Spojení Hopf

V teorii bifurkace , je Hopfova nebo Poincaré - Andronov - Hopfova bifurkace , pojmenované po Henri Poincaré , Eberhard Hopf a Aleksandr Andronov , je místní bifurkace, ve kterém je pevný bod z dynamického systému ztrácí stabilitu a ‚dvojice konjugovaných komplexních čísel linearizace kolem pevného bodu protíná imaginární osu komplexní roviny .

Obecnější přehled bifurkací Hopf a jejich aplikací, zejména ve fyzice a elektronice, viz.

Definice

Superkritická / podkritická Hopfova bifurkace

Orbitální (oscilační) cyklus je stabilní, pokud je specifická veličina zvaná první Lyapunovův exponent záporná (tj. Jakákoli malá odchylka aplikovaná na bod v limitním cyklu klesá exponenciálně k prvnímu řádu) a bifurkace Hopf je považována za super- kritický. Jinak (první nula nebo kladný Lyapunovův exponent) je limitní cyklus nestabilní a bifurkace je považována za podkritickou.

Kanonická forma bifurkace Hopf je:

{\ displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = z ((\ lambda + i) + b | z | ^ {2}),}

Kde z , b jsou oba komplexní a λ je parametr. Pojďme pózovat

{\ displaystyle b = \ alpha + i \ beta. \,}

Číslo α se nazývá první Lyapunovův exponent.

Pokud je α záporné, pak existuje stabilní mezní cyklus pro λ > 0:

{\ displaystyle z (t) = re ^ {i \ omega t} \,}

nebo

{\ displaystyle r = {\ sqrt {- \ lambda / \ alpha}} {\ text {a}} \ omega = 1 + \ beta r ^ {2}. \,}

O bifurkaci se pak říká, že je superkritická.

Pokud je α kladné, pak je limitní cyklus nestabilní pro λ <0. O bifurkaci se říká, že je podkritická .

Poznámky

„Nejmenší chemická reakce vykazující Hopfovu bifurkaci“ byla pozorována v roce 1995 v Berlíně v Německu. Stejný biochemický systém byl použit ke studiu toho, jak nám bifurkace Hopf může říci o základní dynamice systému.

Reference

(in) Steven H. Strogatz , Nelineární dynamika a chaos , nakladatelství Addison Wesley,1994
(in) Yuri A. Kuznetsov , Elements of Applied Bifurcation Theory , New York, Springer-Verlag,2004, 634 s. ( ISBN 0-387-21906-4 , online prezentace )
(in) J. Hale a H. Koçak , Dynamics and bifurcations , sv. 3, New York, Springer-Verlag, kol. "Texty z aplikované matematiky",1991
J. Guckenheimer , M. Myers a B. Sturmfels , „ Computing Hopf Bifurcations I “, Časopis SIAM o numerické analýze ,1997
(in) E. Hairer , SP Norsett a G. Wanner , Řešení obyčejných diferenciálních rovnic I: nonstiff problémy , New York, Springer-Verlag,1993, Druhé vydání.
T. Wilhelm a R. Heinrich , „ Nejmenší systém chemických reakcí s Hopfovou bifurkací “, Journal of Mathematical Chemistry , sv. 17, n o 1,1995, str. 1–14 ( DOI 10.1007 / BF01165134 , číst online )
PDW Kirk , T. Toni a MP Stumpf , „ Inference parametru pro biochemické systémy, které procházejí Hopfovou bifurkací “, Biophysical Journal , sv. 95, n O 22008, str. 540–549 ( PMID 18456830 , PMCID 2440454 , DOI 10.1529 / biophysj.107.126086 , číst online )

externí odkazy