Multilineární aplikace

V lineární algebry , je multilinear mapa je mapa s několika vektorových veličin a vektorových hodnot, které je lineární v každé proměnné. Multilineární aplikace se skalárními hodnotami se nazývá multilineární forma . Víceřádková aplikace se dvěma vektorovými proměnnými se nazývá bilineární .

Některé klasické příklady:

• skalární součin je symetrická bilineární forma  ;
• determinant je antisymetrická multilineární forma ze sloupců (nebo řádky) jednoho čtvercové matice .

Systematické studium multilineárních aplikací umožňuje získat obecnou definici determinantu, externího produktu a mnoha dalších nástrojů s geometrickým obsahem. Větev odpovídající algebry je multilineární algebra . Existuje ale také velmi mnoho aplikací v kontextu potrubí , v diferenciální topologii .

Definice

Představuje vždy celé číslo k > 0 a vektorové prostory na stejném tělesa K . Aplikace E1,...,Ek,F{\ displaystyle E_ {1}, \ ldots, E_ {k}, F}

F:E1×...×Ek→F{\ displaystyle f: E_ {1} \ krát \ ldots \ krát E_ {k} \ do F}

se říká, že je multilineární (nebo přesněji: k -lineární), pokud je lineární v každé proměnné, tj. jestliže pro vektory a skaláry a a b , X1,...,Xk,Xi′{\ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {k}, x '_ {i}}

F(X1,...,Xi-1,naXi+bXi′,Xi+1,...,Xk)=naF(X1,...,Xi,...,Xk)+bF(X1,...,Xi′,...Xk).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {i-1}, ax_ {i} + bx '_ {i}, x_ {i + 1}, \ dots, x_ {k}) = af ( x_ {1}, \ dots, x_ {i}, \ dots, x_ {k}) + bf (x_ {1}, \ dots, x '_ {i}, \ dots x_ {k}).}

Neformálně můžeme reprezentovat k -lineární mapu jako produktovou mapu k výrazů s vlastností distributivního typu .

Všechny žádosti k -linéaires z oblasti F je podprostor z prostoru F E 1 × ... × E n všech aplikací E 1 × ... × E n v F . Jedná se tedy o vektorový prostor, který označujeme , nebo jednodušeji když . Prostor o K- lineárních forem na E je označen . E1×...×Ek{\ displaystyle E_ {1} \ krát \ ldots \ krát E_ {k}}L(E1,...,Ek;F){\ displaystyle L (E_ {1}, \ ldots, E_ {k}; F)}Lk(E;F){\ displaystyle L_ {k} (E; F)}E1=...=Ek=E{\ displaystyle E_ {1} = \ ldots = E_ {k} = E}Lk(E;K.){\ displaystyle L_ {k} (E; K)}Lk(E){\ displaystyle L_ {k} (E)}

Pokud k = 1 , najdeme prostor lineárních map E do F . Na druhou stranu, pokud k > 1 , nesmíme zaměňovat prostor multilineárních map s prostorem lineárních map na vektorovém prostoru produktu . Například od K × K do K je násobení bilineární, ale ne lineární, zatímco projekce je lineární, ale není bilineární. L(E;F){\ displaystyle L (E; F)}L(E1,...,Ek;F){\ displaystyle L (E_ {1}, \ ldots, E_ {k}; F)}L(E1×...×Ek;F){\ displaystyle L (E_ {1} \ krát \ ldots \ časy E_ {k}; F)} E1×...×Ek{\ displaystyle E_ {1} \ krát \ ldots \ krát E_ {k}}(X1,X2)↦X1X2{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ mapsto x_ {1} x_ {2}}(X1,X2)↦X1{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ mapsto x_ {1}}

Psaní komponent

Pokud jsou (konečné nebo ne) příslušné základy prostorů , (lineární) použití omezení B1,...,Bk{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {1}, \ ldots, {\ mathcal {B}} _ {k}}E1,...,Ek{\ displaystyle E_ {1}, \ ldots, E_ {k}}

