Přirozený logaritmus

Funkce přirozeného logaritmu Křivka představující funkci .

{\ displaystyle x \ mapsto \ ln x}

Hodnocení	$\ ln$
Reciproční	${\ displaystyle \ exp}$
Derivát	${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}}$
Primitiv	${\ displaystyle x \ mapsto x \ ln x-x + C}$

Hlavní charakteristiky

Sada definic	$\ R _ + ^ *$
Sada obrázků	$\ mathbb {R}$

Speciální hodnoty

Limit v + ∞	+ ∞

Zvláštnosti

Asymptoty	$x = 0$
Nuly	1

Přirozený logaritmus a přirozený logaritmus , nebo hyperbolickou logaritmus na XX th století, převáděl, stejně jako ostatní logaritmické funkce , se hodí produkty. Použití těchto funkcí umožňuje usnadnit výpočty zahrnující četné násobení, dělení a povýšení na racionální mocnosti. Často se označuje $ln ()$ .

Přirozený nebo přirozený logaritmus má základ $e,$ protože $ln (e) = 1$ .

Přirozený logaritmus čísla x lze také definovat jako sílu, na kterou musíme zvýšit $e,$ abychom získali x . Funkce přirozený logaritmus je tedy reciproční bijection v exponenciální funkce . Je to také primitivní funkce definovaná na přísně pozitivních realích, která mizí při 1 inverzní funkci $x \mapsto 1 / X$ .

Tato funkce byla zaznamenána $l.$ nebo na počátku XVIII -tého století do první poloviny XIX th století, pak se přihlásit. nebo se přihlásit na konci XVIII -tého století, pak se přihlásit rozlišovat log funkce (logaritmus jakékoliv báze, nebo konkrétněji logaritmu ) nebo logh ( „hyperbolické logaritmu“), a to před snaží vnutit notaci doporučené AFNOR 1961 a normy ISO 80000-2: notace ln . S velmi relativním úspěchem však: zápis protokolu se dodnes používá v několika oborech matematiky, zejména v teorii čísel, stejně jako v několika programovacích jazycích, jako jsou C , C ++ , SAS , R , MATLAB , Mathematica , Fortran a ZÁKLADNÍ .

Historický

Tento logaritmus se nazývá neperský, jako pocta skotskému matematikovi Johnu Napierovi, který vytvořil první logaritmické tabulky (které ve skutečnosti nejsou tabulkami přirozených logaritmů). Jsme obecně datují vznik přirozených logaritmů v roce 1647, kdy Gregory of Saint-Vincent pracuje na kvadratura části hyperboly a ukazuje, že funkce získané ověřuje vlastnost aditivity z logaritmu funkce . Svatý Vincenc však nevidí žádnou souvislost s Napierovými logaritmy a v roce 1649 to vysvětlí jeho žák Alphonse Antoine de Sarasa . Přirozený logaritmus byl nejprve nazván „hyperbolický logaritmus“, v odkazu na oblast pod hyperbolou, kterou představuje. Jméno „přirozený logaritmus“, díky Pietrovi Mengolimu v roce 1659, je převzato v roce 1668 v poznámce Nicolause Mercatora k sérii, která nese jeho jméno. Tato řada, kterou Newton použil v roce 1671, umožňuje jednoduše vypočítat hodnoty logaritmu Gregora Svatého Vincenta. Výpočet ostatních logaritmů se poté jeví jako velmi komplikovaný a přirozeně se logaritmus Gregoryho ze Saint-Vincent stává nejpřirozenějším logaritmem .

Přirozený logaritmus funguje jako primitivní funkce inverzní funkce

Funkce $x \mapsto 1 / X$ je spojitý nad $] 0, + \infty [$ . Proto připouští primitiva, z nichž pouze jeden ruší v 1. Tento primitiv se nazývá přirozený logaritmus, a proto je definován:

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ ln x = \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {1} {t}} ~ \ mathrm {d} t.}

Studium funkce

Funkce přirozeného logaritmu je definována a diferencovatelná (tedy spojitá) na $] 0, + \infty [$ a pro jakékoli striktně pozitivní reálné $x$ , $\ ln'x = \ frac1x.$
Protože je tento derivát přísně pozitivní, přirozený logaritmus se přísně zvyšuje .
Protože tento derivát přísně klesá, přirozený logaritmus je přísně konkávní .
Limity funkce na hranici jejího definičního intervalu jsou: $\ lim \ limits_ {x \ to 0 ^ +} \ ln (x) = - \ infty \ qquad \ text {et} \ qquad \ lim \ limits_ {x \ to + \ infty} \ ln (x) = + \ kojenec$ Jedná se tedy o bijekci od $] 0, + \infty [$ dne ℝ.
Jeho číslo odvozené v bodě $1$ (který dává sklon na tangenty ke grafu v bodě souřadnic $(1, 0)$ ) je: $\ lim \ limits_ {h \ to 0} \ frac {\ ln (1 + h)} h = 1.$

