkazech.

Definujeme následující bezrozměrné veličiny:

${\ displaystyle {\ tilde {x}} = {x \ přes L}}$ kde L je referenční délka, jako je například poloviční šířka hory.
${\ displaystyle {\ tilde {z}} = {zN_ {0} \ přes u_ {0}}}$ kde N 0 je charakteristická Brunt-Väisälä frekvence, je rovnoměrná rychlost podél aktuální linie. $u_0$
${\ displaystyle {\ tilde {u}} = {u \ over u_ {0}}}$
${\ displaystyle {\ tilde {w}} = {wLN_ {0} ^ {2} \ přes u_ {0} ^ {2}}}$
${\ displaystyle {\ tilde {\ rho}} = {\ rho \ over \ rho _ {0}}}$ kde je charakteristická hustota. $\ rho _ {0}$
${\ displaystyle {\ tilde {p}} = {pN_ {0} \ over \ rho _ {0} gu_ {0}}}$ kde g je gravitační zrychlení.

Definujeme:

{\ displaystyle \ beta = {N_ {0} u_ {0} \ nad g} \ qquad \ mu = {u_ {0} \ nad N_ {0} L}}

Existuje bezrozměrná funkce ψ taková

${\ displaystyle u = - {\ částečný \ psi \ nad \ částečný {\ tilde {z}}} \ quad w = {\ částečný \ psi \ nad \ částečný {\ tilde {x}}}}$

Nelineární rovnice týkající se ψ je následující:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} \ psi \ nad \ částečné {\ tilde {z}} ^ {2}} + \ mu ^ {2} {\ částečné ^ {2} \ psi \ nad \ částečné {\ tilda {x}} ^ {2}} - N ^ {2} (\ psi) \ left \ {{\ tilde {z}} - \ psi + {\ beta \ nad 2} \ left [\ left ({\ částečný \ psi \ přes \ částečný {\ tilda {z}}} \ pravý) ^ {2} + \ mu ^ {2} \ levý ({\ částečný \ psi \ přes \ částečný {\ tilde {x}}} \ vpravo) ^ {2} -1 \ vpravo] \ vpravo \}}

Máme mají obvykle , a g = 10 . Takže . Můžeme to tedy předpokládat a nelineární výrazy tedy můžeme ignorovat. Charakteristická šířka hory vysoké 1 000 metrů je řádově 5 000 metrů. To má za následek a může být nevhodné tento výraz zanedbávat.

{\ displaystyle N_ {0} \ přibližně 10 ^ {- 2}}

{\ displaystyle u_ {0} \ přibližně 10}

{\ displaystyle \ beta \ přibližně 10 ^ {- 2}}

{\ displaystyle \ beta \ přibližně 0}

{\ displaystyle \ mu = 0,2}

Nyní se vracíme k Longově rovnici:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} \ eta \ nad \ částečné x ^ {2}} + {\ částečné ^ {2} \ eta \ nad \ částečné z ^ {2}} + \ ell ^ {2} \ eta = 0}

Předpokládá se, že vlna je periodická s periodou k . Takže máme:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} \ eta \ nad \ částečné x ^ {2}} = - k ^ {2} \ delta}

Získáváme proto:

{\ displaystyle -k ^ {2} \ eta + {\ částečné ^ {2} \ eta \ nad \ částečné z ^ {2}} + \ ell ^ {2} \ eta = 0}

Takže konečně:

{\ displaystyle -k ^ {2} \ eta + {\ částečné ^ {2} \ eta \ nad \ částečné z ^ {2}} = (k ^ {2} \ ell ^ {2})}

Kritérium pro vytvoření rotorů je nakonec následující:

{\ displaystyle \ left | {\ částečné \ eta \ nad \ částečné z} \ vpravo |> 1}

Další zjednodušený přístup uvádí Paul Queney . Variace posunutí aktuálních čar je mnohem větší podél z než podél x . Takže máme:

{\ displaystyle \ left | {\ částečné ^ {2} \ eta \ nad \ částečné x ^ {2}} \ pravé | \ ll \ levé | {\ částečné ^ {2} \ eta \ nad \ částečné z ^ {2 }} \ doprava |}

Pak můžeme Longovu rovnici „zjednodušit“ následujícím způsobem, jak to udělal Paul Queney ohledně teorie kočičích očí:

{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} \ eta \ nad \ částečné z ^ {2}} = 0}

Podrobnosti výpočtu jsou uvedeny v článku Rotor (meteorologie) .