L(E1,...,Ek;F)→FB1×...×Bk,F↦F|B1×...×Bk{\ displaystyle L (E_ {1}, \ ldots, E_ {k}; F) \ až F ^ {{\ mathcal {B}} _ {1} \ times \ ldots \ times {\ mathcal {B}} _ {k}}, \ qquad f \ mapsto f_ {| {\ mathcal {B}} _ {1} \ times \ ldots \ times {\ mathcal {B}} _ {k}}}

je bijective (proto je izomorfismus vektorových prostorů ), to znamená k -lineární mapa je úplně určen svými hodnotami na k -tuples vektorů základen, a tyto hodnoty mohou být jakékoliv vektory F .

Přesněji řečeno a za předpokladu zjednodušení notací

E1=...=EkaB1=...=Bk=(Ei)i=1,...,ne,{\ displaystyle E_ {1} = \ ldots = E_ {k} \ quad {\ text {a}} \ quad {\ mathcal {B}} _ {1} = \ ldots = {\ mathcal {B}} _ { k} = (e_ {i}) _ {i = 1, \ ldots, n},}

můžeme rozložit každý vektor

Xj=∑i=1neXi,jEi.{\ displaystyle x_ {j} = \ součet _ {i = 1} ^ {n} X_ {i, j} e_ {i}.}

Pak se stane výraz k -lineárního tvaru na k -letuX1,...,Xk{\ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {k}}

F(X1,...,Xk)=F(∑i1=1neXi1,1Ei1,...,∑ik=1neXik,kEik)=∑i1=1ne...∑ik=1ne∏j=1kXij,jF(Ei1,...,Eik).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = f \ left (\ sum _ {i_ {1} = 1} ^ {n} X_ {i_ {1}, 1} e_ {i_ {1}}, \ dots, \ sum _ {i_ {k} = 1} ^ {n} X_ {i_ {k}, k} e_ {i_ {k}} \ right) = \ sum _ {i_ {1 } = 1} ^ {n} \ dots \ sum _ {i_ {k} = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 1} ^ {k} X_ {i_ {j}, j} f (e_ { i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}}).}

Znalost hodnot plně určuje k -lineární mapu f . nek{\ displaystyle n ^ {k}}F(Ei1,...,Eik){\ displaystyle f (e_ {i_ {1}}, \ tečky, e_ {i_ {k}})}

Zejména prostor k -lineárních forem na vektorovém prostoru E dimenze n má pro dimenzi . Lk(E){\ displaystyle L_ {k} (E)}nek{\ displaystyle n ^ {k}}

Symetrie a antisymetrie

Aplikace se říká, F∈Lk(E;F){\ displaystyle f \ in L_ {k} (E; F)}

• symetrický, pokud výměna dvou vektorů nezmění výsledek:

F(X1,...,Xk)=F(X1,...,Xi-1,Xj,Xi+1,...,Xj-1,Xi,Xj+1,...,Xk){\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = f (x_ {1}, \ dots, x_ {i-1}, x_ {j}, x_ {i + 1}, \ dots , x_ {j-1}, x_ {i}, x_ {j + 1}, \ dots, x_ {k})}

• antisymetrický, pokud má výměna dvou vektorů za následek změnu získaného výsledku na jeho opak:

F(X1,...,Xk)=-F(X1,...,Xi-1,Xj,Xi+1,...,Xj-1,Xi,Xj+1,...,Xk){\ displaystyle f (x_ {1}, \ tečky, x_ {k}) = - f (x_ {1}, \ tečky, x_ {i-1}, x_ {j}, x_ {i + 1}, \ tečky, x_ {j-1}, x_ {i}, x_ {j + 1}, \ dots, x_ {k})}

Lze provést několik postupných vektorových výměn. Permutace vektorů se tedy provádí, získaný jako posloupnost provádění. V každém kroku je výsledek nemodifikovaný, pokud f je symetrický, a změněn na jeho opak, pokud je f antisymetrický. Výsledkem obecné permutace vektorů není úprava výsledku, pokud je f symetrické, a násobení podpisem permutace, pokud je f antisymetrické. Souhrnně označujeme symetrickou skupinu indexu  : Sk{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {k}}k{\ displaystyle k}

