Vlnová rovnice
Rovnice vlna (někdy nazývá vlnová rovnice nebo D'Alembertova rovnice ) je obecná rovnice, která popisuje šíření o vlny , které mohou být reprezentovány skalární nebo vektorové veličiny.
Ve vektorovém případě je ve volném prostoru na homogenním , lineárním a izotropním médiu napsána vlnová rovnice:
∇2E→=1vs.2∂2E→∂t2.{\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {E}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} {\ vec {E}}} { \ částečné t ^ {2}}}.}Operátor
∇2=Δ=∑j=1NE∂2∂Xj2{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = \ Delta = \ součet _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné x_ {j} ^ {2}}}}(kde N je rozměr prostoru) se nazývá Laplacian a někdy si
povšimneme
◻=Δ-1vs.2∂2∂t2{\ displaystyle \ square = \ Delta - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné t ^ {2}}}}provozovatel vln nebo d'alembertien .
E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}popisuje jak amplitudu vlny, tak její polarizaci (jejím vektorovým charakterem). to mohou být přirovnány k rychlosti šíření vln. Například v případě zvukové vlny je c rychlost zvuku 343 m / s ve vzduchu při 20 ° C. V případě složitějších jevů, jako je šíření vlny měnící se s její frekvencí (tj. Disperze), nahradíme c fázovou rychlostí:
protip=ωk.{\ displaystyle v _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ omega} {k}}.}Při pohledu na každou ze složek (promítnutím vztahu v každém ze směrů prostoru) získáme rovnici vztahující se ke skalární, nazývané d'Alembertova rovnice :
E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}
ΔU=1vs.2∂2U∂t2.{\ displaystyle \ Delta U = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} U} {\ částečné t ^ {2}}}.}
Historický
Zřízení vlnové rovnice vycházelo ze studia vibrací houslové struny . Aby bylo možné modelovat toto chování, matematiky XVII th století použili druhého Newtonova zákona ke kabelu, nejprve viděn jako konečné množiny bodových mas spojených pružinami (jejichž chování je dána zákonem Hookeova se sídlem v roce 1660), předtím, než zvýšení počtu mas přiblížit se k lanu.
V roce 1727 Jean Bernoulli obnovil experiment s houslovou strunou a poznamenal, že jeho vibrace tvoří sinusoidu a že variace jeho amplitudy v bodě také tvoří sinusovou křivku, čímž zvýrazňuje režimy. V roce 1746 Jean le Rond d'Alembert převzal model bodových hmot spojených pružinami a stanovil pouze z rovnic, že vibrace struny závisí jak na prostoru, tak na čase.
Jednorozměrná rovnice prostoru
Stanoveno Newtonovými a Hookeovými zákony
Uvažujme řetězec bodových hmot m propojených nehmotnými pružinami délky h a tuhosti k :
Uvažujme u ( x ) posunutí hmotnosti m v x vzhledem k jeho vodorovné klidové poloze. Síly působící na hmotu m v bodě x + h jsou:
FNEEwtÓne=m⋅na(t)=m⋅∂2∂t2u(X+h,t){\ displaystyle F _ {\ mathrm {Newton}} = m \ cdot a (t) = m \ cdot {{\ částečné ^ {2} \ nad \ částečné t ^ {2}} u (x + h, t) }}
FHÓÓkE=FX+2h-FX=k[u(X+2h,t)-u(X+h,t)]-k[u(X+h,t)-u(X,t)]{\ displaystyle F _ {\ mathrm {Hooke}} = F_ {x + 2h} -F_ {x} = k \ doleva [{u (x + 2h, t) -u (x + h, t)} \ doprava ] -k [u (x + h, t) -u (x, t)]}
Posunutí hmoty v bodě x + h je proto dáno vztahem:
∂2∂t2u(X+h,t)=km[u(X+2h,t)-u(X+h,t)-u(X+h,t)+u(X,t)]{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} \ nad \ částečné t ^ {2}} u (x + h, t) = {k \ nad m} [u (x + 2h, t) -u (x + h , t) -u (x + h, t) + u (x, t)]}Změna notací umožňuje explicitní časovou závislost u ( x ).