Přirozená logaritmická funkce jako logaritmická funkce

Přirozený logaritmus splňuje stejnou funkční rovnici jako kterákoli logaritmická funkce , a to: pro všechna reálná $x$ a $y$ přísně pozitivní,

\ ln (xy) = \ ln (x) + \ ln (y).

Ve skutečnosti pro $y > 0$ fixed má funkce $x \mapsto ln ( xy )$ (definovaná na $] 0, + \infty [$ ) stejnou derivaci jako přirozený logaritmus, proto se liší od skutečné konstanty $k$ : $ln ( xy ) = ln ( x ) + k$ , s $k = ln ( y ),$ protože $ln (1 y ) = ln (1) + k = k$ .

Z této algebraické vlastnosti odvodíme pro všechny přísně pozitivní reálné $a$ a $b následující$ :

$\ ln \ left (\ frac ab \ right) = \ ln (a) - \ ln (b)$
${\ displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {Q} \ quad \ ln (a ^ {r}) = r \ ln (a).}$

Skutečnost, že všechny logaritmu funkce jsou úměrné k sobě umožňuje získat z jakéhokoliv striktně pozitivním skutečném $A$ je základna logaritmus jako funkce přirozeného logaritmu:

\ log_a (x) = \ frac {\ ln (x)} {\ ln (a)}.

Přirozený logaritmus funguje jako převrácená hodnota exponenciální funkce

Studium přirozeného logaritmu funkce se ukázalo, že se jedná o bijection z $] 0, + \infty [$ do ℝ. Jeho vzájemná bijekce , od ℝ do $] 0, + \infty [$ , se shoduje s exponenciální funkcí , protože je to její vlastní derivace a bere hodnotu 1 na 0. To poskytuje možnou definici exponenciální funkce z logaritmu. Naopak bychom mohli definovat logaritmus jako reciproční bijekci exponenciálu a poté ověřit jeho charakterizaci výše .

Demonstrace

Nechť $f :] 0, + \infty [\to ℝ$ a $g : ℝ \to] 0, + \infty [$ dvě bijekce, vzájemné. Samozřejmě máme: $f (1) = 0 právě$ tehdy, když $g (0) = 1$ . Ukažme si díky teorému o derivaci reciproční bijekce , že $f$ je primitivní funkce $x \mapsto 1 / X$ právě když $g$ je jeho vlastní derivát.

Pokud $f$ je diferencovatelné a pokud pro nějaké skutečné $x > 0$ , $f ' ( x ) = 1 / X$ , pak $g$ je diferencovatelné a

{\ displaystyle \ forall y \ in \ mathbb {R} \ qquad g '(y) = {\ frac {1} {f' (g (y))}} = g (y).}

Naopak, pokud $g$ je diferencovatelné a pokud pro jakékoli skutečné $y$ , $g ' ( y ) = g ( y )$ , pak $f$ je diferencovatelné a

{\ displaystyle \ forall x \ in] 0, + \ infty [\ qquad f '(x) = {\ frac {1} {g' (f (x))}}} = {\ frac {1} {g ( f (x))}} = {\ frac {1} {x}}.}

Jinými slovy :

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {\ star} \ quad {\ rm {e}} ^ {\ ln (x)} = x \ qquad {\ text {and}} \ qquad \ forall y \ in \ mathbb {R} \ quad \ ln ({\ rm {e}} ^ {y}) = y,}

které lze shrnout do:

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, ~ \ forall y \ in \ mathbb {R} \ quad y = \ ln x \ Leftrightarrow x = {\ rm {e} } ^ {y}}

a umožňuje řešit rovnice, ve kterých se neznámé jeví jako exponent.

Tento vztah umožňuje vyjádřit všem ostatním základní exponenciální funkce je ryze kladné skutečný $A$ od (pro všechny skutečné $x$ ):

{\ displaystyle a ^ {x} = {\ rm {e}} ^ {x \ ln (a)}.}

Tato definice samozřejmě shoduje s tím $v r$ pro racionální $r$ .

