Moment setrvačnosti

Tím, že objala paže po stranách, snižuje tato bruslařka svůj moment setrvačnosti a zvyšuje její rychlost otáčení, protože její moment hybnosti je zachován. Klíčové údaje

SI jednotky	kg m 2
Dimenze	M · L 2
Příroda	Tenzor velikosti je rozsáhlý
Obvyklý symbol	I , J Δ
Odkaz na jiné velikosti	$I = \ sum_i m_ {i} r_ {i} ^ 2$

Moment setrvačnosti je fyzikální veličina , která charakterizuje geometrii masy pevné látky, to znamená, že rozložení hmoty v něm. Rovněž kvantifikuje odpor proti nastavení rotace tohoto tělesa (nebo obecněji k úhlovému zrychlení ) a má pro rozměr M · L 2 (součin hmotnosti a čtverce délky, který je vyjádřen v kg m 2 v SI ). Je analogem tělesa setrvačné hmoty, které měří odpor tělesa vystaveného lineárnímu zrychlení .

V jednoduchém případě rotace hmoty kolem pevné osy je moment setrvačnosti vzhledem k této ose skalární veličina, která se objevuje ve výrazech pro moment hybnosti a kinetickou energii rotace této osy . Avšak v obecném případě rotace kolem osy, jejíž směr se časem mění, je nutné zavést symetrický tenzor druhého řádu, tenzor setrvačnosti. Vždy je možné zvolit systém os, známý jako hlavní osy setrvačnosti, takže reprezentativní matice tohoto tenzoru má diagonální tvar. Tři odpovídající momenty jsou hlavními momenty setrvačnosti . V konkrétním případě homogenního tělesa závisí pouze na geometrickém tvaru tohoto.

V mechanice materiálu se pro určení napětí v paprsku vystaveném ohybu někdy používá název „moment setrvačnosti“ . Jde pak o jiný fyzikální pojem, nazývaný také kvadratický moment , který má pro fyzikální veličinu L 4 (čtvrtá mocnina délky, vyjádřená v m 4 v SI).

Empirický přístup

Odolnost proti pohybu

Moment setrvačnosti je pro rotační pohyb analogií hmoty pro translační pohyb : odráží „odpor“, který těleso staví proti jeho uvedení do pohybu.

Tato obtíž je o to větší, v případě rotace tělesa, protože hmoty v něm jsou daleko od osy rotace. Takže například v případě koště vzatého do ruky uprostřed rukojeti ( viz obrázek naproti) je snazší provést otočení kolem osy rukojeti ( případ 1 ), než kolem naznačené příčné osy ( případ 2 ). Ve skutečnosti v druhém případě je kartáč, jehož relativní hmotnost vzhledem k rukojeti je důležitá, umístěn dále od osy otáčení než v prvním případě (existuje také asymetrie v rozložení hmot kolem „osy otáčení“ ). Pokud jde o rotující těleso, lineární rychlost bodu se zvyšuje úměrně k této vzdálenosti, je nutné při stejné úhlové rychlosti komunikovat větší kinetickou energii do vzdálených bodů. Proto je větší odpor koštěte otáčet se kolem příčné osy než kolem osy rukojeti.

Energie potřebná pro pohyb

V této analogii se energie potřebná k uvedení do pohybu transformuje (tak či onak) na kinetickou energii . V případě translačního pohybu je kinetická energie bodu hmotnosti m dána vzorcem . V případě rotace tělesa kolem pevné osy je možné ukázat, že celková kinetická energie má formu , kde termín je přesně moment setrvačnosti vzhledem k ose rotace, to znamená a forma podobná kinetické energii translačního pohybu . Moment setrvačnosti se tak jeví jako analog (inertní) hmotnosti tělesa v případě translačního pohybu, a proto souvisí s „odporem“ druhého tělesa, když je „otočen“. Ve skutečnosti je vysvětlení empirického jevu větší „odolnosti proti otáčení“ kartáče v závislosti na tom, zda volba axiální nebo příčné osy otáčení souvisí se skutečností, že moment setrvačnosti vůči ose v druhém případě je větší než v prvním. $E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2$ ${\ displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} J _ {\ Delta} \, \ omega ^ {2}}$ ${\ displaystyle J _ {\ Delta}}$

