Vstupně-výstupní analýza

Analýza vstupů a výstupů nebo analýza IO je ekonomické modelování využívající tabulku vstupů a výstupů (IO) k předpovědi vlivu změn specifických pro dané odvětví nebo změn spotřeby ve zbytku ekonomiky . Poskytuje koherentní zastoupení národní produkce.

Tabulka Input-Output byl navržen francouzským François Quesnay v XVIII -tého století v jeho hospodářském tabulce (1759). Analýzu poté vypracoval zejména Wassily Leontief , který za svou práci v roce 1973 obdržel Nobelovu cenu za ekonomii .

Model

Analýza vstupu-výstupu (nebo vstupu-výstupu ) je mezinárodně známá jako analýza vstupu-výstupu . Historicky první praktickou aplikaci modelu vytvořil Maurice Potron , francouzský jezuita a polytechnik , již v roce 1912. Tato díla jsou však zapomenuta. Tato myšlenka bude převzata a šířena s větším úspěchem Leontiefem v (1941). Jeho model vstupů a výstupů výslovně zohledňuje obecnou vzájemnou závislost všech hospodářských odvětví. Díky poměrně silným předpokladům se Leontiefu podařilo získat model, který spojuje mezilehlou a finální produkci různého zboží.

Nejprve se model vstupů a výstupů zabývá pouze výrobou různého zboží. Proto se lze omezit na technologické aspekty a zkoumat tak vzájemnou závislost různých průmyslových odvětví.

Průmyslové odvětví často používá vstupy produkované jinými průmyslovými odvětvími. Na druhé straně může výstup tohoto odvětví sloužit jako vstup pro další ekonomická odvětví.

Vezměme si případ oceli, která se používá k výrobě nákladních vozidel. Některé z těchto nákladních vozidel jsou určeny pro ocelárny pro přepravu surovin a produktů. Pokud se má například zdvojnásobit výroba vojenských nákladních vozidel, musí se výroba nákladních vozidel a oceli zvýšit ve větší míře než množství použité na výrobu vojenských nákladních vozidel. Ve skutečnosti bude pro ocelárny zapotřebí více nákladních vozidel, což musí zvýšit jejich výrobu.

Jak ukazuje tento příklad, model vstupů a výstupů lze použít pro ekonomické plánování nebo pro analýzu účinků velké změny ve spotřebě nebo výrobě zboží. Studie ekonomických důsledků odzbrojení nebo vyčerpání suroviny jsou často založeny na modelu vstup-výstup.

Na druhou stranu, pokud chceme analyzovat dopady na ceny, je lepší provést numerické simulace pomocí obecného modelu rovnováhy, který vypočítá ceny vedoucí k rovnosti mezi nabídkou a poptávkou.

Model vstupu a výstupu se domnívá, že každé ekonomické odvětví používá jediný proces k výrobě jednoho výstupu (žádná společná výroba). Návraty do měřítka se považují za konstantní a pak máme speciální případ lineární produkční funkce. Často mluvíme o produkční funkci Leontiefu, abychom označili tento případ jediného procesu (žádné nahrazování mezi vstupy).

Velmi jednoduchý příklad, který uvedl Leontief (1966), nám umožní ilustrovat, jak konstruujeme tabulku vstupů a výstupů.

Příklad

Ekonomika má dvě ekonomická odvětví: zemědělství a průmysl. Zemědělský sektor produkuje 100 milionů bušlů pšenice, z toho 25 pro sebe, 20 pro průmyslové odvětví a 55 pro domácí spotřebu. Průmyslový sektor vyrábí 50 milionů metrů čtverečních látky, z toho 6 pro sebe, 14 pro zemědělství a 30 pro spotřebu domácností. Tyto různé hodnoty lze dát ve formě pole, které se nazývá vstupní-výstupní pole:

Tabulka vstupů a výstupů

Ekonomická odvětví (od --- \ do →)	Zemědělství	Průmysl	Závěrečná žádost	Celková produkce
Zemědělství	25	20	55	100
Průmysl	14	6	30	50
Práce	80	180	-	260

Řádky tabulky ukazují rozdělení produkce mezi různé sektory. Sloupce udávají vstupy sektorů. Třetí řádek ukazuje rozdělení práce (v milionech hodin). Tento vstup není výstupem žádného sektoru. Říká se, že je to primární vstup.

