V matematiky , přesněji v algebře , An abelian skupina (pojmenoval Niels Abel ), nebo komutativní skupina , je skupina , jejíž vnitřní právo složení je komutativní . Z jiného pohledu lze komutativní skupinu definovat také jako modul na komutativním kruhu ℤ relativních celých čísel ; studium abelianských skupin se pak jeví jako zvláštní případ teorie modulu.
Víme, jak jednoduše a explicitně klasifikovat abelianské skupiny konečného typu až po izomorfismus , a zejména popsat konečné abelianské skupiny .
Říkáme, že skupina je abelianská nebo komutativní, když je zákon vnitřního složení skupiny komutativní , to znamená, že když:
pro každéhoZákon komutativní skupiny je někdy známý aditivně, to znamená znaménkem +. Když je tato konvence přijata, neutrální prvek je označen 0, symetrický prvek x skupiny je označen - x a pro jakékoli relativní celé číslo n označíme:
Pro prvek x abelianské skupiny označený aditivně a n relativní celé číslo jsme definovali nad prvkem nx skupiny. Skupina se tak jeví jako modul na kruhu ℤ celých čísel. Tímto způsobem se naopak získá jakýkoli ℤ-modul.
Tento proces umožňuje koncipovat teorii komutativních grup jako konkrétní případ teorie modulů; v opačném směru lze určité výsledky uvedené v kontextu komutativních skupin zobecnit na větší třídy modulů, zejména na třídu modulů na hlavním kruhu . Recyklace důkazu věty o struktuře abelianských skupin konečného typu tedy umožňuje dokázat analogickou větu platnou pro jakýkoli hlavní kruh, použitelnou pro všechny ostatní otázky - zejména klasifikaci s podobností v blízkosti matic s koeficienty v a komutativní pole .
Volnou abelianskou skupinu nazýváme abelianskou skupinou, která je zdarma jako ℤ -modul (a nikoli jako skupina ), to znamená, že má základnu .
Stejně jako vektorové prostory jsou volné abelianské skupiny klasifikovány (až do izomorfismu ) podle jejich hodnosti, definované jako kardinál základny, a jakákoli podskupina volné abelianské skupiny je sama volným abelianem. Jakákoli abelianská skupina je proto izomorfní s kvocientem volné abelianské skupiny volnou abelianskou podskupinou.
Jsou to podle definice abelianské skupiny, které mají konečnou generující část : tedy zejména konečné abelianské skupiny a sítě euklidovského prostoru.
Konečné produkty, kvocienty, ale také podskupiny abelianských skupin konečného typu jsou samy konečným typem. Věta struktura abelian skupin konečného typu umožňuje upřesnit úplný seznam těchto skupin až izomorfismus; zejména ukazuje, že jakákoli abelianská skupina konečného typu je konečným produktem cyklických skupin . Zejména abelianská skupina konečného typu, která nemá žádný prvek konečného řádu (kromě neutrálního), je bez abelianů.
O abelianské skupině G se říká, že je dělitelná, když pro jakékoli celé číslo n > 0, G = nG . Jeho archetypy jsou aditivní skupina ℚ racionálních čísel a skupiny p - Prüfer . Věta struktura dělitelný Abelovské skupin ukazuje, že jakýkoliv dělitelné skupina je přímá součet (konečný nebo nekonečný) kopií těchto modelů.
Kategorie všech abelian skupin je prototypem abelian kategorii .
Wanda Szmielew (de) , studentka Tarského , v roce 1955 demonstrovala, že teorie prvního řádu abelianských skupin je rozhodující (na rozdíl od teorie skupin prvního řádu).
(en) László Fuchs (en) , Abelian Groups , Pergamon Press ,1960, 3 e ed. ( 1 st ed. 1958) ( číst on-line )