Identifikace a definice momentu setrvačnosti

Dovolit být těleso , považované za složené z několika hmotných bodů hmoty , jejichž vzájemné vzdálenosti jsou pevné. Tento systém je v rotačním pohybu kolem osy , fixované v referenčním studijním rámci, při úhlové rychlosti , která je stejná (v daném okamžiku) pro všechny body systému. Moment setrvačnosti kolem osy se pak přirozeně objeví ve výrazech pro kinetickou energii a moment hybnosti uvažovaného tělesa. $Střední}$ $střední}$ $\Delta$ $\ omega$ $\Delta$

Kinetická energie rotace

Kinetická energie je rozsáhlá veličina , to znamená, že její hodnota v komplexním systému je součtem hodnot na elementárních částech, celková kinetická energie uvažované pevné látky je proto vyjádřena ve formě:

{\ displaystyle E_ {k} = \ součet _ {i} {\ tfrac {1} {2}} m_ {i} v_ {i} ^ {2} = \ součet _ {i} {\ tfrac {1} { 2}} m_ {i} (\ omega r_ {i}) ^ {2} = {\ tfrac {1} {2}} \ omega ^ {2} \ sum _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2} \ {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ tfrac {1} {2}} J _ {\ Delta}. \ Omega ^ {2}}

${\ displaystyle r_ {i} = \ mathrm {H} _ {i} \ mathrm {M} _ {i}}$ , vzdálenost od bodu k ose otáčení ( označující projekci on ); ${\ displaystyle \ mathrm {M} _ {i}}$ $\Delta$ ${\ displaystyle \ mathrm {H} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M} _ {i}}$ $\Delta$
${\ displaystyle J _ {\ Delta} = \ součet _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2}}$ .

Tento výraz má zjevnou analogii s kinetickou energií pro hmotný bod (nebo těleso v překladu), kde je zapsán . V případě rotace je úhlová rychlost ω homologem lineární rychlosti v a moment setrvačnosti jako homolog hmotnosti m . Okamžik setrvačnosti však také závisí na rozložení hmot kolem osy a jeho hodnota proto závisí na volbě druhé. ${\ displaystyle E_ {k} = {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2}}$ $J_ \ Delta$ $\Delta$

Jako protějšek (inertní) hmoty pro rotaci tento termín odráží „odpor“ tělesa vůči jeho rotaci, jak je uvedeno v předchozím empirickém přístupu.

Kinetický moment otáčení tělesa

Stejným způsobem jako u kinetické energie a vzhledem k rozsáhlosti této veličiny je moment hybnosti tělesa vzhledem k jakémukoli bodu na ose vyjádřen ve formě za použití stejných notací jako dříve: ${\ displaystyle \ mathrm {O}}$

{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {\ mathrm {O}} = \ součet _ {i} m_ {i} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} _ {i}}} \ klín {\ vec { v}} _ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} ({\ overrightarrow {\ mathrm {OH} _ {i}}} + {\ vec {r}} _ {i}) \ klín { \ vec {v}} _ {i}}

Protože rychlost bodu je dána vztahem , složka momentu hybnosti kolineární s osou otáčení odpovídá druhému členu součtu a má tvar: ${\ displaystyle \ mathrm {M} _ {i}}$ $\ vec {v} _i = \ vec {\ omega} \ klín \ vec {r} _i$ $\Delta$

{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {\ Delta} = \ součet _ {i} m_ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ klín {\ vec {v}} _ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ wedge \ left ({\ vec {\ omega}} \ wedge {\ vec {r}} _ {i} \ right ) = \ sum _ {i} m_ {i} \ left (r_ {i} ^ {2} {\ vec {\ omega}} - ({\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {r}}) _ {i}) {\ vec {r}} _ {i} \ doprava) = \ doleva (\ suma _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2} \ doprava) {\ vec {\ omega }} = J _ {\ Delta} {\ vec {\ omega}}}

, protože hypotézou.

