Améba (matematika)

V matematice , a zejména v komplexní analýze , je améba geometrický útvar spojený s polynomem s několika složitými proměnnými . Améby mají aplikace v algebraické geometrii , zejména v tropické geometrii .

Definice

Nechte funkci

{\ displaystyle \ mathrm {Log}: \ left ({\ mathbb {C}} \ zpětné lomítko \ {0 \} \ right) ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}

definováno na množině všech n -tic nenulových komplexních čísel a s hodnotami v euklidovském prostoru vzorcem ${\ displaystyle z = (z_ {1}, z_ {2}, \ tečky, z_ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$

{\ displaystyle \ mathrm {Log} (z_ {1}, z_ {2}, \ tečky, z_ {n}) = (\ ln | z_ {1} |, \ ln | z_ {2} |, \ tečky, \ ln | z_ {n} |). \,}

(kde ln označuje přirozený logaritmus ). Pokud je p ( z ) polynom v komplexních proměnných, jeho améba je definována jako obraz množiny nul v p pomocí funkce Log, to znamená, že: $ne$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {p}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {p} = \ left \ {\ mathrm {Log} (z) \ ,: \, z \ in \ left ({\ mathbb {C}} \ zpětné lomítko \ {0 \} \ vpravo) ^ {n}, p (z) = 0 \ vpravo \}. \,}

Améby byly definovány v roce 1994 v knize Israel Gelfand , AV Kapranov a Andrei Zelevinsky (in) .

Vlastnosti

Každá améba je uzavřený celek ;
Každý připojený komponent na komplementu je konvexní ; ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ zpětné lomítko {\ mathcal {A}} _ {p}}$
Oblast améby polynomu se dvěma proměnnými je konečná;
Améba v dimenzi 2 má nekonečně dlouhá „chapadla“, přibližující se exponenciálně rychle k asymptotickým liniím .

Ronkinova funkce

Funkce Ronkin , spojené s polynomem p ( z = ( z 1 , ..., z n )), (v n komplexní proměnné), jde z k , a je definován $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle N_ {p} (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {n}}} \ int _ {\ mathrm {Log} ^ {- 1} (x)} \ ln | p (z) | \, {\ frac {dz_ {1}} {z_ {1}}} \ klín {\ frac {dz_ {2}} {z_ {2}}} \ klín \ cdots \ klín {\ frac {dz_ {n}} {z_ {n}}},}

kde je vektor , který je ekvivalentní s $X$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$

{\ displaystyle N_ {p} (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int _ {[0,2 \ pi] ^ {n}} \ ln | p ( z) | \, d \ theta _ {1} \, d \ theta _ {2} \ cdots d \ theta _ {n},}

kde . ${\ displaystyle z = \ left (e ^ {x_ {1} + i \ theta _ {1}}, e ^ {x_ {2} + i \ theta _ {2}}, \ dots, e ^ {x_ { n} + i \ theta _ {n}} \ vpravo)}$

Ronkinova funkce je konvexní a zdokonaluje se nad každou spojenou složkou doplňku améby . $p (z)$

Například, funkce Ronkin z monomial , s , je ${\ displaystyle p (z) = az_ {1} ^ {k_ {1}} z_ {2} ^ {k_ {2}} \ tečky z_ {n} ^ {k_ {n}}}$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$

{\ displaystyle N_ {p} (x) = \ log | a | + k_ {1} x_ {1} + k_ {2} x_ {2} + \ cdots + k_ {n} x_ {n}. \,}

Kostra améby

Pokud nahradíme v definici funkce Log přirozený logaritmus logaritmem na základně b a dáme b tendenci k nekonečnu, dokážeme, že améba se smršťuje směrem k množině nul přidružené funkce k p, zatímco zůstává v R n a nahrazení polynomu jeho tropickým analogem , pro který jsou součty monomiálů nahrazeny maximem výrazů formy (tyto výrazy jsou Ronkinovy funkce monomiálů polynomu). Výsledkem je, že tato sada, nazývaná kostra améby, je tvořena přímými částmi. ${\ displaystyle ax ^ {m} y ^ {n}}$ ${\ displaystyle b + mx + ny}$

Reference

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Améba (matematika) “ ( viz seznam autorů ) .

(in) IM Gelfand , MM Kapranov a AV Zelevinsky , diskriminující VÝSLEDKY a multidimenzionální determinanty , Boston, MA, Birkhauser, 1994, 523 s. ( ISBN 0-8176-3660-9 ).
Itenberg 2007 , s. 3
(in) Martin Guest , UK-Japan 2004 zimní škola Geometrie a analýza Směrem ke kvantové teorii. Přednášky ze školy, University of Durham, Durham, UK, 6. – 9. Ledna 2004 , roč. 30, Jokohama, Keio University, Katedra matematiky,2004, 24–36 s. „Améby složitých křivek a tropických křivek“.
Chambert-Loir 2018

Podívejte se také

Související články

Tropická matematika

Bibliografie

(en) Ilia Itenberg, Grigory Mikhalkin a Eugenii Shustin , Tropická algebraická geometrie , sv. 35, Basilej, Birkhäuser,2007, 103 s. ( ISBN 978-3-7643-8309-1 , číst online )
(in) Oleg Viro , „ Co je. . . Améba? ” , Oznámení Americké matematické společnosti , sv. 49, n o 8,2002, str. 916–917 ( číst online )
(en) Thorsten Theobald , „ Výpočet améb “ , Exp. Matematika. , sv. 11,2002, str. 513–526 ( DOI 10.1080 / 10586458.2002.10504703 , číst online ).
Antoine Chambert-Loir , „ Když geometrie stane tropický “, Pour la vědu , n o 492,října 2018, str. 26-33

externí odkazy

Tropická práva , na stránkách Obrazy matematiky .