Střed setrvačnosti
Centrum setrvačnosti objektu, nebo těžiště , je bod v prostoru, kde se uplatňují účinky setrvačnosti, to znamená, že variační vektoru hybnosti . V případě, že hmotnost systému je konstantní, který budeme předpokládat, pro jednoduchost později, poté , bytí zrychlení . Je to také bod, kde se aplikuje vektorová setrvačná síla vyplývající z akcelerace tréninku v případě negalilského referenčního rámce.
dp→dt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}}}dp→dt=mna→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}} = m {\ vec {a}}}na→{\ displaystyle {\ vec {a}}}
Pokud chceme objekt otočit kolem osy daného směru, pak osou, pro kterou musí být vynaloženo nejmenší úsilí, je osa procházející středem setrvačnosti. Pokud osa otáčení neprochází středem setrvačnosti, generuje to v systému vibrace; je „ nevyvážený “.
V případě, že lze uvažovat pole rovnoměrné gravitace , je střed setrvačnosti zaměňován s těžištěm . Označíme to G.
G→{\ displaystyle {\ vec {g}}}
Historický
Důležitost konceptu
Naklonění předmětu vystaveného zrychlení
Vezměme si vozidlo vybavené odpružením - motocykl, auto, autobus… - které brzdí. Přední část vozidla je vidět ponořená. Naopak, i když je to méně viditelné, při lineárním zrychlení vozidla se přední část zvedne, což například umožňuje jednostopým vozům vyrábět zadní kola .
V zatáčce se čtyřkolová vozidla naklánějí ven ze zatáčky; jednostopá vozidla se musí naklonit dovnitř, aby nespadla.
Pokud je předmět položen na podlahu vozidla, může jakékoli zrychlení v širším slova smyslu - zvýšení nebo snížení rychlosti, změna směru - způsobit jeho pád.
K popisu těchto účinků v rotaci je nutné umět definovat bod aplikace účinků setrvačnosti. V analytické statice je základní princip dynamiky rotace vyjádřen obecně ve srovnání s těžištěm (protože jeden má obecně moment setrvačnosti ve srovnání s G), tento účinek setrvačnosti je poté maskován od svého okamžiku vzhledem k tomuto bod je nula. To neplatí, pokud vezmeme v úvahu okamžik ve vztahu k jinému bodu, nebo pokud chceme použít metody grafického rozlišení.
U statické nebo dynamické studie lze navíc libovolnou objemovou sílu vyvíjenou jednotným způsobem modelovat silovým vektorem působícím na střed setrvačnosti. To je například případ předmětu vyrobeného z feromagnetického materiálu v rovnoměrném magnetickém poli .
Rotace kolem pevné osy
Uvažujme disk, který chceme otáčet kolem osy Δ kolmé k jeho ploše, upevněné v galileovském referenčním rámci. Pro vytvoření daného úhlového zrychlení α je síla, která má být poskytnuta, menší, pokud osa Δ prochází středem setrvačnosti (obrázek vlevo), než když je excentrická (obrázek vpravo). Výsledkem je Huygensova věta pro výpočet momentu setrvačnosti .
Na druhou stranu, pokud během setrvačnosti není střed setrvačnosti na ose, znamená to, že osa musí vyvíjet sílu na disk, aby vytvořila dostředivé centrální zrychlení . Tato síla rotující s objektem vytváří vibrace. Tyto vibrace mohou být vytvářeny dobrovolně, například pro vibrátory , nebo mohou být nedobrovolné, v takovém případě jsou škodlivé: způsobují hluk, předčasné opotřebení, uvolňování šroubovaných prvků, jev únavy, který může vést k prasknutí osy , ...
Pro rotující objekt je tedy znalost polohy středu setrvačnosti nezbytná pro určení ideální osy rotace, zejména při vysokých frekvencích rotace.
Určení polohy středu setrvačnosti
Pro soustavu n diskrétních hmotných bodů s jejich hmotností (M i , m i ) 1 ≤ i ≤ n je střed setrvačnosti barycentrum hmot
ÓG→=1m∑i=1nemiÓM→i{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {m}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} }} _ {i}}s m = ∑ m i . Má tedy všechny vlastnosti barycentra s přísně kladnými váhovými koeficienty, zejména:
- těžiště dvou bodů (M 1 , m 1 ) a (M 2 , m 2 ) leží v otevřeném úsečce] M 1 M 2 [;
- nechť tři hmotné body (M i , m i ) 1 ≤ i ≤ 3 těžiště G; pokud G 1, 2 je těžiště (M 1 , m 1 ) a (M 2 , m 2 ), pak G je těžiště (G 1, 2 , m 1 + m 2 ) a ( M 3 , m 3 ).