\ vec {\ omega} \ cdot \ vec {r} _i = 0

V obou případech se objeví charakteristická veličina, která závisí pouze na geometrii hmot tělesa, tzv. Moment setrvačnosti vzhledem k ose : $J_ \ Delta$ $\Delta$

J_ \ Delta = \ sum_i m_i r_i ^ 2

Poznámka : Je třeba poznamenat, že moment hybnosti tělesa v bodě osy otáčení není obecně kolineární s touto osou. Pouze v případě, že se osa otáčení shoduje s hlavní osou setrvačnosti tělesa, je tomu zejména v případě, že se jedná o osu materiálové symetrie tělesa, to znamená jak geometrickou osu symetrie, tak pro libovolnou dvojice symetrických bodů ve srovnání s ostatními , které budou kolineární s osou otáčení. Ve skutečnosti pak budeme mít ve srovnání s jakýmkoli bodem umístěným na ose otáčení. ${\ displaystyle {\ vec {L}} _ {\ mathrm {O}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O}}$ ${\ displaystyle (\ mathrm {M} _ {i}, \ mathrm {M} _ {j})}$ ${\ displaystyle m_ {i} = m_ {j}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} _ {\ mathrm {O}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} _ {\ mathrm {O}} = J _ {\ Delta} {\ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O}}$

Moment setrvačných jednotek

Díky své definici má moment setrvačnosti rozměry hmoty druhou mocninou délky nebo M · L 2 . Jeho jednotka v mezinárodním systému jednotek by proto mohla být přirozeně vyjádřena v kg ⋅ m 2 , což je jednotka, která nemá vlastní název.

Lze si však všimnout, že v tomto vztahu není rychlost otáčení ω vyjádřena v s −1 , ale v rad ⋅ s −1 . Nicméně, je definována jako poměr dvou délek, radian, považován za jednotku odvozenou z mezinárodního systému od 20 th generální konference BIPM je bezrozměrný v důsledku toho nemá žádný vliv na homogenitu rovnice s rozměry exprese kinetické energie . Nebylo by však špatné, kdyby byl moment setrvačnosti vyjádřen v kg ⋅ m 2 ⋅ rad −2 , ale tato volba je v praxi zachována jen zřídka. Jeho jediným zájmem by bylo připomenout, že se jedná o jednotku specificky spojenou s pohybem otáčení , stejně jako u všech jednotek, kde se objevuje radián . ${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} J _ {\ Delta}. \ omega ^ {2}}$

Zobecnění na jakoukoli pevnou látku

Prodloužením v tělese považovaném za spojitou sadu hmotných bodů ovlivněných hustotou se zapíše moment setrvačnosti: $X$ $\ rho$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} \ {\ přesahující {\ mathrm {def}} {=}} \ \ iiint d (x, \ Delta) ^ {2} \; \ mathrm {d} m = \ iiint d (x, \ Delta) ^ {2} \, \ rho \; \ mathrm {d} V}

nebo

$d (x, \ Delta)$ je vzdálenost mezi bodem a osou Δ; $X$
$\ mathrm dV$ je elementární objem kolem ; $X$
$\ mathrm dm$ je hmotnost tohoto elementárního objemu;
$\ rho$ je hustota kolem . $X$

Tato definice může mít také vektorovou podobu :

{\ displaystyle J _ {\ Delta} \ {\ nadměrné {\ mathrm {def}} {=}} \ \ iiint {\ bigl \ |} {\ vec {e}} _ {\ Delta} \ klín {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} {\ bigr \ |} ^ {2} \ mathrm {d} m = \ iiint {\ bigl \ |} {\ vec {e}} _ {\ Delta} \ klín {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} {\ bigr \ |} ^ {2} \, \ rho \; \ mathrm {d} V}

nebo

${\ displaystyle \ mathrm {O}}$ je bod na ose ; $\Delta$
${\ displaystyle \ mathrm {M}}$ je bod uvažovaného tělesa;
$\ vec {e} _ \ Delta$ je jednotkový vektor osy ; $\Delta$
$\ klín$ označuje součin a na euklidovské normu . ${\ displaystyle \ | \, \ |}$

Zobecnění na jakýkoli systém

Přesněji řečeno , pojem moment setrvačnosti je definován pouze tehdy, pokud lze kvantitu izolovat od vyjádření kinetické energie nebo momentu hybnosti otáčení, to znamená, pokud je úhel úhlu rychlosti stejný pro body systému v daném okamžiku. To platí pouze v případě modelu nedeformovatelného tělesa. $\ sum_ {i} m_ir_i ^ 2$

Předchozí definice se však může rozšířit na deformovatelný systém, protože nepředstavuje diferenciální rotaci nebo že lze zanedbávat účinek tohoto, takže je možné uvažovat, že všechny body systému mají v daném okamžiku stejnou úhlovou rychlost. Například kloubový systém, složený z několika pevných těles spojených dohromady vazbami, v rotaci kolem pevné osy, pokud jsou úhlové rychlosti otáčení mezi různými částmi malé ve srovnání s „globální“ úhlovou rychlostí otáčení. U deformovatelného systému však moment setrvačnosti již není konstantní v průběhu času.

