Přesná kategorie

Přesná kategorie , někdy nazývaný přesný „v tom smyslu, Quillen “ rozlišovat pravidelné kategorie (in) (přesný „ve smyslu Barr (in) “) a abelian kategorií (přesný „v tom smyslu, že Buchsbaum (in) “) , je kategorie zahrnující a zobecňující pojem přesné posloupnosti a přesného funktoru .

Přesné kategorie představil Daniel Quillen jako součást algebraické K-teorie .

Definice

Nechť B je abelianská kategorie . Přesná kategorie je přísada podkategorii plné B , viděn jako údajů o doplňkové kategorie A a třídy E z krátkých přesných sekvencí , které splňují řadu axiomů upřesněním omezení na tuto třídu. Předpokládá rozšíření stabilní, to znamená, že pokud X a Z jsou v A, a že dále X → Y → Z je správné, pak Y je v A .

V krátké přesné posloupnosti , kde a posloupnost se nazývá konflace, f se nazývá inflace (nebo přípustný monomorfismus ) ag se nazývá deflace (nebo přípustný epimorfismus ). Všimli jsme si: $X {\ stackrel {f} {\ to}} Y {\ stackrel {g} {\ to}} Z$ ${\ displaystyle (X, f) = ker (g)}$ ${\ displaystyle (Z, g) = koksovatel (f)}$

X {\ stackrel {f} {\ rightarrowtail}} Y {\ stackrel {g} {\ twoheadrightarrow}} Z

Axiomy uvedené Quillenem jsou:

(QE1) E je stabilní izomorfismem a obsahuje všechny rozdělené přípony, to znamená sekvence formuláře . Kromě toho je pro všechny pokračování deflace jádrem inflace a inflace je jádrem deflace; $X \ až X \ oplus Y \ až Y$
(QE2) Deflace (respektive inflace) jsou stabilní složením a libovolnou změnou báze (respektive co-base);
(QE3) Pokud má morfismus M → P jádro a může faktorizovat deflaci N → P (tj. Máme N → M → P ), pak jde o deflaci samotnou. Symetricky, pokud morfismus I → K má jádro a ovlivňuje inflaci I → J (tj. Máme I → K → J ), pak jde o inflaci.

Bylo prokázáno, že poslední axiom je důsledkem prvních dvou. Yoneda již ukázal tento výsledek, který našel Keller v roce 1990. Nyní se tomu říká „temný axiom“.

Existuje několik různých axiomatizací, ale základní myšlenkou je napodobit obvyklé chování krátkých přesných sekvencí v abelianských kategoriích. To, že je tohoto cíle dosaženo, je výsledkem Quillen- Gabrielovy věty .

O funktoru F: A → C z jedné přesné kategorie do druhé se říká, že je přesný, když pro jakoukoli krátkou přesnou posloupnost A

X {\ stackrel {f} {\ rightarrowtail}} Y {\ stackrel {g} {\ twoheadrightarrow}} Z

následující

F (X) \ až F (Y) \ až F (Z)

sada přesných C .

Věta Quillen-Gabriel

Pro jakoukoli malou přesnou kategorii ( A , E ) existuje vložení do abelianské kategorie B , takže E přesně odpovídá třídě krátkých přesných sekvencí v B (v obvyklém smyslu krátké přesné sekvence v abelianské kategorii) . $A \ hookrightarrow B$

Příklady

Podle Quillen-Gabrielovy věty je jakákoli abelianská kategorie zvláště přesná.
Nechť X je diagram , kategorie algebraických vektorových svazků na X je přesná kategorie, množina E je tvořena lokálně rozdělenými krátkými přesnými sekvencemi.

Související články

Reference

Theo Bühler , „ Přesné kategorie “, Expositions Mathematicae , sv. 28, n o 1,2010, str. 1–69 ( ISSN 0723-0869 , DOI 10.1016 / j.exmath.2009.04.004 , číst online , přístup k 9. února 2019 )

(en) Theo Bühler , „ Přesné kategorie “ , Expositions Mathematicae , sv. 28, n o 1,2010, str. 1-69 ( číst online )
(en) Dieter Happel , Triangulované kategorie v reprezentaci konečných dimenzionálních algeber , sv. 119, Cambridge University Press,1988
(en) Bernhard Keller , „ Řetězové komplexy a stabilní kategorie “ , Manuscripta Mathematica , sv. 67,1990, str. 379-417 ( DOI 10.1007 / BF02568439 )
(en) Daniel Quillen , „Vyšší algebraická K-teorie: já“ , Hyman Bass , Vyšší K-teorie , Springer, kol. "Lecture Notes in Mathematics" ( n O 341),1972( ISBN 978-3-540-06434-3 , DOI 10.1007 / BFb0067053 ) , s. 85-147 DOI : 10,1007 / BFb0067053