Uvažováním řetězce N ekvidistantních hmot rozložených po délce L = Nh , celkových hmot M = Nm a celkové tuhosti K = k / N , získáme:
∂2∂t2u(X+h,t)=K.L2Mu(X+2h,t)-2u(X+h,t)+u(X,t)h2{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} \ nad \ částečné t ^ {2}} u (x + h, t) = {KL ^ {2} \ nad M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u (x, t) \ nad h ^ {2}}}Tím, že N bude mít tendenci k nekonečnu, a tedy h k 0 (uvažováním celkové délky jako zbývající konečné), za předpokladu pravidelnosti získáme:
∂2u(X,t)∂t2=K.L2M∂2u(X,t)∂X2{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} u (x, t) \ nad \ částečné t ^ {2}} = {KL ^ {2} \ nad M} {\ částečné ^ {2} u (x, t) \ přes \ částečné x ^ {2}}}s c 2 = KL 2 / M = kh 2 / m druhá mocnina rychlosti šíření kmene.
Řešení
V dimenzi 1 prostoru je rovnice zapsána
∂2U∂z2=1vs.2∂2U∂t2.{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2} U} {\ částečné z ^ {2}}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} U} {\ částečné t ^ {2}}}.}Když proměnná prochází celou skutečnou přímkou, je obecným řešením této rovnice součet dvou funkcí:
z{\ displaystyle z}
U(z,t)=F(z-vs.t)+G(z+vs.t).{\ displaystyle U (z, t) = F (z-ct) + G (z + ct).}Opravdu můžeme napsat:
(∂2∂z2-1vs.2∂2∂t2)U(z,t)=0{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ { 2}} {\ částečné t ^ {2}}} \ pravé) U (z, t) = 0}je :
(∂∂z-1vs.∂∂t)(∂∂z+1vs.∂∂t)U(z,t)=0{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} \ vpravo) \ vlevo ({ \ frac {\ částečné} {\ částečné z}} + {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} \ pravé) U (z, t) = 0}a pokud jsme si stanovili a = z - ct a b = z + ct , dostaneme:
(∂∂na)(∂∂b)PROTI(na,b)=0{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ částečné} {\ částečné a}} \ pravé) \ levé ({\ frac {\ částečné} {\ částečné b}} \ pravé) V (a, b) = 0} nebo
PROTI(na,b)=U(na+b2,b-na2vs.){\ displaystyle V (a, b) = U \ left ({\ frac {a + b} {2}}, {\ frac {ba} {2c}} \ right)}
který je vyřešen v: buďPROTI(na,b)=F(na)+G(b){\ displaystyle V (a, b) = F (a) + G (b)}U(z,t)=F(z-vs.t)+G(z+vs.t){\ displaystyle U (z, t) = F (z-ct) + G (z + ct)}
První člen je vlna šířící se ve směru rostoucího z (nazývaná pohybující se vlna) a druhý člen ve směru klesajícího z (nazývaný regresivní vlna).