• je-li f symetrické, pak:

∀σ∈Sk,F(Xσ(1),...,Xσ(k))=F(X1,...,Xk){\ displaystyle \ forall \ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {k}, \; f (x _ {\ sigma (1)}, \ tečky, x _ {\ sigma (k)}) = f (x_ {1}, \ dots, x_ {k})}

• je-li f antisymetrické, pak:

∀σ∈Sk,F(Xσ(1),...,Xσ(k))=ε(σ)F(X1,...,Xk).{\ displaystyle \ forall \ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {k}, \; f (x _ {\ sigma (1)}, \ tečky, x _ {\ sigma (k)}) = \ varepsilon (\ sigma) f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}).}

Odpovídající podmnožiny , označené příslušně, a , jsou vektorové podprostory. Pokud je charakteristika tělesa K rovna 2, jsou stejné. Lk(E;F){\ displaystyle L_ {k} (E; F)}Sk(E;F){\ displaystyle S_ {k} (E; F)}NAk(E;F){\ displaystyle A_ {k} (E; F)}

Alternativní aplikace

O aplikaci se říká, že se střídá, pokud je zrušena pokaždé, když je vyhodnocena na k -upletu obsahujícím dva identické vektory: F∈Lk(E;F){\ displaystyle f \ in L_ {k} (E; F)}

[∃i≠j,Xi=Xj]⇒F(X1,...,Xk)=0.{\ displaystyle [\ existuje i \ neq j, x_ {i} = x_ {j}] \ Rightarrow f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = 0.}

Ekvivalentně se střídá k -lineární mapa, pokud zmizí nad všemi propojenými k -uply. Zejména pokud k je striktně větší než rozměr E , pak jedinou střídavou k -lineární mapou v F je nulová mapa. Ek{\ displaystyle E ^ {k}}Ek{\ displaystyle E ^ {k}}

Jakákoli střídavá multilineární aplikace je antisymetrická.

Je-li charakteristika pole K odlišná od 2, je ověřena konverze: střídá se jakákoli antisymetrická multilineární aplikace.

Alternativní n- lineární aplikace v dimenzi n

V této části předpokládáme, že prostor E je konečné dimenze n a studujeme konkrétní případ k = n . Pro F = K , tato studie, aby alternativní definici určení v základní e z a n -tuple vektorů, nebo matrice , když předem stanovená na Leibniz vzorec .

Pokud má E základnu , můžeme každý vektor rozložit E=(E1,...,Ene){\ displaystyle e = (e_ {1}, \ tečky, e_ {n})}

Xj=∑i=1neXi,jEi{\ displaystyle x_ {j} = \ součet _ {i = 1} ^ {n} X_ {i, j} e_ {i}}

Poté se výraz n -lineárního tvaru f na n -tuple ( viz výše ) zjednoduší, když se střídá f (tedy také antisymetrický): X1,...,Xne{\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}

F(X1,...,Xne)=(∑σ∈Sneε(σ)∏j=1neXσ(j),j)F(E1,...,Ene)=detE(X1,...,Xne)F(E1,...,Ene){\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ left (\ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ varepsilon (\ sigma) \ prod _ {j = 1} ^ {n} X _ {\ sigma (j), j} \ vpravo) f (e_ {1}, \ dots, e_ {n}) = {\ det} _ {e} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) f (e_ {1}, \ dots, e_ {n})}

Znalost jediného vektoru je tedy dostatečná k úplnému určení funkce f a mapa je jedinečná střídavá n- lineární forma f taková, že . F(E1,...,Ene){\ displaystyle f (e_ {1}, \ tečky, e_ {n})} detE{\ displaystyle {\ det} _ {e}}F(E1,...,Ene)=1{\ displaystyle f (e_ {1}, \ tečky, e_ {n}) = 1}

Věta  -  Pokud E je rozměr n , pak prostorové aplikace n střídající se -linéaires E n v F je izomorfní F . NAne(E;F){\ displaystyle A_ {n} (E; F)}

Poznámka: tato věta umožňuje orientovat skutečné vektorové prostory výběrem, v případě, že F = R, v linii A střídající se n-lineární formy, jednu nebo druhou z polovičních linií A 'nebo A' 'a volání orientovaných vektorových rovin dvojic (E, A) nebo (E, A ').

