Obohatená kategorie

Kategorie obohacený na monoidal kategorie , nebo -category je rozšíření matematického konceptu kategorie , kde morfizmy namísto tvořit třídu nebo sadu bez struktury, jsou prvky . ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$

Motivace

Koncept obohacené kategorie vychází z pozorování, že v mnoha situacích mají morfismy přirozenou strukturu vektorového nebo topologického prostoru . Kategorie musí být monoidální, aby bylo možné definovat složení morfismů, které se v tomto případě nazývají hom-objekty namísto hom-množin. ${\ mathcal {M}}$

Definice

Kategorie, obohacený o , kde je monoidal kategorie , jsou údaje z následujících prvků: $\ mathcal C.$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$

Sada objektů ; ${\ displaystyle \ mathrm {Obj} ({\ mathcal {C}})}$
Pro jakoukoli dvojici objektů x , y , objekt zvaný hom-objekt a známý ; ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathrm {hom}} (x, y)$
Pro jakýkoli triplet předmětů , morfismus v , řekl složení: $\ mathcal C.$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathrm {hom}} (b, c) \ otimes {\ mathrm {hom}} (a, b) \ do {\ mathrm {hom}} (a, c)$
Pro jakýkoli objekt de , v tak- zvané totožnosti morfismu , kde $1$ je jednotka tensor produkt $\ mathcal C.$ ${\ mathsf {id_ {a}}}: 1 \ to {\ mathrm {hom}} (a, a)$ ${\ mathcal {M}}$
Komutativní diagramy odpovídající asociativitě kompozice a dobrému chování morfismů identity v této kompozici.

Příklady

Kategorii obohacený o Set kategorii souborů není nic jiného než místně malé skupiny (v obvyklém slova smyslu) ;
Kategorie obohacená o Top kategorii topologických prostorů je topologická kategorie (en) ;
Kategorie obohacená o kategorii zjednodušených množin je kategorie zjednodušeně obohacená (v) :
Kategorie obohacená o kategorii kategorií Cat je přísná kategorie 2 .

Reference

(en) Max Kelly , Základní koncepty teorie obohacené kategorie , sv. 64, Cambridge University Press, kol. "Lecture Note Series London Mathematical Society",1982
(en) Saunders Mac Lane , Kategorie pro Working Mathematician [ detail vydání ]