V případě problému s počáteční podmínkou s nimi přímo souvisí funkce F a G : pro počáteční podmínky formuláře
{U(z,0)=F(z),∂tU(z,0)=G(z){\ displaystyle {\ begin {cases} U (z, 0) & = f (z), \\\ částečný _ {t} U (z, 0) & = g (z) \ end {případů}}}řešení je napsáno ve formě zvané „d'Alembertův vzorec“:
U(z,t)=12F(z-vs.t)+12F(z+vs.t)+12vs.∫z-vs.tz+vs.tG(s)ds.{\ displaystyle U (z, t) = {\ frac {1} {2}} f (z-ct) + {\ frac {1} {2}} f (z + ct) + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {z-ct} ^ {z + ct} g (y) \, \ mathrm {d} s.}
Vlnová rovnice v dimenzi 3
V případě skalární vlny v homogenním prostředí je vhodné pro řešení vlnové rovnice pracovat ve sférických souřadnicích:
1vs.2∂2u∂t2=∂2u∂r2+2r∂u∂r.{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné t ^ {2}}} = {\ frac {\ částečné ^ {2} u} {\ částečné r ^ {2}}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ částečné u} {\ částečné r}}.}Přepsáním rovnice na:
1vs.2∂2(ru)∂t2-∂2(ru)∂r2=0,{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} (ru)} {\ částečné t ^ {2}}} - {\ frac {\ částečné ^ { 2} (ru)} {\ částečné r ^ {2}}} = 0,}přijde, když vezmeme znovu výpočty provedené na 1D problému, že řešení je napsáno ve tvaru:
u(r,t)=1rF(r-vs.t)+1rG(r+vs.t),{\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {1} {r}} F (r-ct) + {\ frac {1} {r}} G (r + ct),}kde F a G jsou libovolné funkce.
Ukazuje se tedy, že řešením jsou sférické vlny, které se šíří nebo blíží k výchozímu bodu referenčního rámce, považovaného za zdrojový bod, kde jsou vlny singulární, zatímco se vzdalují s amplitudou klesající o 1 / r .
Úspora energie
Pokud je řešení vlnové rovnice, pak energie
u{\ displaystyle u}
E(u(t))=12∫RNE|∂u∂t(t,X)|2dX+vs.22∫RNE|∇u(t,X)|2dX{\ displaystyle E (u (t)) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} \ vlevo | {\ frac {\ částečné u} {\ částečné t }} (t, x) \ vpravo | ^ {2} \ mathrm {d} x + {\ frac {c ^ {2}} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} \ vlevo | \ nabla u (t, x) \ vpravo | ^ {2} \ mathrm {d} x}je zachována v průběhu času. Zde jsme si všimli dimenze prostoru a
NE{\ displaystyle N}
|∇u(t,X)|2=∑j=1NE|∂u∂Xj(t,X)|2.{\ displaystyle \ left | \ nabla u (t, x) \ vpravo | ^ {2} = \ součet _ {j = 1} ^ {N} \ vlevo | {\ frac {\ částečný u} {\ částečný x_ { j}}} (t, x) \ vpravo | ^ {2}.}
Rovnice v ohraničené doméně s okrajovou podmínkou
Můžeme také uvažovat vlnovou rovnici v doméně prostoru :
D{\ displaystyle D}
◻u(t,X)=0t∈R,X∈D{\ Displaystyle \ square u (t, x) = 0 \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ v D}s okrajovými podmínkami , například:
u(t,X)=0,t∈R,X∈∂D{\ displaystyle u (t, x) = 0, \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in \ částečný D}( okrajové podmínky Dirichleta ), kde je okraj pole , nebo
∂D{\ displaystyle \ částečné D}D{\ displaystyle D}
∂νu(t,X)=0,t∈R,X∈∂D{\ displaystyle \ částečný _ {\ nu} u (t, x) = 0, \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in \ částečný D}( okrajové podmínky Neumanna ), kde je vnější normální derivace na okraji .
∂ν{\ displaystyle \ částečné _ {\ nu}}∂D{\ displaystyle \ částečné D}
Poznámky a odkazy
-
Douglas C. Giancoli, Obecná fyzika: Vlny, optika a moderní fyzika ,1993, 488 s. ( ISBN 978-2-8041-1702-3 , číst online ) , s. 20.
-
Ian Stewart, 17 rovnic, které změnily svět , Flammarion , „Kapitola 8: Dobré vibrace - vlnová rovnice“
Podívejte se také
Vlna na vibrujícím provázku
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">