Vzhledem k předpokladu konstantního návratu k měřítku lze vypočítat množství vstupu potřebné pro jednu jednotku výstupu. Postačí vydělit vstupy odvětví celkovou produkcí. Získáváme:

Technické koeficienty

Ekonomická odvětví	Zemědělství	Průmysl
Zemědělství	0,25 (25/100)	0,40 (20/50)
Průmysl	0,14 (14/100)	0,12 (6/50)
Práce	0,80 (80/100)	3,60 (180/50)

Tyto poměry se nazývají technické produkční koeficienty.

Můžeme vyjádřit výstup každého sektoru pomocí následujícího systému rovnic:

{\ displaystyle \ quad {\ begin {cases} q_ {1} = 0,25q_ {1} + 0,40q_ {2} + y_ {1} \\ q_ {2} = 0,14q_ {1} + 0,12q_ {2} + y_ {2} \ end {cases}}}

kde představuje výstup sektoru a je konečnou poptávkou. ${\ displaystyle q_ {i}}$ $i$ $y _ {{i}}$

Obecně máme následující systém:

{\ displaystyle \ quad {\ begin {cases} q_ {1} = a_ {11} q_ {1} + a_ {12} q_ {2} + \ dots + a_ {1n} q_ {n} + y_ {1} \\ q_ {2} = a_ {21} q_ {1} + a_ {22} q_ {2} + \ dots + a_ {2n} q_ {n} + y_ {2} \\\ dots \\ q_ {n } = a_ {n1} q_ {1} + a_ {n2} q_ {2} + \ dots + a_ {nn} q_ {n} + y_ {n} \ end {cases}}}

kde je počet sektorů a technický koeficient udává množství vstupu potřebné k výrobě jedné jednotky výstupu . Můžeme také napsat: $ne$ $a _ {{ij}}$ $i$ $j$

{\ displaystyle \ quad {\ begin {cases} (1-a_ {11}) q_ {1} -a_ {12} q_ {2} - \ dots -a_ {1n} q_ {n} = y_ {1} \ \ -a_ {21} q_ {1} + (1-a_ {22}) q_ {2} - \ dots -a_ {2n} q_ {n} = y_ {2} \\\ tečky \\ - a_ {n1 } q_ {1} -a_ {n2} q_ {2} - \ dots + (1-a_ {nn}) q_ {n} = y_ {n} \ end {cases}}}

a v maticové formě: kde je matice technických koeficientů ( ), a jsou vektory ( , ) a je jednotková matice. ${\ displaystyle {\ begin {matrix} [IA] q = y \ end {matrix}}}$ $NA$ ${\ displaystyle A = [a_ {ij}]}$ $q$ $y$ ${\ displaystyle q = [q_ {i}]}$ ${\ displaystyle y = [y_ {i}]}$ $Já$

Matice potom neobsahuje technické koeficienty primárního faktoru. Omezení tohoto faktoru bude popsáno níže. $NA$

Určujeme výkon potřebný k uspokojení dané úrovně konečné poptávky řešením tohoto systému s ohledem na : $q$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} q = [IA] ^ {- 1} y \ end {matrix}}}

za předpokladu, že to není singulární matice. ${\ displaystyle [IA]}$

Dovolit být prvky matice . Můžeme psát : $b _ {{ij}}$ ${\ displaystyle [IA] ^ {- 1}}$

{\ displaystyle \ quad {\ begin {cases} q_ {1} = b_ {11} y_ {1} + b_ {12} y_ {2} + \ dots + b_ {1n} y_ {n} \\ q_ {2 } = b_ {21} y_ {1} + b_ {22} y_ {2} + \ dots + b_ {2n} y_ {n} \\\ dots \\ q_ {n} = b_ {n1} y_ {1} + b_ {n2} y_ {2} + \ dots + b_ {nn} y_ {n} \ end {cases}}}

Protože jsou to výstupy, všechny koeficienty musí být nezáporné. Pokud je koeficient záporný, můžeme najít dostatečně vysokou hodnotu konečné spotřeby spojenou s tímto koeficientem, což vede k negativní produkci a to z ekonomického hlediska není možné. Proto musí matice splňovat speciální podmínky, které se nazývají Hawkins-Simon (1949) podmínky: ${\ displaystyle q_ {i}}$ $b _ {{ij}}$ ${\ displaystyle [IA]}$

{\ displaystyle 1-a_ {11}> 0 \ quad; \ quad {\ begin {vmatrix} 1-a_ {11} & - a_ {12} \\ - a_ {21} & 1-a_ {22} \ end {vmatrix}}> 0 \ dots {\ begin {vmatrix} 1-a_ {11} & \ dots & -a_ {1n} \\\ dots \\ - a_ {n1} & \ dots & 1-a_ {nn} \ end {vmatrix}}> 0}

Všechny tyto determinanty musí být pozitivní. Pokud tyto podmínky nejsou splněny, ekonomika není produktivní. Například by na výrobu tuny tohoto zboží přímo či nepřímo použilo více než tunu oceli.

