Spektrální analýza

Ve fyzice a různými technikami se objevují signály, funkce času nebo, výjimečně, prostorové proměnné. Spektrální analýza zahrnuje několik technik, popis těchto signálů ve frekvenční doméně. Umožňuje zejména získat charakteristiky odezvy lineárního systému pomocí přenosové funkce . V matematice je harmonická analýza jednou částí těchto technik.

Prezentace

Časově závislý fyzický jev je popsán jedním nebo více signály. Můžeme je interpretovat jen výjimečně jednoduchým způsobem. Problémem je najít popis jejich obsahu, relativně obecný a přizpůsobený konkrétním problémům. Často se jeví takto: systém transformuje vstupní signál na výstupní signál, jak určit charakteristiky tohoto podle charakteristik vstupního signálu a charakteristik systému?

V obecném případě bohužel neznáme vztah mezi hodnotami výstupního signálu a hodnotami vstupního signálu, ale pouze vztah mezi variacemi výstupního signálu a hodnotami (případně variacemi) signál vstupu. Z matematického hlediska je systém řízen diferenciální rovnicí . Pokud existuje, problém je neřešitelný.

Naštěstí existuje důležitá třída systémů, lineární systémy (nebo takové mají být), které se řídí principem superpozice. V tomto případě, odpovídající lineární diferenciální rovnici, se můžeme pokusit rozložit vstupní signál na součet jednoduchých signálů, kterým je možné zajistit, aby odpovídaly stejně jednoduché výstupní signály, jejichž součet by poskytl požadovaný výsledek.

Problém se ještě více zjednoduší, pokud charakteristiky systému zůstanou v průběhu času konstantní. Máme co do činění s lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty. Jednoduché signály jsou sinusoidy, které procházejí pouze zesílením a fázovým posunem. Toto je problém spektrální analýzy: rozložení komplikovaného signálu na součet sinusoidů.

Zde nastává obtíž, protože tento rozklad vyžaduje, aby byl signál definován po neomezenou dobu. Lze to však poznat pouze prostřednictvím záznamu s omezenou dobou trvání: je proto nutné vytvořit model signálu vytvořením předpokladů, často zřejmých intuitivně, na nezaznamenané části jevu.

Různé modely

Lze předpokládat například to, že signál reprodukuje neurčitě obsah záznamu: jeden pak vytvoří periodický model založený na Fourierově řadě . Signál je popsán diskrétním spektrem (množina frekvencí v aritmetické progresi).

Můžeme také předpokládat, že úroveň signálu je mimo záznam zanedbatelná: v tomto případě použijeme přechodný model založený na Fourierově transformaci, který obecně vede ke spojitému spektru.

Existuje celá řada přírodních jevů, pro které není ani jeden z těchto dvou předpokladů realistický. Například záznam vln, aniž by vykazoval periodicitu, nevykazuje čistý pokles ani za relativně malou dobu trvání: mluvíme o signálu s konečnou odchylkou (někteří dávají přednost mluvení o konečné síle, ale stále to není technicky relevantní), což vede k představě spektrální hustoty . Potom můžeme použít poněkud nejasný předpoklad, že odmocnina vypočtená ze záznamu poskytuje přiměřený odhad odmocniny signálu. Tento typ analýzy stále vede ke spojitému spektru. Je definován, stejně jako předchozí, na základě signálu, ale lze získat další informace tím, že tuto považujeme za realizaci náhodného procesu .

Periodické signály

Amplitudové spektrum periodického signálu.png

Vývoj Fourierovy řady záznamu trvání spojuje s ním sinusoidy konečných amplitud a frekvencí násobků základní frekvence . Mluvíme o amplitudovém spektru, které je spektrem čar. Obecně lze výsledek analýzy vyjádřit buď v amplitudách a fázích, nebo v kosinových a sinusových složkách. $T$ ${\ frac {1} {T}}$

Součet sinusoidů vytváří periodický signál. Pokud je původní signál periodický, je dokonale znázorněn - alespoň v zásadě. Jinak byl zobrazen pouze záznam a musíte se pokusit najít něco jiného.

Přechodné signály

Spektrum hustoty přechodové hustoty signálu.png

Zde budeme nejprve rozumět signálu údajně nekonečného trvání, než uvidíme důsledky pro záznam konečného trvání. Pokud tento signál není periodický, nemá konečnou periodu, můžeme zkusit zjistit, co by se stalo, kdybychom jí dali nekonečnou periodu. To má následující důsledky:

Když má čas analýzy sklon k nekonečnu, kmitočtový krok má sklon k 0: na hranici jdeme z diskrétního spektra do spojitého spektra. $T$ ${\ frac {1} {T}}$
Během tohoto nárůstu v analytickém období, když je tento vynásoben libovolným číslem n, je počet složek vynásoben stejným faktorem. Aby se úroveň signálu nezvyšovala ve stejných proporcích, musí být amplitudy složek zhruba děleno n, což může vést k nulovým amplitudám na limitu. Tato obtíž je překonána vynásobením Fourierových koeficientů délkou analýzy nebo jejich dělením frekvenčním krokem, který má sklon k nule. Kontinuální spektrum tedy již není spektrem amplitudy, ale spektrem amplitudové hustoty, jehož jednotkou je fyzická jednotka / hertz.
Přes tato opatření se metoda může lišit. Podmínkou konvergence je, že signál musí být přechodný: musí mít tendenci k 0, když čas směřuje k ± . $\ infty$