Pokud v ortonormálním souřadnicovém systému označíme v kartézských souřadnicích souřadnice bodů M i ( x i , y i , z i ) a G ( x G , y G , z G ), pak to dává
{XG=∑miXimyG=∑miyimzG=∑mizim{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} x_ {i}} {m}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} y_ {i}} {m}} \\ & z _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} z_ { i}} {m}} \\\ end {matrix}} \ vpravo.}Pro spojitý objekt hustoty, uniformní nebo ne, ρ (M), máme
Σ{\ displaystyle \ Sigma}
{XG=∫Σρ(M)XdPROTImyG=∫Σρ(M)ydPROTImzG=∫Σρ(M)zdPROTIm{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) x \ mathrm {dV} } {m}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) y \ mathrm {dV}} {m}} \ \ & z _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) z \ mathrm {dV}} {m}} \\\ end {matrix} } \ že jo.}s . Pokud je hustota ρ stejnoměrná, pak
m=∫Σρ(M)dPROTI {\ displaystyle m = \ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} ~}
{XG=∫ΣXdPROTIPROTIyG=∫ΣydPROTIPROTIzG=∫ΣzdPROTIPROTI{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} x \ mathrm {dV}} {\ mathrm {V}}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} y \ mathrm {dV}} {\ mathrm {V}}} \\ & z _ {\ mathrm {G} } = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} z \ mathrm {dV}} {\ mathrm {V}}} \\\ end {matrix}} \ right.}s . Středem setrvačnosti je tedy „geometrický střed“, to znamená barycentrum, vzhledem k tomu, že všechny body objektu mají stejnou váhu ( izobarycentrum ).
PROTI=∫ΣdPROTI {\ displaystyle \ mathrm {V} = \ int _ {\ Sigma} \ mathrm {dV} ~}
Některý počítačově podporovaný kreslicí software typu 3D model vypočítává střed setrvačnosti nakresleného objektu sám za předpokladu jednotné hustoty. Například :
- ve verzi SolidWorks 2008 je poloha těžiště, nazývaná „těžiště“, získána z nabídky Outils > Propriétés de masse.
Metody stanovení v jednoduchých případech i grafické a experimentální metody jsou popsány v článku Těžiště # Stanovení těžiště , protože ve většině případů je střed setrvačnosti zaměňován s těžištěm.
Dynamické vlastnosti
Dovolit být systém, který může být diskrétní nebo spojitý, nedeformovatelný nebo deformovatelný. Trajektorie těžiště G tohoto systému je určena zvážením vnějších sil působících na Σ, to znamená sil vnějších vůči Σ, které působí na každý z prvků Σ. Síly mezi prvky systému nezasahují. Takže máme
mna→G=∑F→EXt/Σ{\ displaystyle m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}} = \ součet {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext} / \ Sigma}}kde m je celková hmotnost Σ.
Tak například, pokud skořápka exploduje za letu a zanedbá se tření vzduchu, potom trajektorie těžiště všech fragmentů sleduje stejnou trajektorii, jako kdyby byla skořápka neporušená.
Demonstrace
Případ dvou hmotných bodů
Studium hmotného bodu (G, m )
Umístíme se do galileovského referenčního rámce R g referenčního . Uvažujme dva samostatné body materiálu (M 1 , m 1 ) a (M 2 , m 2 ). Bod M 1 je vystaven silám, jejichž výsledek - vektorový součet - je zaznamenán ; stejným způsobem označte výslednice sil na M 2 . Systém Σ je množina dvou hmotných bodů: Σ = {(M 1 , m 1 ); (M 2 , m 2 )}; prostředí tohoto systému je označeno Σ („ doplňkové k sigmě“).