Moment setrvačnosti a moment hybnosti

Ve srovnání mezi rotačním pohybem a translačním pohybem je moment hybnosti homologem kvantity pohybu a pro izolovaný systém je konzervativní velikostí.

Jak již bylo uvedeno výše, z definice momentu setrvačnosti vyplývá, že čím více jsou hmoty tvořící pevnou látku rozloženy daleko od osy otáčení, tím větší je moment setrvačnosti vzhledem k této ose. Vzhledem k tomu, že axiální složka momentu hybnosti se rovná momentu setrvačnosti vynásobenému jeho úhlovou rychlostí otáčení a kvůli jeho konzervativní povaze, pokud se moment setrvačnosti systému zmenší v důsledku vnitřní odchylky jeho geometrie, jeho úhel rychlost otáčení se musí zvýšit (a naopak).

Ledový bruslař tak během piruety přibližuje ruce k tělu . To má za následek snížení jeho momentu setrvačnosti, což při zachování momentu hybnosti znamená vyšší rychlost otáčení.

Stejně tak děti hrající si při otáčení turniketu běháním podél něj dosahují rychlosti otáčení omezené jejich úderem. Mohou však poté skočit na pohybující se turniket a poté se umístit do jeho středu, čímž se výrazně zvýší původně dosažená rychlost otáčení .

Obecný případ: tenzor setrvačnosti

Pojem moment setrvačnosti byl prokázán rotačním pohybem kolem pevné osy tělesa. Obecný pohyb tělesa vzhledem k jakémukoli referenčnímu rámci (R) lze však rozdělit na jeho střed setrvačnosti C (ovlivněný celkovou hmotností systému) a správný rotační pohyb kolem C v rámci referenčního bodu spojeného s tímto bodem, v překladu s ohledem na (R) , nazývaného barycentrický referenční rámec (uvedeno (R * ) )

Poté je možné vyjádřit jako dříve moment hybnosti a kinetickou energii vlastní systému, tj. Vyhodnotit v (R * ) , označeném příslušně a , což také umožňuje zvýraznit veličinu ne závislou pouze na geometrii hmot pevné látky a zobecnění předchozí představy, která již není redukována na skalární veličinu, ale bude představována tenzorem , tenzorem setrvačnosti (nazývaným také operátor nebo matice setrvačnosti). $\ vec {L} ^ *$ $E_c ^ *$

Identifikace a definice setrvačnosti tenzoru

Je napsána správná moment hybnosti tělesa s vektorem okamžité rotace : $\ vec {L} ^ *$ $\ vec {\ omega} (t)$

\ vec {L} ^ * = \ sum_ {i} m_i \ vec {r} _i \ wedge \ vec {v} _i ^ * = \ sum_ {i} m_i \ vec {r} _i \ wedge \ doleva (\ vec {\ omega} \ wedge \ vec {r} _i \ right) = \ sum_ {i} m_i \ left (r_i ^ 2 \ vec {\ omega} - \ left (\ vec {\ omega} \ cdot \ vec {r } _i \ right) \ vec {r} _i \ right)

Je možné vyjádřit například následující složku x v kartézských souřadnicích, která dává:

{\ displaystyle L_ {x} ^ {*} = \ součet _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2} \ omega _ {x} - \ součet _ {i} m_ {i} \ vlevo ( x_ {i} \ omega _ {x} + y_ {i} \ omega _ {y} + z_ {i} \ omega _ {z} \ doprava) x_ {i} = \ vlevo (\ součet _ {i} m_ {i} \ left (y_ {i} ^ {2} + z_ {i} ^ {2} \ right) \ right) \ omega _ {x} - \ left (\ sum _ {i} m_ {i} x_ {i} y_ {i} \ right) \ omega _ {y} - \ left (\ sum _ {i} m_ {i} x_ {i} z_ {i} \ right) \ omega _ {z}}