Takto získáme transformaci signálu, která je obecně známá , f je frekvence. $x (t)$ $X (f)$

Pokud se vrátíte k časově omezenému záznamu, máte dvě možnosti:

Signál se liší od nuly pouze po omezenou dobu: analýza během této doby poskytuje, alespoň v zásadě, přesný výsledek umožňující rekonstituovat signál inverzí transformace.
Signál má jiné hodnoty než nula po dobu delší, než je doba záznamu: nepřesnost výsledku se zvyšuje s množstvím ztracených informací. Takto spáchaná chyba se konkrétně překládá rozptylem energie odpovídající frekvenci na sousedních frekvencích a matematicky konceptem konvoluce.

Signály konečné odchylky

Problém je složitější než v předchozím případě a lze k němu přistupovat různými způsoby. Ten, který použijeme, rozhodně není z vědeckého hlediska nejefektivnější, ale má tu výhodu, že ukazuje některé zásadní body, aniž by je skrýval za matematické úvahy, ne-li zvlášť obtížné, přinejmenším poměrně těžké. K překonání konkrétních problémů spojených s přihlédnutím k nenulovému průměru se bude předpokládat, že signál byl předem vycentrován odečtením jeho průměru.

Daný signál nazýváme autokovarianční funkcí - často nesprávně asimilovanou na autokorelaci - jejíž funkce udává průměr součinů hodnot ve dvou okamžicích, které se liší od : $x (t)$ $\ tau$ $x (t)$ $\ tau$

R_ {x} (\ tau) = \ overline {x (t) x (t + \ tau)}

Při výpočtu tohoto průměru se t mění od do . Pokud je signál přechodný, funkce je nulová; pokud je periodické, je samo o sobě periodické. Umístěním v případě signálu, který zjevně nepatří do žádné ze dvou kategorií, má funkce následující vlastnosti: $- \ infty$ $+ \ infty$

Změna en neprovede žádnou změnu: funkce je sudá. $\ tau$ ${\ displaystyle - \ tau}$
Na počátku představuje rozptyl, který je nutně pozitivní. ${\ displaystyle R_ {x} (0)}$
Symetrie určuje, že jde o extrém. Ve skutečnosti jde o maximum: pokud ve výpočtu nahradíte posun 0 malým posunem , při každém překročení úrovně 0 nahradíte malý kladný součin malým záporným součinem. $\ tau$
S výjimkou periodického signálu mají dva body oddělené velkým posunem málo společného: funkce má sklon k 0, když má tento posun sklon k nekonečnu. $\ tau$
Celkově vzato má funkce často neurčitý, tlumený sinusový tvar.
Chceme, pokud je to možné, asimilovat signál na součet sinusoidů. Předpokládejme, že tomu tak je. Ať už jsou amplitudy konečné nebo nekonečně malé, můžeme tento součet napsat ve tvaru:

x (t) = \ sum _ {n} a_ {n} \ cos (\ omega _ {n} t + \ varphi _ {n})

Za těchto podmínek to ukazujeme

R_ {x} (\ tau) = \ sum _ {n} {a_ {n} ^ {2} \ nad 2} \ cos {\ omega _ {n} \ tau}

Tak

Funkce autovariance obsahuje stejné frekvence jako signál.
Amplitudy nejsou totožné, ale jsou získány čtvercem a dělením 2.
Fáze úplně zmizely: autokonverze odpovídá nejen původnímu signálu, ale také všem, které obsahují stejné komponenty.

Spektrální hustota

Z výše uvedeného můžeme odvodit:

Funkce autovariance má Fourierovu transformaci, kterou nazýváme spektrální hustota a kterou obecně označujeme , f je frekvence. ${\ displaystyle S_ {x} (f)}$
Vzhledem k tomu, že komponenty autovariance jsou homogenní s čtverci amplitudy, je spektrální hustota nezáporná. Má rozměr (fyzickou jednotku) 2 / Hertz.
Vzhledem k tomu, že autokonverze je skutečná a rovnoměrná funkce, má její Fourierova transformace stejné vlastnosti.
Záznam, který vždy zkracuje signál, který má být udržován po neomezenou dobu, je spektrální hustota nutně zkreslena konvolucí.

Vztah s náhodnými procesy

Kromě zkreslení frekvenčního obsahu již pozorovaného u přechodných signálů existuje statistická nejistota spojená s polohou záznamu na signálu.

Funkce autocovariance odpovídá celé skupině signálů, které obsahují stejné komponenty. Tuto rodinu lze interpretovat jako úspěchy kontinuálního procesu . Časově omezený záznam lze také považovat za úspěch jiného procesu. To umožňuje určit s intervaly spolehlivosti statistickou hodnotu provedené analýzy.

Podívejte se také

Bibliografie

(en) YK Lin , Pravděpodobnostní teorie strukturální dynamiky , New York, Robert E. Krieger Publishing Company,Červenec 1976, 368 s. ( ISBN 0-88275-377-0 )

Související články