Abelianská kategorie

V matematice tvoří abelianské kategorie rodinu kategorií, která obsahuje rodinu abelianských skupin . Jejich systematické studium zavedl Alexandre Grothendieck, aby osvětlilo vazby, které existují mezi různými kohomologickými teoriemi , jako je kohomologie svazků nebo kohomologie skupin . Jakákoli abelianská kategorie je aditivní .

Definice

Abelianova kategorie je kategorie, do které můžeme přidat šipky a definovat pro jakoukoli šipku pojmy jádro , kokker a obrázek .

Přesněji řečeno, abelianská kategorie je kategorie splňující následující axiomy: NA{\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}

• pro všechny objekty a in , je opatřena skupina abelian struktury  ;X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}NA{\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}HÓm(X,Y){\ displaystyle \ mathrm {Hom} (X, Y)}
• pro všechny objekty , a , složeníX{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}Z{\ displaystyle Z}

HÓm(Y,Z)×HÓm(X,Y)→HÓm(X,Z){\ displaystyle \ mathrm {Hom} (Y, Z) \ krát \ mathrm {Hom} (X, Y) \ rightarrow \ mathrm {Hom} (X, Z)}

• jakákoli šipka připouští jádro, jádro a obrázek v následujícím smyslu: buď šipka, F:X→Y{\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}
  • jádro z f je objekt K z a šipky tak, že i tak, že pro každý objekt z a jakékoliv šipky tak, že , pak existuje jedinečná šipky tak, že  ; jinými slovy se přepne následující diagram:NA{\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}k:K.→X{\ displaystyle k: K \ rightarrow X}F∘k=0{\ displaystyle f \ circ k = 0}K.′{\ displaystyle K '}NA{\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}k′:K.′→X{\ displaystyle k ': K' \ rightarrow X}F∘k′=0{\ displaystyle f \ circ k '= 0}u:K.′→K.{\ displaystyle u: K '\ rightarrow K}k′=k∘u{\ displaystyle k '= k \ circ u}
  • cokernel z je objekt z a šipky tak, že i tak, že pro každý objekt z a jakékoliv šipky tak, že , pak existuje jedinečná šipky tak, že ,F{\ displaystyle f}NE∗{\ displaystyle N ^ {*}}NA{\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}p:Y→NE∗{\ displaystyle p: Y \ rightarrow N ^ {*}}p∘F=0{\ displaystyle p \ circ f = 0}NA{\ displaystyle A}NA{\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}G:Y→NA{\ displaystyle g: Y \ rightarrow A}G∘F=0{\ displaystyle g \ circ f = 0}G¯:NE∗→NA{\ displaystyle {\ overline {g}}: N ^ {*} \ rightarrow A}G=G¯∘p{\ displaystyle g = {\ overline {g}} \ circ p}
  • obraz je objekt a šíp, který je jádrem a šíp, který je luskem  ; navíc musíme mít stejné složení .F{\ displaystyle f}Já{\ displaystyle I}Já→Y{\ displaystyle I \ rightarrow Y}Y→NE∗{\ displaystyle Y \ rightarrow N ^ {*}}X→Já{\ displaystyle X \ rightarrow I}K.→X{\ displaystyle K \ rightarrow X}X→Já→Y{\ displaystyle X \ rightarrow I \ rightarrow Y}F{\ displaystyle f}

Pokud existují jádra, jsou všechna izomorfní a stejná pro jádra. Obraz, pokud existuje, je tedy dobře definovaný.

Příklad abelianských kategorií

• Kategorie abelianských skupin.
• Kategorie komplexů abelianských skupin.
• Kategorie modulů vlevo (nebo kategorie modulů vpravo) na prstenci.
• V kategorii pre - snopy v abelian skupin na topologické prostor , nebo obecněji: v kategorii funktorů jednoho malého kategorie v abelian kategorii.
• Kategorie snopů v abelianských skupinách na topologickém prostoru.

Bibliografie

• Roger Godement , algebraická topologie a teorie snopů , kol. „Publikace Ústavu matematiky na univerzitě ve Štrasburku“ ( n o  13), Hermann , 1964
• Alexander Grothendieck , „  K některým bodům homologické algebry  ,“ Tohoku Mathematical Journal , sv.  9,1957, str.  119–221 ( matematické recenze  0102537 ). Tento článek, často citovaný jako „  Článek Tohoku  (in)  “ nebo jednoduše „Tohoku“, představil axiomy abelianských kategorií.

Související článek

Mitchellova věta o vložení

Reference

1. Neil Schlager a Josh Lauer , Věda a její časy: 1950-současnost. Svazek 7 Science and its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery`` Gale Group,2000( ISBN  9780787639396 ) , str.  251.