(Ó,X→,y→,z→){\ displaystyle (\ mathrm {O}, {\ vec {x}}, {\ vec {y}}, {\ vec {z}})}F→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1}}F→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}}
Aplikujme základní princip dynamiky na každý materiální bod:
{m1na→1= F→1m2na→2= F→2{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} m_ {1} {\ vec {a}} _ {1} = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} \\ m_ { 2} {\ vec {a}} _ {2} = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} \\\ konec {zarovnáno}} \ vpravo.}Zrychlení těžiště je
na→G=d2dt2ÓG→=1md2dt2(m1ÓM→1+m2ÓM→2)=1m(m1na→1+m2na→2){\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} {\ overrightarrow { \ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {m}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} (m_ {1} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} _ {1} + m_ {2} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} _ {2}) = {\ frac {1} {m}} (m_ { 1} {\ vec {a}} _ {1} + m_ {2} {\ vec {a}} _ {2})}je
mna→G=m1na→1+m2na→2=F→1+F→2{\ displaystyle m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}} = m_ {1} {\ vec {a}} _ {1} + m_ {2} {\ vec {a}} _ {2 } = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}}.
Je tedy vidět, že těžiště se chová jako hmotný bod hmoty m = m 1 + m 2, který by podléhal všem silám působícím na hmotné body systému Σ. Střed setrvačnosti proto umožňuje zjednodušit studium systému.
F→1+F→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}}
Výsledek akcí vyvíjených na hmotný bod M 1 lze rozdělit na :
F→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1}}F→1=F→EXt/1+F→2/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} + {\ vec {\ mathrm {F} }} _ {2/1}}
-
F→EXt/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}}}je výsledkem akcí prováděných vnějškem systému Σ na M 1 ; je také uvedeno , nebo ;F→Σ¯/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {{\ bar {\ Sigma}} / 1}}}F→EXt→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext \ až 1}}}F→Σ¯→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {{\ bar {\ Sigma}} \ až 1}}}
-
F→2/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1}}je výsledkem působení M 2 na M 1 ; to může být přitažlivost, elektrostatické, kontaktní působení (tahem prostřednictvím kabelu, přímé tlačení nebo prostřednictvím baru, ...); je to také uvedeno .F→2→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2 \ až 1}}
Stejně tak se rozkládáme . Podle zásady vzájemnosti (třetí Newtonův zákon) máme
F→2=F→EXt/2+F→1/2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 2}} + {\ vec {\ mathrm {F} }} _ {1/2}}
F→2/1=-F→1/2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1} = - {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1/2}}.
Z toho vyplývá, že
F→1+F→2=F→EXt/1+F→2/1+F→EXt/2+F→1/2=F→EXt/1+F→EXt/2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 2}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1/2} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ { \ mathrm {ext / 2}}}.
Výsledek akcí vyvíjených na těžiště Σ se redukuje na akce mimo. Síly vnitřní v systému the, akce mezi M 1 a M 2 , „zmizí z rozvahy“
Můžeme tedy studium zjednodušit studiem hmotného bodu (G, m ) jako náhrady množiny Σ = {(M 1 , m 1 ); (M 2 , m 2 )}. Mechanické akce působící na (G, m ) jsou vnější akce vyvíjené na Σ, to znamená akce
Σ na Σ.
Rozšíření případu n bodů se provádí zvážením matematických vlastností barycentra.
Studium hmotných bodů (M 1 , m 1 ) a (M 2 , m 2 ) v referenčním rámci těžiště
Umístíme se nyní do referenčního rámce těžiště R 'referenčního . Hmotné body podstupují síly setrvačnosti a . Výsledek sil na hmotném bodě M 1 se zapíše:
(G,X→,y→,z→){\ displaystyle (\ mathrm {G}, {\ vec {x}}, {\ vec {y}}, {\ vec {z}})}F→Já1=-m1na→G{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {I1}} = - m_ {1} {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}}}F→Já2=-m2na→G{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {I2}} = - m_ {2} {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}}}
F→R1= F→1+F→Já1= F→1-m1m(F→1+F→2)= 1m(mF→1-m1F→1-m1F→2)= 1m(m2F→1-m1F→2){\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {I1}} \\ = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} - {\ frac {m_ {1}} {m}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}) \\ = \ & {\ frac {1} {m}} (m {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}} } _ {2}) \\ = \ & {\ frac {1} {m}} (m_ {2} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec { \ mathrm {F}}} _ {2}) \\\ end {zarovnáno}}}.
