Newton-minův algoritmus

Newton-min algoritmus je lineární doplňování problém algoritmus řešení . Lze jej považovat za Newtonův polohladký algoritmus aplikovaný na ekvivalentní po částech lineární rovnici . To je dobře definována v případě, že matice je nedegenerovaný . 0⩽X⊥(MX+q)⩾0{\ displaystyle 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0}min(X,MX+q)=0{\ displaystyle \ min (x, Mx + q) = 0}M{\ displaystyle M}

Algoritmus

Problém lineární komplementarity

Krátce si připomeňme problém lineární komplementarity , který je popsán jinde. Vzhledem k tomu, čtvercovou matici skutečný , nemusí být nutně symetrické a vektor , je lineární komplementarita problém spočívá v nalezení vektoru tak, že M∈Rne×ne{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ krát n}}q∈Rne{\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}X∈Rne{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

X⩾0,MX+q⩾0aX⊤(MX+q)=0.{\ displaystyle x \ geqslant 0, \ qquad Mx + q \ geqslant 0 \ qquad {\ mbox {et}} \ qquad x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0.}

Vektorové nerovnosti je třeba chápat po jednotlivých komponentách: znamená pro jakýkoli index . Výše uvedený symbol se používá k označení transpozice vektoru nalevo. Tento problém je často stručně napsán takto: X⩾0{\ displaystyle x \ geqslant 0}Xi⩾0{\ displaystyle x_ {i} \ geqslant 0}i{\ displaystyle i}⊤{\ displaystyle {} ^ {\ top}}

CL(M,q):0⩽X⊥(MX+q)⩾0.{\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}

Protože a musí být kladné, požadovaná ortogonalita těchto dvou vektorů odpovídá požadavku, aby jejich Hadamardův produkt byl nulový: X{\ displaystyle x}MX+q{\ displaystyle Mx + q}

X⋅(MX+q)=0.{\ displaystyle x \ cdot (Mx + q) = 0.}

Bod kontrolující tuto rovnost se říká, že se pro problém doplňuje (říká se také, že se jedná o uzel , viz níže ). Kromě toho bod ověření a je řekl, aby byl přípustný pro problém . Problém je tedy najít vhodný uzel . X{\ displaystyle x}CL(M,q){\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q)}X{\ displaystyle x}X⩾0{\ displaystyle x \ geqslant 0}MX+q⩾0{\ displaystyle Mx + q \ geqslant 0}CL(M,q){\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q)}CL(M,q){\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q)}

Uzel

Doplňkový bod se také nazývá uzel . Když je to zvrhlík , můžeme definovat uzel tím, že sami sadu indexů a výpočtem jedinečné řešení z M{\ displaystyle M}Já⊂[1:ne]: ={1,...,ne}{\ displaystyle I \ podmnožina [1 \, {:} \, n]: = \ {1, \ ldots, n \}}X{\ displaystyle x}

XJávs.=0a(MX+q)Já=0,{\ displaystyle x_ {I ^ {c}} = 0 \ qquad {\ mbox {a}} \ qquad (Mx + q) _ {I} = 0,}

kde označuje doplněk v . Tento uzel je zaznamenán Jávs.{\ displaystyle I ^ {c}}Já{\ displaystyle I}[1:ne]{\ displaystyle [1 \, {:} \, n]}

X(Já).{\ displaystyle x ^ {(I)}.}

Jelikož existují sady indexů , existují nejvýraznější uzly, dvě sady indexů mohou skutečně vést ke stejnému uzlu (například existuje jediný uzel if, a pouze pokud, ). 2ne{\ displaystyle 2 ^ {n}}Já⊂[1:ne]{\ displaystyle I \ podmnožina [1 \, {:} \, n]}2ne{\ displaystyle 2 ^ {n}}q=0{\ displaystyle q = 0}

Newton-minův algoritmus

Algoritmus spočívá v řešení pomocí nehladkých Newtonových iterací aplikovaných na následující ekvivalentní rovnici formulovanou pomocí min. Funkce C  : CL(M,q){\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q)}

Fmin(X)≡min(X,MX+q)=0.{\ displaystyle F _ {\ min} (x) \ ekviv \ min (x, Mx + q) = 0,}

Newton-minův algoritmus vyžaduje, aby nebyl nedegenerovaný . M{\ displaystyle M}

Newton-minův algoritmus  -  Dáme si počáteční bod / iteraci a toleranční práh . Newton-minův algoritmus definuje řadu iterací , které jsou uzly , dokud není splněn stop test. Prochází z uzlu pomocí následujících kroků. X0∈Rne{\ displaystyle x ^ {0} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}ε⩾0{\ displaystyle \ varepsilon \ geqslant 0}X1,X2,...∈Rne{\ displaystyle x ^ {1}, x ^ {2}, \ ldots \ in \ mathbb {R} ^ {n}}Xk{\ displaystyle x ^ {k}}Xk+1{\ displaystyle x ^ {k + 1}}

1. Stop test  : ano , stop.‖min(Xk,MXk+q)‖⩽ε{\ displaystyle \ | \ min (x ^ {k}, Mx ^ {k} + q) \ | \ leqslant \ varepsilon}
2. Výběr indexů  : volíme jakoJák{\ displaystyle I_ {k}}
   {i∈[1:ne]:Xik>(MXk+q)i}⊆Ják⊆{i∈[1:ne]:Xik⩾(MXk+q)i}.{\ displaystyle \ {i \ v [1 \, {:} \, n]: x_ {i} ^ {k}> (Mx ^ {k} + q) _ {i} \} \ subseteq I_ {k} \ subseteq \ {i \ in [1 \, {:} \, n]: x_ {i} ^ {k} \ geqslant (Mx ^ {k} + q) _ {i} \}.}
   