Sériový vývoj

Bylo Nicolaus Mercator , který jako první navrhnout vývoj celé číslo o $ln (1 + x )$ ; poloměr konvergence tohoto vývoje je $1$ . Proto máme řadu Taylor :

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ forall x \ in \ left] -1,1 \ right [\ quad \ ln (1 + x) & = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {(-x) ^ {n}} {n}} \\ & = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3} } - \ cdots \\ & = x \ left ({\ frac {1} {1}} - x \ left ({\ frac {1} {2}} - x \ left ({\ frac {1} {3 }} - x \ left ({\ frac {1} {4}} - x \ left ({\ frac {1} {5}} - \ cdots \ right) \ right) \ right) \ right) \ right) . \ end {zarovnáno}}}

(Viz také Hypergeometrická funkce # Zvláštní případy .)

Podle Taylorova vzorce se zbytkovým integrálem nebo Ábelovy věty o radiální konvergenci je tato expanze stále platná pro $x = 1$ . Získáme tak součet střídavé harmonické řady .

Na druhou stranu si povšimněte, že Leonhard Euler odvážně použil tuto expanzi na $x = -1$ . Bez obav o konvergenci ukazuje, že harmonická řada je přirozeným logaritmem $1 / 1 - 1$ , to znamená nekonečno. Dnes formalizujeme tuto Eulerovu poznámku: „harmonická řada zkrácená v N se blíží logaritmu N, když je N velká“ .

Abychom dosáhli lepší rychlosti konvergence , lze z ní odvodit:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ forall x \ in \ left] -1,1 \ right [\ quad \ ln \ left ({\ frac {1 + x} {1-x}} \ right) & = 2x \ vlevo ({\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {3}} x ^ {2} + {\ frac {1} {5}} x ^ {4} + {\ frac {1} {7}} x ^ {6} + {\ frac {1} {9}} x ^ {8} + \ cdots \ right) \\ & = 2x \ left ({\ frac {1} {1 }} + x ^ {2} \ left ({\ frac {1} {3}} + x ^ {2} \ left ({\ frac {1} {5}} + x ^ {2} \ left ({ \ frac {1} {7}} + x ^ {2} \ left ({\ frac {1} {9}} + \ cdots \ right) \ right) \ right) \ right) \ right), \ end { zarovnaný}}}

který je přepsán:

{\ displaystyle \ forall y \ in \ left] 0, + \ infty \ right [\ quad \ ln (y) = 2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2k + 1}} \ left ({\ frac {y-1} {y + 1}} \ right) ^ {2k + 1}.}

Doplňkové vlastnosti

Studium limitů

Následující limity umožňují určit srovnávací růst přirozeného logaritmu a jakékoli mocenské funkce :

{\ displaystyle \ mathrm {pro ~ všechny ~ r {\ akutní {e}} el ~} \ alfa> 0, \ qquad \ lim \ limity _ {x \ až 0 ^ {+}} x ^ {\ alpha} \ ln (x) = 0 \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ lim \ limits _ {x \ to + \ infty} {\ frac {\ ln (x)} {x ^ {\ alpha}}} = 0.}

Logaritmická derivace

Pro jakoukoli skutečnou diferencovatelnou funkci $u$ je složená funkce $ln\circ | u |$ (definovaný v kterémkoli bodě, kde $u$ nezmizí) je derivovatelný, derivátový

\ left (\ ln \ circ | u | \ right) '= \ frac {u'} u.

Tato derivace se nazývá logaritmická derivace funkce $u$ . Představuje relativní okamžitou změnu. Je proto užitečným měřítkem jak v ekonomice, tak při výpočtu chyb. Umožňuje také jednodušší výpočet derivace funkcí daných ve formě produktů, kvocientů nebo mocnin.

Primitivní

Aplikováním vzorce integrace po částech na produkt funkcí a získáme: $\ ln$ ${\ displaystyle x \ mapsto 1}$

{\ displaystyle \ forall x> 0 \ quad \ int _ {1} ^ {x} \ ln {(t)} \ \ mathrm {d} t = x \ ln {(x)} - x + 1}

Podle základní věty o analýze jsou tedy primitiva funkce funkcí formy ${\ displaystyle \ ln}$

{\ displaystyle x \ mapsto x \ ln {(x)} - x + k, \ quad k \ in \ mathbb {R}}

nejjednodušší je funkce . ${\ displaystyle x \ mapsto x \ ln {(x)} - x}$

Funkce přirozeného logaritmu jako funkce komplexní proměnné

Otázka, zda je možné rozšířit přirozený logaritmus (to znamená, že ji nastavit na větší soubor, který $] 0, + \infty [$ ) vznikl ve druhé polovině XVII -tého století s pořadovým vývoji funkcí. Problém je v tom, že na ℂ * neexistuje jednoznačná spojitá funkce, která má algebraickou vlastnost logaritmických funkcí a shoduje se na $] 0, + \infty [$ se skutečnou přirozenou logaritmickou funkcí.