Aplikace k střídavý - lineární rozměr n> k

Vrátíme-li se k případu alternativní k -lineární mapy v dimenzi n , předpokládáme tentokrát n> k (pamatujte, že pokud n <k , každá alternativní k- lineární mapa je nula). Lze rozšířit pouze část předchozích výsledků. Vždy je možné odstranit výrazy, kde se stejný vektor objeví dvakrát; on přichází

F(X1,...,Xk)=∑(i1,...,ik)∈J∏j=1kXij,jF(Ei1,...,Eik){\ displaystyle f (x_ {1}, \ tečky, x_ {k}) = \ součet _ {(i_ {1}, \ tečky, i_ {k}) \ v J} \ prod _ {j = 1} ^ {k} X_ {i_ {j}, j} f (e_ {i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}})}

kde J je množina k -uples s každým v [| 1, n |] a všemi odlišnými. Navíc pomocí antisymetrie je možné změnit pořadí výrazů f tak, aby byla zachována pouze jedna kombinace výrazů ve tvaru (i1,...,ik){\ displaystyle (i_ {1}, ..., i_ {k})}ij{\ displaystyle i_ {j}}ij{\ displaystyle i_ {j}}

F(Ei1,...,Eik) s 1≤i1<i2<⋯<ik-1<ik≤ne.{\ displaystyle f (e_ {i_ {1}}, \ tečky, e_ {i_ {k}}) \ qquad {\ text {with}} 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ tečky <i_ {k-1} <i_ {k} \ leq n.}

Počet takto uspořádaných k -upů je binomický koeficient a střídavý k -lineární tvar je charakterizován údaji o hodnotě f na těchto k -upletech. Nakonec předchozí věta zobecňuje na: (nek){\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}

Věta  -  Pokud E je rozměr n , pak je prostor o K -Lineární střídající se mapuje na E k v F je izomorfní NAk(E;F){\ displaystyle A_ {k} (E; F)}

F(nek).{\ displaystyle F ^ {\ tbinom {n} {k}}.}

Přesněji řečeno, rozkladný vzorec lze zapsat pomocí pojmu determinant: každý koeficient je menší než maticový zástupce rodiny vektorů v základu . Xi{\ displaystyle x_ {i}}Ej{\ displaystyle e_ {j}}

F(X1,...,Xk)=∑1≤i1<i2<⋯<ik-1<ik≤ne|Xi1;1Xi1;2...Xi1;kXi2;1Xi2;2...Xi2;k⋮⋮⋱⋮Xik;1Xik;2...Xik;k|F(Ei1,...,Eik).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ tečky, x_ {k}) = \ součet _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ tečky <i_ {k-1} <i_ {k} \ leq n} {\ begin {vmatrix} X_ {i_ {1}; 1} & X_ {i_ {1}; 2} & \ dots & X_ {i_ {1}; k} \\ X_ {i_ {2} ; 1} & X_ {i_ {2}; 2} & \ dots & X_ {i_ {2}; k} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ X_ {i_ {k}; 1} & X_ {i_ {k}; 2} & \ dots & X_ {i_ {k}; k} \ end {vmatrix}} f (e_ {i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}}) .}

Poznámka

1. Demonstraci najdete například v lekci o Wikiverzitě .
2. Jean Dieudonné, Lineární algebra a elementární geometrie , Paříž, Hermann ,1964, str. 78-83 pro vektorová letadla

Podívejte se také

Související články

Externí algebra • Antikomutativita • Trvalá • Tenzor

Bibliografie

Roger Godement , kurz Algebra