Po určení výstupu nezbytného k získání dané konečné spotřeby je stále nutné ověřit, zda je primární vstup k dispozici v dostatečném množství. To znamená technické koeficienty primárního vstupu a dostupné množství. Poté musíme uspokojit následující nerovnost: ${\ displaystyle a_ {oj}}$ ${\ displaystyle L_ {o}}$

{\ displaystyle a_ {o1} q_ {1} + a_ {o2} q_ {2} ++ a_ {on} q_ {n} \ leq L_ {o}}

Příklad

Výše zkoumaný dvousektorový model splňuje podmínky Hawkinse a Simona, protože:

{\ displaystyle 1-0.25> 0 \ quad a \ quad {\ begin {vmatrix} 1-0.25 & -0.40 \\ - 0,14 & 1-0.12 \ end {vmatrix}} = 0,604> 0}

Matice je: ${\ displaystyle [IA] ^ {- 1}}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0,75 & -0,40 \\ - 0,14 & 0,88 \ end {pmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} 1,457 & 0,662 \\ 0,232 & 1,242 \ end {pmatrix} }}

V případě , že bylo a . ${\ displaystyle y_ {1} = 55}$ ${\ displaystyle y_ {2} = 60}$ ${\ displaystyle q_ {1} = 119,86}$ ${\ displaystyle q_ {2} = 87,28}$

Zvýšení konečné poptávky po plechech o 30 milionů metrů čtverečních vyžaduje zvýšení produkce o 37,28 milionu a také zvýšení produkce pšenice.

Když skupiny poboček nepřijímají vstupy od jiných skupin, říká se, že vstupně-výstupní systém je rozložitelný. V tomto případě permutací sloupců a řádků můžeme získat matici technických koeficientů, která má následující formu:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} \\ 0 & A_ {22} \ end {pmatrix}}}

kde a jsou čtvercové dílčí matice, ale nemusí mít nutně stejné pořadí. ${\ displaystyle A_ {11}}$ ${\ displaystyle A_ {22}}$

Pokud lze matici koeficientu transformovat na diagonální blokovou matici:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {11} & 0 \\ 0 & A_ {22} \ end {pmatrix}}}

říkáme, že systém je zcela rozložitelný.

Je zajímavé vědět, zda lze systém rozebrat, protože tak můžeme analyzovat stupeň autarkie různých hospodářských odvětví.

Role cen v modelu vstup-výstup

Z dlouhodobého hlediska a v situaci dokonalé konkurence se cena rovná jednotkovým nákladům. V tomto případě můžeme napsat:

{\ displaystyle \ quad {\ begin {cases} p_ {1} = a_ {11} p_ {1} + a_ {21} p_ {2} + \ dots + a_ {n1} p_ {n} + a_ {o1} w \\ p_ {2} = a_ {12} p_ {1} + a_ {22} p_ {2} + \ dots + a_ {n2} p_ {n} + a_ {o2} w \\\ dots \\ p_ {n} = a_ {1n} p_ {1} + a_ {2n} p_ {2} + \ dots + a_ {nn} p_ {n} + a_ {on} w \ end {cases}}}

kde jsou množství vstupu potřebná k výrobě jedné jednotky výstupu a je mzdová sazba. Pomocí transponované matice ( ) můžeme psát: ${\ displaystyle a_ {ij} \ quad (i = 1,2, \ tečky, n)}$ $j$ $w$ $NA$ ${\ displaystyle A ^ {T}}$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} [IA ^ {T}] p = v \ end {matrix}}}

kde je vektor cen a vektor přidané hodnoty ( ). ${\ displaystyle p = [p_ {j}] \ quad (j = 1,2, \ tečky, n)}$ $proti$ ${\ displaystyle v = [a_ {oj} w]}$

Cenový vektor můžeme získat řešením tohoto systému:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} p = [IA ^ {T}] ^ {- 1} v \ end {matrix}}}

Protože prvky matice jsou nezáporné hodnoty, ceny také nemohou být záporné. $b _ {{ij}}$ ${\ displaystyle [IA ^ {T}] ^ {- 1}}$

Když jsou ceny známy, můžeme namísto fyzických dat vytvořit tabulku vstupů a výstupů s hodnotovými údaji.