V tomto výrazu jsou faktory v závorkách představují v tomto pořadí na moment setrvačnosti pevné látky vzhledem k ose O x , poznamenali , a dva homogenní podmínky na moment setrvačnosti, zvané produkty setrvačnosti , poznamenat, a . Je možné napsat ve tvaru: ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {O} x}}$ $I_ {xy}$ $I_ {xz}$ $L_x$

{\ displaystyle L_ {x} = {\ begin {bmatrix} I _ {\ mathrm {O} x} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \ end {bmatrix}} {\ vec {\ omega}} }

a tím, že postupujeme stejným způsobem pro ostatní komponenty, konečně přichází vyjádření správného úhlového momentu ve formě:

\ vec {L} ^ * = \ bar {\ bar {I}} \ vec {\ omega}

s tenzorem (nebo operátorem) setrvačnosti, který je definován: $\ bar {\ bar {I}}$

{\ displaystyle {\ bar {\ bar {I}}} = {\ begin {bmatrix} I _ {\ mathrm {O} x} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \\ - I_ {xy} & I_ {\ mathrm {O} y} & - I_ {yz} \\ - I_ {xz} & - I_ {yz} & I _ {\ mathrm {O} z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ sum _ {i} m_ {i} (y_ {i} ^ {2} + z_ {i} ^ {2}) & - \ sum _ {i} m_ {i} x_ {i} y_ { i} & - \ sum _ {i} m_ {i} x_ {i} z_ {i} \\ - \ sum _ {i} m_ {i} x_ {i} y_ {i} & \ sum _ {i} m_ {i} (x_ {i} ^ {2} + z_ {i} ^ {2}) & - \ sum _ {i} m_ {i} y_ {i} z_ {i} \\ - \ sum _ { i} m_ {i} x_ {i} z_ {i} & - \ sum _ {i} m_ {i} y_ {i} z_ {i} & \ sum _ {i} m_ {i} (x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2}) \ end {bmatrix}}}

výraz, ve kterém jsou diagonální prvky momenty setrvačnosti tělesa vzhledem k různým osám a ne-diagonální prvky jsou produkty setrvačnosti . Podobně lze zapsat vlastní kinetickou energii . $E_c ^ * = \ tfrac {1} {2} \ vec {\ omega} \ cdot (\ bar {\ bar {I}} \ vec {\ omega})$

Je zřejmé, že záleží pouze na geometrii hmot tělesa. Z předchozích vztahů vyplývá, že v obecném případě vlastní moment hybnosti systému není kolineární s okamžitou osou otáčení, přičemž předchozí vztahy zobecňují vztahy získané v případě otáčení kolem pevné osy. $\ bar {\ bar {I}}$

Moment setrvačnosti vzhledem k nespecifikované ose, směr daný jednotkovým vektorem, je pak dán vztahem . ${\ vec {n}}$ $I = \ vec {n} \ cdot (\ bar {\ bar {I}} \ vec {n})$

Tenzorový charakter - hlavních os setrvačnosti $\ bar {\ bar {I}}$

Obecné vyjádření tenzoru

\ bar {\ bar {I}}

Je snadné ukázat, že tenzor opravdu je. Ve skutečnosti tím, že přijala notaci je možné si všimnout, že složka ze je kladen v následující podobě: $\ bar {\ bar {I}}$ $x_ {i, 1} = x_i, x_ {i, 2} = y_i, x_ {i, 3} = z_i$ $Já _ {\ alpha \ beta}$ $\ bar {\ bar {I}}$

I _ {\ alpha \ beta} = \ left (\ sum_ {i} m_ir_i ^ 2 \ right) \ delta _ {\ alpha \ beta} - \ sum_ {i} m_ix_ {i, \ alpha} x_ {i, \ beta}

První člen je součinem skaláru (moment setrvačnosti ve srovnání s bodem O ) tenzorem ( Kroneckerův tenzor ). Druhý člen odpovídá součtu, ve kterém každý člen odpovídá součinu skaláru (hmotnost m i ) o . Jedná se však o složky tenzoru vyplývající z tenzorového produktu vektoru samotného, tedy o složky tenzoru. V důsledku toho se skutečně jedná o tenzor řádu dva: bylo to nutné k zajištění invariance změnou souřadnicového systému předchozích výrazů a . Tento tenzor je zjevně symetrický. $\ sum_ {i} m_ir_i ^ 2$ $\ delta_ {ij}$ $T_ {i, \ alpha \ beta} = x_ {i, \ alpha} x_ {i, \ beta}$ $\ vec {r} _i$ $\ bar {\ bar {I}}$ $\ vec {L} ^ *$ $E_c ^ *$

