B-spline

V matematiky , je B-spline je lineární kombinace z pozitivních drážek s minimálním kompaktním nosičem. B-splajny jsou zobecněním Bézierových křivek , které lze zase zobecnit pomocí NURBS .

Definice

Vzhledem k tomu, že m +1 uzlů t i v [0, 1] s $0 \ leq t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq \ ldots \ leq t_ {m} \ leq 1$ stupeň spline křivky je parametrická křivka $ne$ ${\ mathbf {S}} \ ,: \, [0,1] \ do {\ mathbb {R}} ^ {d}$ složený z B-spline funkcí stupně n ${\ displaystyle \ mathbf {S} (t) = \ součet _ {i = 0} ^ {mn-1} b_ {i, n} (t). \ mathbf {P} _ {i} \ ,, \, t \ in [t_ {n}, t_ {mn}]}$ , kde P i tvoří polygon nazývaný kontrolní polygon ; počet bodů tvořících tento polygon se rovná m - n .

Funkce m - n B-spline stupně n jsou definovány indukcí na nižším stupni: $b _ {{j, 0}} (t): = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mathrm {si}} \ quad t_ {j} \ leqslant t <t _ {{j + 1 }} \ \ 0 & {\ mathrm {jinak}} \ end {matrix}} \ vpravo.$ $b _ {{j, n}} (t): = {\ frac {t-t_ {j}} {t _ {{j + n}} - t_ {j}}} b _ {{j, n- 1}} (t) + {\ frac {t _ {{j + n + 1}} - t} {t _ {{j + n + 1}} - t _ {{j + 1}}}} b _ {{j + 1, n-1}} (t).$

Když jsou uzly ve stejné vzdálenosti, to znamená, že jsou v aritmetickém postupu, říká se, že B-splajny jsou „uniformní“: to je případ Bézierových křivek, které jsou jednotnými B-splajny, jejichž uzly t i (pro i mezi 0 a m ) tvoří aritmetickou sekvenci od 0 do 1 s konstantním krokem 1 / m , přičemž stupeň n Bézierovy křivky nemůže být větší než m .

Rozšířením, když jsou dva po sobě jdoucí uzly a jsou sloučeny, jeden představuje : toto má za následek definování diskontinuity tečny, pro bod křivky parametrizovaný hodnotou t , proto tam vytvořit vrcholovou misku bez úhlu; je však často jednodušší definovat tento „rozšířený B-spline“ jako spojení dvou B-splajnů definovaných s odlišnými uzly, přičemž tyto splajny jsou jednoduše spojeny tímto společným vrcholem, aniž by zde byly v parametrickém hodnocení zavedeny jakékoli potíže. B-splajny pro určité hodnoty parametru t . To ale potom umožňuje považovat jakýkoli jednoduchý polygon za prodloužený B-spline. $t_j$ $t _ {{j + 1}}$ ${\ frac {0} {0}} = 0$

Vlastnosti

Tvar základních funkcí je určen polohou uzlů.

Křivka je uvnitř konvexní obálky kontrolních bodů.

B-spline stupně n $b _ {{i, n}} (t)$ je nenulová v intervalu [ t i , t i + n + 1 ]: $b _ {{i, n}} (t) = \ left \ {{\ begin {matrix}> 0 & {\ mathrm {si}} \ quad t _ {{i}} \ leqslant t <t _ {{ i + n + 1}} \\ 0 & {\ mathrm {jinak}} \ end {matrix}} \ vpravo.$

Jinými slovy, posunutím řídicího bodu se pouze lokálně změní tvar křivky.

Jednorozměrné b-splajny

B-splajny lze použít jako základní funkce v teorii aproximace. B-spline stupně n je dána vztahem: ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ beta ^ {n} (x) = \ součet _ {k = 0} ^ {n + 1} (- 1) ^ {k} {\ frac {(n + 1)} {(n + 1-k)! k!}} \ left (xk + {\ frac {n + 1} {2}} \ right) _ {+} ^ {n}}$ , kde (y) + je rozšířená verze funkce pozitivní části : $(x) _ {+} ^ {n} = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x <0 \\ {\ tfrac 12} & {\ text {si}} x = 0 {\ text {et}} n = 0 \\ 1 & {\ text {si}} x> 0 {\ text {et}} n = 0 \\ x ^ {n} & {\ text {si}} x \ geqslant 0 {\ text {a}} n \ geqslant 1 \ end {případů}}$

Rozpoznáváme zejména spline stupně 0 jako funkci brány .

Tyto funkce nejsou interpolační, ale jejich vysoká pravidelnost na kompaktním médiu z nich dělá zajímavé kandidáty v aproximaci funkcí.

Reference

(in) P. Thevenaz, Blu T. a M. Unser, „ interpolace revisited “ , IEEE Transactions on Medical Imaging , sv. 19, n o 7,července 2000( DOI 10.1109 / 42.875199 )

Interní odkazy

externí odkazy

(en) Splines: Sjednocující rámec pro zpracování obrazu (tutoriál o B-splines)