   
3. New iterated  : .Xk+1=X(Ják){\ displaystyle x ^ {k + 1} = x ^ {(I_ {k})}}

V praxi musíte vzít  ; nulová hodnota této tolerance je připuštěna pouze pro zjednodušení vyjádření výsledků konvergence níže. Jde tedy o metodu polohladkého Newtona, ve které je lineární systém, který má být řešen při každé iteraci, představován pomocí pseudo-jakobiána en . Často vylučujeme z indexů, pro které , abychom minimalizovali pořadí lineárního systému, který má být vyřešen v kroku 3 každé iterace. ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}Fmin{\ displaystyle F _ {\ min}}X{\ displaystyle x}Ják{\ displaystyle I_ {k}}i{\ displaystyle i}Xik=(MXk+q)i{\ displaystyle x_ {i} ^ {k} = (Mx ^ {k} + q) _ {i}}|Ják|{\ displaystyle | I_ {k} |}

První stopy tohoto algoritmu lze nalézt v Chandrasekaran (1970), ale zdá se, že to byl Aganagić (1984), kdo jej jasně představil a studoval, navíc v poněkud obecnější formě, než je zde prezentována. Poté jej znovuobjevili a zobecnili na kvadratické optimální problémy s řízením Bergounioux, Ito a Kunisch (1999).

Vlastnosti algoritmu

Konvergence

Zde jsou některé známé výsledky konvergence pro tento algoritmus podle třídy matic, ke které patří (předpokládáme níže ). M{\ displaystyle M}ε=0{\ displaystyle \ varepsilon = 0}

• Pokud je nedegenerovaný a má řešení, algoritmus konverguje lokálně, v konečném počtu kroků.M{\ displaystyle M}CL(M,q){\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q)}
• Pokud je -matice , místní konvergence je superlineární a globální konvergence je zajištěna, pokud nebo , ale ne nutně pro (existují protiklady).M{\ displaystyle M}P{\ displaystyle \ mathbf {P}}ne=1{\ displaystyle n = 1}ne=2{\ displaystyle n = 2}ne⩾3{\ displaystyle n \ geqslant 3}
• Pokud je dostatečně blízko k -matice , algoritmus konverguje globálně s rostoucí.M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle \ mathbf {M}}{∑iXik}{\ displaystyle \ {\ textstyle \ součet _ {i} x_ {i} ^ {k} \}}
• Pokud je -matice , algoritmus konverguje globálně , s rostoucí od druhé iterace (pro pořadí indukované ) a ve většině iterací.M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle \ mathbf {M}}{Xk}{\ displaystyle \ {x ^ {k} \}}Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}⩽{\ displaystyle \ leqslant}ne{\ displaystyle n}

Složitost

Jediným známým výsledkem se zdá být výsledek již zmíněného Kanzowa (2004).

• Pokud je -matice , Newton- minův algoritmus konverguje ve většině iterací bez ohledu na vektor a počáteční bod.M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle \ mathbf {M}}ne{\ displaystyle n}q{\ displaystyle q}

Jiný majetek

Algoritmus byl také použit k charakterizaci -matice  : matice je -matice tehdy a jen tehdy, když, jakkoli , Newton- minův algoritmus necykluje o 2 body, když se používá k řešení . P{\ displaystyle \ mathbf {P}}M{\ displaystyle M}P{\ displaystyle \ mathbf {P}}q{\ displaystyle q}CL(M,q){\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q)}

Dodatky

Poznámky

1. (en) L. Qi, J. Sun (1993). Nehladká verze Newtonovy metody. Mathematical Programming , 58, 353–367.
2. (in) R. Chandrasekaran (1970). Zvláštní případ doplňkového problému otáčení. Opsearch , 7, 263–268.
3. (in) Mr. Aganagić (1980). Newtonova metoda pro problémy lineární komplementarity. Mathematical Programming , 28, 349–362 (1984).
4. (in) Mr. Bergounioux, K. Ito, K. Kunisch (1999). Primální-duální strategie pro omezené optimální problémy s řízením. SIAM Journal on Control and Optimization , 37, 1176–1194.
5. (in) A. Fischer, C. Kanzow (1996). Konečné ukončení iterační metody pro problémy lineární komplementarity. Mathematical Programming , 74, 279–292.
6. (en) M. Hintermuüller, K. Ito, K. Kunisch (2003). Strategie aktivní-duální aktivní množiny jako polohladká Newtonova metoda. SIAM Journal on Optimization , 13, 865–888.
7. (in) I. Ben Gharbia, J.Ch. Gilbert (2012). Nekonvergence prostého Newton-minova algoritmu pro problémy lineární komplementarity s P-maticí. Mathematical Programming , 134, 349-364. doi Zentralblatt  MATH odkaz 
8. (in) Ch. Kanzow (2004). Nepřesné semismooth Newtonovy metody pro rozsáhlé problémy s komplementaritou. Optimalizační metody a software , 19, 309–325.
9. (in) I. Ben Gharbia, J.Ch. Gilbert (2012). Algoritmická charakterizace -matricity. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 34, 904-916. Zpráva o výzkumu INRIA RR-8004 doiP{\ displaystyle \ mathbf {P}}

Související články

• Polohladký Newtonův algoritmus
• Lineární komplementarita
• P-matice (viz část Lineární komplementarita )

Obecné práce

• (en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Problém lineární komplementarity . Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">