U věcného bodu M 2 se to píše:
F→R2=1m(m1F→2-m2F→1){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}} = {\ frac {1} {m}} (m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} -m_ {2} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1})}.
Vidíme, že v tomto odkazu a priori ne Galilean, jsou hmotné body vystaveny protichůdným silám a výsledné stejné intenzitě .
F→R1=-F→R2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} = - {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}}
Všimněte si, že zde,
F→R1=F→2/1+1m(m2F→EXt/1-m1F→EXt/2){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1} + {\ frac {1} {m} } (m_ {2} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} -m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 2}})}jak studujeme „uvnitř“ systému Σ, je normální, že najdeme akce uvnitř Σ.
Případ nedeformovatelného tělesa
Pokud jsou materiálové body spojeny nedeformovatelným pruhem zanedbatelné hmotnosti - vzdálenost M 1 M 2 je konstantní -, pak Σ představuje to, co se nazývá „nedeformovatelné těleso“. V referenčním rámci těžiště R 'má těleso Σ rotační pohyb kolem okamžité osy procházející G, protože vzdálenosti GM 1 a GM 2 jsou také konstantní - orientace osy se může časem měnit. Lze tedy definovat okamžitý vektor úhlové rychlosti tak, že rychlost materiálových bodů v R 'má hodnotu:
ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}
proti′→1=M1G→∧ω→{\ displaystyle {\ vec {v '}} _ {1} = {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ klín {\ vec {\ omega}}}
proti′→2=M2G→∧ω→{\ displaystyle {\ vec {v '}} _ {2} = {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {2} G}}} \ klín {\ vec {\ omega}}}
a vektorové okamžité úhlové zrychlení , jako jsou zrychlení, která jsou redukována na jejich tangenciální složku, hmotných bodů v R 'má hodnotu:
α→{\ displaystyle {\ vec {\ alpha}}}
na′→1= ddtproti′→1= ddt(M1G→∧ω→)= ddt(M1G→)∧ω→+M1G→∧ddtω→= -proti′→1∧ω→+M1G→∧α→= M1G→∧α→{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ vec {a '}} _ {1} = \ & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {v'} } _ {1} \\ = \ & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ klín {\ vec {\ omega}}) \\ = \ & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}}) \ klín { \ vec {\ omega}} + {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ klín {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {\ omega }} \\ = \ & - {\ vec {v '}} _ {1} \ wedge {\ vec {\ omega}} + {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ alpha}} \\ = \ & {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ klín {\ vec {\ alpha}} \ end {zarovnáno}}}a totéž
na′→2=M2G→∧α→{\ displaystyle {\ vec {a '}} _ {2} = {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {2} G}}} \ klín {\ vec {\ alfa}}}.
Okamžik síly vzhledem k G je zapsán:
F→R1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}}
M→G(F→R1)= GM→1∧F→R1= m1GM→1∧na′→1= m1GM→1∧(M1G→∧α→)= m1GM12αhřích(M1G→,α→)⋅u→= m1GM12hřích(M1M2→,α→)α⋅u→{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) = \ & {\ overrightarrow {\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} \\ = \ & m_ {1} {\ overrightarrow {\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge {\ vec {a '}} _ {1} \\ = \ & m_ {1} {\ overrightarrow {\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ alpha}}) \\ = \ & m_ {1} \ mathrm {GM} _ {1} ^ {2 } \ alpha \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ cdot {\ vec {u}} \\ = \ & m_ {1} \ mathrm {GM} _ {1} ^ {2} \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ alpha \ cdot {\ vec {u}} \ end {aligned}}}kde je jednotkový směrový vektor momentového vektoru. Pokud označíme R 1 = GM 1 a R 2 = GM 2 , máme:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
M→G(F→R1)=m1R12hřích(M1M2→,α→)α⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) = m_ {1} \ mathrm {R} _ {1} ^ {2} \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ alpha \ cdot {\ vec { u}}}a totéž
M→G(F→R2)=m2R22hřích(M1M2→,α→)α⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}) = m_ {2} \ mathrm {R} _ {2} ^ {2} \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ alpha \ cdot {\ vec { u}}}.