Příklad

Výše uvedený dvousektorový model poskytuje následující cenový systém:

{\ displaystyle \ quad {\ begin {cases} p_ {1} = 1,457v_ {1} + 0,232v_ {2} \\ p_ {2} = 0,662v_ {1} + 1,242v_ {2} \ end {případů} }}

kde a jsou prvky vektoru . Pokud je mzdová sazba 40 $ , máme a . Proto a . Hodnota vstupně-výstupní tabulky nebo tabulka mezioborových vztahů je pak následující (v milionech USD): ${\ displaystyle v_ {1}}$ ${\ displaystyle v_ {2}}$ $proti$ ${\ displaystyle v_ {1} = 32}$ ${\ displaystyle v_ {2} = 144}$ ${\ displaystyle p_ {1} = 80}$ ${\ displaystyle p_ {2} = 200}$

Tabulka mezioborových vztahů

Ekonomická odvětví (od --- \ do →)	Zemědělství	Průmysl	Závěrečná žádost	Celková produkce
Zemědělství	2000	1600	4400	8000
Průmysl	2800	1200	6000	10 000
Práce	3200	7200	-	10400
Celkový	8000	10 000	10400	28400

Protože máme hodnoty (v $), je možné přidat čísla každého sloupce. To dává výrobní náklady, zatímco součet příslušného řádku udává celkový příjem. Tyto dvě částky jsou stejné, protože se předpokládalo, že cena se rovná jednotkové ceně.

Tabulka mezioborových vztahů

Všechna pole vstup-výstup konstruovaná pomocí skutečných dat jsou pole obsahující konstantní hodnoty dolaru. Ve skutečnosti musíme agregovat jednotlivé produkce, pokud chceme zabránit tomu, aby tabulka obsahovala miliony řádků a sloupců. Je proto nutné přidat hodnoty jednotlivých inscenací. Kromě toho vytváříme tabulku průmyslových vztahů přímo, aniž bychom museli procházet výpočtem ceny, jak jsme to udělali výše. Proto je nemožné vypočítat skutečné technické koeficienty. Postupujeme však stejným způsobem a poté získáme následující matici koeficientů:

„Technické koeficienty“

Ekonomická odvětví	Zemědělství	Průmysl
Zemědělství	0,25	0,16
Průmysl	0,35	0,12
Práce	0,40	0,72
Celkový	1,00	1,00

Vztah mezi těmito koeficienty a skutečnými technickými koeficienty je dán následujícím výrazem:

{\ displaystyle {\ tilde {a}} _ {ij} = a_ {ij} {p_ {i} / p_ {j}}}

Kromě toho lze použít výsledek související s maticemi, které mají hlavní úhlopříčku (viz Mc Kenzie (1960)). Když má matice pouze nezáporné prvky. Proto jsou podmínky Hawkinsova-Simona automaticky splněny v tabulce průmyslových vztahů. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ tilde {a}} _ {ij} = 1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ tilde {a}} _ {ij} \ leq 1}$ ${\ displaystyle [IA] ^ {- 1}}$

Při konstrukci tabulky vstupů a výstupů je třeba provést několik odhadů a úprav, aby bylo možné aplikovat poměrně jednoduchý model na velmi složitou ekonomickou realitu. Například část výroby tvoří kapitálové statky, které tvoří hrubou investici národa. K konečné poptávce je pak nutné přidat další sloupec, aby se rozlišilo mezi produkcí určenou ke spotřebě a produkcí, která představuje investici. Kromě toho v každé ekonomice existuje vývoz a dovoz, které se přidávají ke vztahům mezi různými odvětvími. Buď vývoz, nebo dovoz. Můžeme psát : $X$ $M$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} q = {\ tilde {A}} q + y + XM \ end {matrix}}}

Export je exogenní proměnnou a odpovídá konečné poptávce ze zahraničí. Dovoz na druhé straně závisí na domácí produkci a spotřebě. Pokud předpokládáme, že jsou úměrné těmto proměnným, můžeme napsat:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} M = G ({\ tilde {A}} q + y) \ end {matrix}}}

kde je diagonální matice s „importními koeficienty“ na hlavní diagonále. Zavedením tohoto vztahu do výše uvedené rovnice získáme: $G$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} q = [I- (IG) {\ tilde {A}}] ^ {- 1} [(IG) y + X] \ end {matrix}}}

Tento výraz lze použít k výpočtu produkce potřebné k uspokojení dané domácí nebo zahraniční poptávky.

První tabulku vstupů a výstupů odhadl Leontief (1941) s využitím údajů ze Spojených států. Dnes několik statistických úřadů pravidelně zveřejňuje tabulky vstupů a výstupů. Statistický úřad Evropské unie zejména každých deset let zveřejňuje tabulky členských zemí této organizace.