Poznámky a odkazy

Průzkum příšery , str. 64
(in) Richard Scorer , „ Teorie vln v závětří hor “ , Tellus ,1949, str. 41-56 ( číst online )
(in) Richard Scorer , „ Theory of airflow over mountains: II - The flow over a ridge “ , Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society , vol. 79, n o 339,Leden 1953, str. 70-83
(in) Richard Scorer , „ Teorie proudění vzduchu přes hory: III - Charakteristiky proudu vzduchu “ , Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society , sv. 80, n o 345,Červenec 1954, str. 417–428
(in) Ming Xue, „ Kapitola 2. Nucený tok hor “ ,2005, str. 28
(v) Dale R Durran, " Lee vlny a horské vlny " (k dispozici na 8. prosince 2011 )
(in) Yuh Lin Lang, Mesoscale Dynamics , Cambridge University Press ,2007, 629 s. , str. 110
(in) „ Scorer parameter “ , AMS Glossary , American Meteorological Society (přístup 26. září 2015 )
Storm and Cloud Dynamics , str. 790
Smithův článek obsahuje chybu, kdy byl ve vzorci 2.27 zapomenut termín u u 0
(in) Durran Dale, Mesoscale Meteorology and Forecasting , Americká meteorologická společnost ,1986, 793 s. ( ISBN 978-0-933876-66-8 ) , str. 472-492
Vliv hor na atmosféru , str. 98
Vliv hor na atmosféru , str. 102
(in) Carmen Nappo , An Introduction to Atmospheric Gravity Waves , sv. 85, Amsterdam / Boston / Paříž atd., Academic Press ,2002, 276 s. ( ISBN 0-12-514082-7 ) , str. 59
Vliv hor na atmosféru , str. 101
Vliv hor na atmosféru , str. 106
Definice ξ c je ve vzorci 2.68 nesprávná. Autor napsal z / z místo z / x .
(in) Teddie L. Keller, „ Zapojením Nanebevzetí jsou hydrostatické atmosférické gravitační vlny “ , Journal of the Atmospheric Sciences , American Meteorological Society , sv. 51, n o 13,1994( číst online )
(in) Ronald B. Smith, „ The Generation of Lee Waves by the Blue Ridge “ , Journal of the Atmospheric Sciences , sv. 33,Březen 1976, str. 513 ( číst online )
Vliv hor na atmosféru , str. 119
(in) „ Před padesáti lety ... “ , Světová meteorologická organizace ,Dubna 2008
(in) Donald B. McCann, „ Diagnostika a předvídání turbulencí letadel strmých horskými vlnami “ , National Weather Digest , sv. 30,prosince 2006, str. 77-92 ( číst online )
(in) Richard Scorer , Proceedings of the Symposium on Mountain Meteorology , Colorado State University ,26. června 1967, 221 str. ( číst online ) , s. 91
(in) Robert Long , „ Některé aspekty stratifikovaného toku tekutin I. Teoretické zkoumání “ , Tellus ,1953( číst online )
(in) Robert Long , „ Některé aspekty stratifikovaného toku tekutin III. Kontinuální gradienty hustoty “ , Tellus ,1955( číst online )
(in) Kevin Davis , Tok nestejnoměrně stratifikované tekutiny velké hloubky přes topografii , MIT ,1997, 64 s. ( číst online [PDF] ) , str. 16
(in) Mr. Humi , „ Longova rovnice v polních souřadnicích následující “ , Nelineární procesy v geofyzice ,7. srpna 2009, str. 535 ( číst online )
(en) Roger G. Barry , Horské počasí a podnebí, třetí vydání , Cambridge, Cambridge University Press ,2008, 506 s. ( ISBN 978-0-521-86295-0 ) , str. 161
(in) Richard Scorer , příčiny a důsledky stojatých vln. Symposium on Mountain Meteorology , Colorado State University ,1967( číst online ) , kap. 122, s. 75-101
(in) Paul Queney, „ Rotor Phenomena in the Lee of Mountains ,“ Tellus , sv. VII, n o 3,1955( číst online )

Bibliografie

[Storm and Cloud Dynamics] (en) William Cotton a Richard Anthes, Storm and Cloud Dynamics , sv. 44, Academic Press , coll. "International geophysics series",1989, 880 s. ( ISBN 0-12-192530-7 )

[Exploration of the Monster] (en) Robert Whelan , Exploring the Monster Mountain Lee Waves: The Aerial Elevator , Wind Canyon Books,2000, 170 s. ( ISBN 978-1-891118-32-6 )

[Vliv hor na atmosféru] ( fr ) Ronald Smith, „ Vliv hor na atmosféru “ , Advances in Geophysics , sv. 21,1979( číst online )

Související články