Hlavní osy setrvačnosti a materiálové symetrie prvků tělesa

Vzhledem k jeho symetrickému charakteru je vždy možné zvolit osový systém tak, aby matice představující diagonální. Takové osy se nazývají hlavní osy setrvačnosti . Odpovídající momenty setrvačnosti se nazývají hlavní momenty setrvačnosti a jsou zaznamenány . Jejich hodnoty závisí na geometrickém tvaru tělesa a na rozložení hmoty v něm, tedy na výrazu, který má jeho hustota v každém bodě tělesa. Pro homogenní těleso je ρ konstantní a hlavní momenty setrvačnosti pak závisí pouze na geometrickém tvaru tělesa. $\ bar {\ bar {I}}$ $I_1, I_2, I_3$ $\ rho (\ vec {r})$

Obecně platí, že jakákoli pevná látka má tři různé hlavní momenty setrvačnosti, říká se jí asymetrická káča . Pokud jsou dva hlavní momenty setrvačnosti stejné, například se tělo nazývá symetrický vrchol , a pokud jsou všechny hlavní momenty stejné, sférický vrchol . Například jakýkoli homogenní rovnoběžnostěn bude asymetrický vrchol, kužel nebo homogenní válec symetrický vrchol a homogenní koule sférický vrchol. Země, kvůli jejímu zploštění na pólech, je také obecně považována za symetrický vrchol. $I_1 = I_2 \ neq I_3$

Přítomnost prvků materiálové symetrie výrazně zjednodušuje hledání hlavních os setrvačnosti. Ve skutečnosti za přítomnosti takových prvků se určité produkty setrvačnosti, přirozeně liché odrazy, navzájem ruší, což umožňuje snadno diagonalizovat reprezentativní matici . $\ bar {\ bar {I}}$

A (bod, přímka, rovina) symetrie prvek materiál je nejen prvek, proti kterému se pevná látka je geometricky symetrické, ale také na jeho hustotě, která má stejnou symetrii. Homogenní válec má tedy osu symetrie materiálu (jeho osu), kterou prochází nekonečno rovin materiálové symetrie, a také další rovinu symetrie materiálu, která je kolmá k jeho ose procházející středem válce. Na druhou stranu, pokud se válec skládá ze dvou půlválců, které jsou oba homogenní, ale mají různé hustoty, vedle sebe v rovině obsahující jejich osy, válec má stále předchozí rovinu materiálu symetrie, ale jeho osa již není osou symetrie materiálu. Na druhou stranu je společnou rovinou symetrie dvou půlválců vždy materiální rovina symetrie systému.

Je možné ukázat, s ohledem na předchozí výrazy setrvačných produktů, následující vlastnosti:

Libovolná materiálová osa symetrie je hlavní osou setrvačnosti;
Jakákoli osa kolmá na rovinu symetrie materiálu je hlavní osou setrvačnosti;

Homogenní válec má tedy jako hlavní osu setrvačnosti svoji osu i jakoukoli osu, která je na ni kolmá a prochází jejím středem. V důsledku toho jsou dva hlavní momenty setrvačnosti stejné a tenzor setrvačnosti má v této bázi následující podobu:

\ bar {\ bar {I}} = \ begin {bmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_1 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \ end {bmatrix}

. Jedná se tedy o symetrický vrchol. Vztah k kvadrupólovému okamžiku distribuce hmoty

Gravitační potenciální vytvořený jakýmkoliv rozdělením hmotných bodů mas se obecně sníží na tvaru, získané v případě, že hmotnostní distribuce s kulovým symetrie. Většina nebeských těles (hvězdy, planety atd.) Má však přibližně tuto symetrii a odchylky od sférickosti zůstávají malé. Tyto variace zjevně souvisejí s distribucí hmoty v masové distribuci, a proto musí být (alespoň pro první korekce) ve vztahu k tenzoru setrvačnosti distribuce (asimilován v pokračování na dokonalou pevnou látku): ve skutečnosti je možné snadno ukázat, že první nenulová korekce na sférickém potenciálu zahrnuje tenzorovou veličinu, tenzor kvadrupólového momentu distribuce hmoty, jehož složky jsou vyjádřeny jednoduchým způsobem podle tenzorů setrvačnosti. $Střední}$ $střední}$