Tradiční tabulka vstupů a výstupů obsahuje pouze jeden primární faktor, kterým je práce. Stejně jako ostatní modely, které mají pouze tento jediný výrobní faktor, je tradiční model vstupu a výstupu v souladu s principem pracovní hodnoty. Pomocí výrazu Karla Marxe pak můžeme říci, že vše je ve vstupně-výstupním modelu „krystalizovanou prací“.

Je zřejmé, že při konstrukci tabulky vstupů a výstupů s využitím skutečných dat je nutné vzít v úvahu odměnu všech faktorů. Mluvíme pouze o „přidané hodnotě“ a do této položky patří odměny zaměstnanců, úroky a dividendy.

Vstupně-výstupní model a lineární programování

Jak jsme uvedli výše, produkční funkce Leontief představuje speciální případ lineární produkční funkce. Pak bychom mohli zobecnit model vstup-výstup zvážením několika výrobních procesů. V tomto případě je sporné, zda může dojít k nahrazení jednoho procesu jiným procesem. Pokud však výroba závisí pouze na jediném primárním vstupu, je cena výstupů určena pouze množstvím práce obsažené přímo nebo nepřímo ve vyrobeném zboží. Změna mzdové sazby tedy nemůže změnit relativní ceny a volba procesu pak bude vždy stejná. Nejúčinnějším procesem je vždy ten, který využívá přímo a nepřímo nejmenší množství primárního vstupu. V důsledku toho, i když je zavedena možnost nahrazení jednoho procesu jiným, tato možnost nebude nikdy použita (viz Gale (1960), kapitola IX).

Můžeme posílit model vstup-výstup zavedením zásoby kapitálového zboží. Investice zvyšují zásoby a v konečném důsledku i produktivní kapacitu ekonomiky. Úvaha o tomto modelu je však nad rámec této příručky (viz Leontief et al. (1953)).

Hlavní slabinou vstupně-výstupního modelu je předpoklad pevných výrobních koeficientů. Z krátkodobého hlediska lze tento předpoklad přijmout a indikace vstupně-výstupního modelu by pak neměla být příliš vzdálena realitě. Z dlouhodobého hlediska je však obtížné připustit, že neexistuje žádná možná substituce mezi procesy a výrobními faktory. Pokud cena ropy prudce vzroste, použijí se jiné techniky. Uhlí nebo elektřina mohou nahradit topný olej v mnoha použitích. Tento příklad ukazuje, že existují možnosti substituce, a pak model vstupu-výstupu riskuje, že poskytne příliš pesimistický pohled na snížení dostupných zdrojů.

V případě zvýšení produkce může dojít k poklesu výnosů z rozsahu a zde bude výsledek vstupně-výstupního modelu příliš optimistický. Pravděpodobně budete muset použít více vstupů.

Navzdory těmto slabostem představuje model vstupů a výstupů velmi cenný nástroj pro plánování práce a pro analýzu mezioborových vztahů, včetně studia krátkodobých dopadů na zvýšení cen různých vyráběných statků. cena suroviny.

Poznámka

Gilbert Abraham-Frois a Emeric Lendjel, „ První aplikace věty Perron-Frobenius v ekonomii: Abbé Potron jako předchůdce “, Revue d'économie politique , sv. 111, n O 4,2001, str. 639 až 665 ( DOI 10.3917 / redp.114.0639 , číst online , přistupováno 18. ledna 2019 ).
Zde odkazujeme na takzvaný otevřený vstupně-výstupní model . Leontief také vyvinul uzavřený model, kde spotřeba představuje další ekonomické odvětví. V běžně používaných modelech je však spotřeba exogenní proměnnou.

Bibliografie

(en) Gale D., Theory of Linear Economic Models , McGraw-Hill, New York, 1960

(en) Hawkins D. a Simon H., „Poznámka: Některé podmínky makroekonomické stability“, Econometrica, sv. 17, 1949, str. 245-248

(en) Leontief W., Input-Output Economics , Oxford University Press, Oxford, 1966

(en) Leontief W. a kol. „ Studies in the Structure of the American Economy , International Arts and Sciences Press, White Plains, 1953

(en) Mc Kenzie L., Matrices with Dominant Diagonal and Economic Theory , in Arrow KJ, Karlin S. and Suppes P. (Eds.), Mathematical Methods in the Social Sciences , Stanford University Press, Stanford, 1960, str. 47-62

Michel Braibant, Směrem k ideální a globální tabulce „vstupů a výstupů“ , Edilivre ,října 2018.