Můžeme však definovat logaritmus záporného čísla nastavením pro jakýkoli striktně pozitivní reálný $a$ , $ln (- a ) = ln ( a ) + iπ$ , ale takto definovaná funkce nemá algebraické vlastnosti logaritmické funkce skutečné přirozené . Můžeme se s ním setkat při práci s kalkulačkou zabývající se komplexními čísly: pokud studujeme funkci $x \mapsto | ln ( x ) |$ , bude muset kalkulačka definovat tuto funkci na ℝ * interpretací absolutní hodnoty jako modulu:

\ left | \ ln (-a) \ right | = \ sqrt {\ ln ^ 2 (a) + \ pi ^ 2}

Pro

je

striktně pozitivní reálné.

Poznámky a odkazy

Viz například (la) Leonhard Euler , „ Variae observeses circa series in ﬁ nitas “ , Commentarii academiae scientarum Petropolitanae , sv. 9,1737, str. 160-188 ; také v opeře Omnia , Series Prima, Opera Mathematica, Volumen Quartum Decimum, Teubner, 1925.
Viz například Augustin Cauchy , Cvičení analýzy a matematické fyziky , sv. 3, s. 379, číst online v Knihách Google .
Viz například Adrien-Marie Legendre , Esej o teorii čísel , Paříž, Duprat, ročník VI (1797 nebo 1798).
Viz například (z) Edmund Landau , Handbuch der Lehre von der der Verteilung Primzahlen , Berlín, 1909 ( 2 e ed. Chelsea, New York, 1953).
Viz učebnice ve Francii až do roku 1972. Nebo například: Nikolai Piskunov , matematické analýzy, 5 th Ed, 1972. Vydání Mir , Moskva III.10 str. 91 .
Například viz (v) LBW Jolley, Summation of Series , 2 e (revidované) vydání, Dover Publications , New York, 1961 číst online .
NF X 02-1 01 podle numerických tabulek J. Laborde, str. VI, 1976.
ISO 80000-2: 2009 , Mezinárodní organizace pro normalizaci .
Například viz tato poznámka (v) GH Hardy a EM Wright , Úvod do teorie čísel ( 1 st ed. 1938) [ Maloobchodní Edition ]( 6 th ed., Oxford, 2008, 1,7) " log x je, samozřejmě 'Napierian' logaritmu x k základu e. „Běžné“ logaritmy nemají žádný matematický zájem. "
A. Dahan-Dalmedico a J. Peiffer , Dějiny matematiky: Silnice a bludiště ,1986[ detail vydání ], str. 214.
Jean-Pierre Le Goff, „Z takzvané metody vyčerpání - Grégoire de Saint Vincent“, Matematická demonstrace v historii , IREM de Besançon.
Simone Trompler, „ Historie logaritmů “ , ULB ,2002, str. 11.
(la) Mengoli, Geometriae speciosae Elementa. Odkazy a odkazy shromážděné (ne) Jeffem Millerem „ Nejstarší známá použití některých slov matematiky - přirozený logaritmus “ .
(en) Mercator „ Some of the Logarithmotechnia Illustration “ , Philosophical Transaction , sv. 3, n o 38,1668, str. 759-764 ( číst online ).
Newtonova metoda pro výpočet přirozených logaritmů, Metoda fluxions a nekonečných sekvencí na Gallica , str. 102-105.
Trompler 2002 , str. 12.
(La) Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum , svazek 1, Bousquet, Lausanne, 1748, příklad 1, s. 228 ; také v Opera Omnia , Series Prima, Opera Mathematica, roč. 8, Teubner, 1922.

Podívejte se také

Související články

Příklad aplikace Gelfond-Schneiderovy věty : ln (3) / ln (2) je transcendentní
Přirozený logaritmus 2 ( palce )
Binární logaritmus
Diskrétní logaritmus
Integrální logaritmus
Lambertova funkce W.

externí odkazy

„Kladení modelování jako epistemologická otázka pro zavedení vlastností exponenciálu ve třídách“, konference Jean Dhombres : části 1 , 2 a 3