V lineární algebře , je podprostor z vektorového prostoru E, je část není prázdný F na E , stabilní lineární kombinace . Tato stabilita je vyjádřena:
Vybavený indukovanými zákony, F je pak vektorový prostor. Průniku family neprázdných subspaces E je podprostor E . Svaz rodině není prázdný dílčích prostorů není zpravidla jednou; podprostor generovaný tímto setkání je součtem této rodiny .
Nechť E být vektorový prostor na tělo K .
Část F z E je vektor podprostor E tehdy a jen tehdy, když:
Podmínka 1, silnější než podmínka „ F je neprázdná a stabilní podle součtů“, je s ní ekvivalentní za přítomnosti podmínky 2, protože tato podmínka naznačuje, že F je stabilní protiklady (pokud u ∈ F pak - u = (–1 ) ∙ u ∈ F ).
Mezilehlá charakterizace tedy také ekvivalentní je:
Součástí E je vektorový podprostor E právě tehdy, pokud obsahuje nulový vektor 0 E a je stabilní lineárními kombinacemi.
Kromě toho má stabilita lineárními kombinacemi formulace ekvivalentní složení úvodního shrnutí, jako např nebo
Pro libovolný vektorový podprostor F prostoru E stabilita lineárními kombinacemi umožňuje omezit (na začátku a na konci) dva zákony vektorového prostoru E ve dvou mapách +: F × F → F a ∙: K × F → F .
Vybaven těmito dvěma mapami, F je automaticky, jako E , vektorový prostor.Ve skutečnosti je ( F , +) (sub-) skupina a všechny ostatní axiomy vektorového prostoru (jako komutativita +) zůstávají pravdivé v F omezením, protože zahrnují pouze univerzální kvantifikátory ∀ .
To umožňuje levně demonstrovat, že daná struktura je vektorový prostor: stačí ověřit, že se jedná o podprostor již známého prostoru. Například polynomy s koeficienty v K tvoří vektorový prostor jako podprostor K (ℕ) prostoru K ℕ sekvencí (identifikací jakéhokoli polynomu následujícího po jeho koeficientech, nule od určité pozice).
Pro jakýkoli podprostor F of E máme:
Nechť F 1 a F 2 dva podprostory vektor E . Pak F 1 ⋂ F 2 je lineární podprostor E .
Obecněji řečeno, pro jakýkoli neprázdný rodiny ( F i ) i ∈ I podprostorů E , křižovatky ⋂ i ∈ I F i je lineární podprostor E .
Spojení dvou podprostorů je pouze subspace když jeden ze dvou podprostorů je obsažen v druhé. V opačném případě není toto spojení sčítáním stabilní.
Aby se sloučení neprázdné (konečné nebo nekonečné) rodiny podprostorů stalo podprostorem, stačí (ale samozřejmě není nutné), aby rodina filtrovala , to znamená, že l spojení jakýchkoli dvou prvků rodiny je zahrnuto v rodinný prvek.
Pokud je K- vektorový prostor E spojením konečné rodiny podprostorů odlišných od E , pak pole K je konečné .
DemonstraceDokážme třetí bod (první dva jsou okamžité). Předpokládejme, že E je spojením odlišných podprostorů E 1 ,…, E n , a dokonce (i když to znamená odstranění nadbytečnosti) tak, že žádný z nich není zahrnut do spojení ostatních. Nechť u je vektor patřící do E 1, ale ne do ostatních E k a v vektor nepatřící do E 1 . Potom je množina v + Ku disjunktní od E 1 a obsahuje maximálně jeden vektor navzájem E k . Proto má K maximálně n - 1 prvků.
Nechť F 1 a F 2 dva podprostory vektor E . Jejich součet F 1 + F 2 , definovaný , se shoduje s podprostorem generovaným F 1 ⋃ F 2 .
Obecněji řečeno, je součet Σ i ∈ I F i z neprázdný rodiny ( F i ) i ∈ I vektorových podprostorů E , definované jako množiny vektorů x z E , kteří přijímají alespoň jednu rozkladu ve tvaru x = å i ∈ I x i s x i ∈ F i (všechna nula kromě konečného čísla), se rovná podprostoru generovanému spojením F i .
Pokud je navíc tento rozklad libovolného vektoru ∑ i ∈ I F i jedinečný, říká se, že součet je přímý .