M-matice

V matematiky , An M-matrice je skutečný čtvercová matice , která je jak P- matrice a Z- matrici, což znamená, že všechny jeho hlavní mladistvých jsou striktně pozitivním a jeho další diagonální prvky jsou negativní. Lze použít i jiné charakterizace, z nichž některé jsou uvedeny níže.

Tyto matice zasahují do studia problémů lineární komplementarity a do určitých diskretizací diferenciálních operátorů, zejména těch, kteří dodržují princip maxima, jako je Laplacian.

Zdá se, že tuto třídu matic zavedl Alexander Ostrowski s odkazem na Hermanna Minkowského .

Definice

Pojem M- matice lze definovat různými způsoby, samozřejmě ekvivalentními. Pojmy Z -matice , P -matice a S -matice jsou použity níže .

M- matice - Říkáme, žeskutečná čtvercová matice je M- matice, pokud se jedná o Z- matici a pokud platí jedna z následujících ekvivalentních vlastností, ekvivalentní za předpokladu, že : $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ krát n}}$ $M \ in \ mathbf {Z}$

${\ displaystyle M \ in \ mathbf {P}}$ ,
${\ displaystyle M \ in \ mathbf {S}}$ ,
$M$ je invertibilní a (všechny jeho inverzní prvky jsou kladné), ${\ displaystyle M ^ {- 1} \ geqslant 0}$
všechna vlastní čísla mají přísně pozitivní skutečnou část. $M$

Označíme M množinu M- matic libovolného řádu. Volané M -matricité vlastnost matice patřit k M .

Vlastnosti

Lineární algebra

K LU faktory z webových M -matrix existují a lze vypočítat stabilním způsobem, bez otáčení. Tato vlastnost platí také pro neúplnou faktorizaci LU.

Lineární komplementarita

Problém lineární komplementarity spočívá v nalezení vektoru takového, že a V této definici je transponování a nerovnosti je třeba chápat po jednotlivých komponentách. Tento problém je někdy kompaktně zaznamenán následovně ${\ displaystyle x \ geqslant 0,}$ $Mx + q \ geqslant 0$ ${\ displaystyle x ^ {\! \ nahoru \!} (Mx + q) = 0.}$ ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ krát n},}$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle x ^ {\! \ nahoru \!}}$ $X$

${\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q) \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}$

Je zaznamenána přípustná sada tohoto problému

$\ mbox {Adm} (M, q): = \ {x \ in \ R ^ n: x \ geqslant 0, ~ Mx + q \ geqslant 0 \}.$

Význam M- matic v problémech lineární komplementarity vychází z následujícího výsledku.

Problém M -matice a lineární komplementarity - U maticejsou ekvivalentní následující vlastnosti: $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ krát n}}$

${\ displaystyle M \ in \ mathbf {M}}$ ,
for all , contains a minimum (for the order of ) which is the unique solution of , $q$ $\ operatorname {Adm} (M, q)$ $\ leqslant$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ operatorname {CL} (M, q)$
pro všechny vektory řešení k ověření . ${\ displaystyle q ^ {1} \ leqslant q ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q ^ {i})}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {1} \ geqslant {\ bar {x}} ^ {2}}$

Dodatky

Poznámky

(in) Pages 134, 161 (věta o hodnocení 2.3 a 6.1 kapitoly 6) v Bermon and Plemmons (1994).

Související články

Bibliografie

(en) A. Bermon, RJ Plemmons (1994). Nezáporné matice v matematických vědách . Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, Philadelphia, USA. ( ISBN 0898713218 ) .
(en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Problém lineární komplementarity . Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
(en) RA Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Témata maticové analýzy . Cambridge University Press, New York, NY, USA.