Říkáme moment setrvačnosti vzhledem k ose (Δ) = veličiny
(G,u→){\ displaystyle (\ mathrm {G}, {\ vec {u}})}
J Δ1 = m 1 R 1 2 sin ((M 1 M 2 ), (Δ))
J Δ2 = m 2 R 2 2 sin ((M 1 M 2 ), (Δ))
a tak máme
M→G(F→R1)=JΔ1α⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) = \ mathrm {J} _ {\ Delta 1} \ alpha \ cdot {\ vec {u}}}
M→G(F→R2)=JΔ2α⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}) = \ mathrm {J} _ {\ Delta 2} \ alpha \ cdot {\ vec {u}}}
Dva vektory mají stejnou orientaci, protože a jsou kolineární a reverzní, a a a jsou také kolineární a reverzní.
M1G→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}}}M2G→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {2} G}}}}F→R1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}}F→R2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}}
V referenčním rámci R 'je těleso Σ vystaveno celkovému momentu momentu
M→=M→G(F→R1)+M→G(F→R2)=(JΔ1+JΔ2)α⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} = {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) + {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}) = (\ mathrm {J} _ {\ Delta 1} + \ mathrm {J} _ {\ Delta 2}) \ alpha \ cdot {\ vec {u}}}.
Závěr
Dynamické studium systému Σ hmotných bodů (M 1 , m 1 ) a (M 2 , m 2 ) lze rozdělit na dvě části:
- studium hmotného bodu (G, m ) v galileovském referenčním rámci R g vystaveném výslednici sil vnějších k Σ;
- studium hmotných bodů (M 1 , m 1 ) a (M 2 , m 2 ) v referenčním rámci těžiště R ';
- v případě, že Σ je nedeformovatelné těleso, lze definovat moment setrvačnosti J Δ (v kg⋅m 2 ) ve srovnání s osou okamžitého úhlového zrychlení Δ, která popisuje rozložení hmotnosti objektu kolem osy, a která poskytuje rotaci rovnici podobnou základnímu principu translační dynamiky:
M→=JΔα→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} = \ mathrm {J} _ {\ Delta} {\ vec {\ alpha}}}.
Příklady
Ilustrujme zjednodušení, které přináší centrum setrvačnosti, dvěma konkrétními případy.
Prvním případem je systém {Slunce, Země, Měsíc} ( problém tří těles ) v heliocentrickém referenčním rámci: můžeme považovat Zemi a Měsíc za dva hmotné body,
- Země je vystavena přitažlivosti Slunce a přitažlivosti Měsíce ;F→S/T{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / T}}}F→L/T{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {L / T}}}
- Měsíc je vystaven přitažlivosti Slunce a přitažlivosti Země .F→S/L{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / L}}}F→T/L{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {T / L}}}
Pro zjednodušení studie považujeme systém {Země, Měsíc}, jako by to byl jediný objekt. Výsledek sil působících na střed setrvačnosti systému {Země, Měsíc} je tedy platný .
F→S/T+F→S/L{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / T}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / L}}}
Druhým případem jsou dva míčky {1; 2} spojené pevnou tyčí zanedbatelné hmotnosti v pozemském referenčním rámci.
- Míč 1 je vystaven své váze a působení druhého míče přenášeného tyčí ;P→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}}F→2/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1}}
- míč 2 je vystaven své váze a působení druhého míče přenášeného tyčí .P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}F→1/2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1/2}}
Pro zjednodušení studie považujeme systém {1; 2} jako by to byl jediný objekt. Výsledek akcí vyvíjených na těžiště {1; 2} se omezuje také na externí akce
.
P→1+P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}
Případ nedeformovatelného spojitého tělesa
Spojitá pevná látka Σ je definována její hustotou ρ (M), kde M je bod Σ. Vezmeme v úvahu prvek nekonečně malém objemu dV kolem M; představuje hmotný bod (M, ρ (M) dV). Střed setrvačnosti Σ je určen převzetím matematického těžiště bodů (M, ρ (M) dV), což je spojitá verze barycentra:
ÓG→=1m∫Σρ(M)ÓM→⋅dPROTI{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {m}} \ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} }} \ cdot \ mathrm {dV}}s
m=∫Σρ(M)dPROTI {\ displaystyle m = \ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} ~}.
Je napsán
základní princip překladu hmotného bodu (G, m ) v galileovském referenčním rámci R g
F→EXt/Σ=mna→G{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext} / \ Sigma} = m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}}}kde je výslednice vnějších sil působících na Σ.
F→EXt/Σ{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext} / \ Sigma}}
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">