Obecně platí, že ve velké vzdálenosti od distribuce hmoty může mít vytvořený potenciál podobu multipolárního vývoje : každý bod materiálu, který tvoří distribuci (celkové hmotnosti ), identifikovaný vektorem vzhledem k počátku O generuje v potenciálu $\ sum_i m_i = M$ $\ vec {r} _i = \ overrightarrow {OM_i}$ $\ vec {r} = \ overrightarrow {OM}$

\ phi_i (\ vec {r}) = - \ frac {Gm_i} {r} \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {r_i} {r} \ right) ^ k P_k (\ cos \ theta_i)

ve kterém je úhel mezi a a je Legendrovým polynomem řádu k . $\ theta_i$ $\ vec {r}$ $\ vec {r} _i$ $P_k (z)$

Stejně jako r >> r i je možné se omezit na první 3 termíny, které dávají:

\ phi_i (\ vec {r}) \ přibližně - \ frac {Gm_i} {r} \ vlevo (1+ \ frac {r_i \ cos \ theta_i} {r} + \ frac {r_i ^ 2 (3 \ cos ^ 2 \ theta_i-1)} {2r ^ 2} \ vpravo)

který se při zohlednění stává: $\ cos \ theta_i = \ frac {\ vec {r} _i \ cdot \ vec {r}} {rr_i}$

\ phi_i (\ vec {r}) \ přibližně - \ frac {Gm_i} {r} \ vlevo (1+ \ frac {\ vec {r} \ cdot \ vec {r} _i} {r ^ 2} + \ frac {(3 (\ vec {r} \ cdot \ vec {r} _i) ^ 2-r ^ 2r_i ^ 2)} {2r ^ 4} \ vpravo)

Potenciál vytvořený distribucí v M se rovná součtu potenciálů a každý ze tří termínů je poté vložen do formy: $\ phi_i (\ vec {r})$

Termín pořadí 0 nebo Polar : . Je to sféricky symetrický potenciál vytvořený bodovou hmotou M v počátku O ; $\ Phi ^ {(0)} (\ vec {r}) = - \ frac {GM} {r}$
člen řádu 1 nebo dipól : zlato, které jako původ vezme těžiště systému, a pojem dipól je nula; $\ Phi ^ {(1)} (\ vec {r}) = - \ frac {G \ vec {r}} {r ^ 3} \ cdot (\ sum_i m_i \ vec {r} _i)$ $\ sum_i m_i \ vec {r} _i = \ vec {0}$
Termín řádu 2 nebo kvadrupólu : . $\ Phi ^ {(2)} (\ vec {r}) = - \ frac {G} {2r ^ 5} \ sum_ {i} m_i \ left [3 \ left (\ vec {r} \ cdot \ vec { r} _i \ right) ^ 2-r ^ 2r_i ^ 2 \ right]$

Tento poslední člen je tedy první korekcí, a priori nenulovou, odrážející nesférickost gravitačního potenciálu vytvořeného hromadným rozložením hmoty na velké vzdálenosti. Součet nad i, který se v něm objeví, lze přepsat jako:

\ sum_ {i} m_i \ left [3 \ left (\ vec {r} \ cdot \ vec {r} _i \ right) ^ 2-r ^ 2r_i ^ 2 \ right] = \ vec {r} \ cdot (\ bar {\ bar {Q}} \ vec {r})

kde je kvadrupólový moment rozdělení hmoty: $\ bar {\ bar {Q}}$

\ bar {\ bar {Q}} = \ begin {bmatrix} 3 \ sum_i m_ix_i ^ 2- \ sum_i m_ir_i ^ 2 & 3 \ sum_i m_ix_iy_i & 3 \ sum_i m_i x_iz_i \\ 3 \ sum_i m_i x_iy_i & 3 \ sum_i m_iy_i ^ 2 - \ sum_i m_ir_i ^ 2 & 3 \ sum_i m_i y_iz_i \\ 3 \ sum_i m_ix_iz_i & 3 \ sum_i m_iy_iz_i & 3 \ sum_i m_i z_i ^ 2- \ sum_i m_i r_i ^ 2 \ end {bmatrix}

, Každá složka tohoto tenzoru je tedy uvedena ve formě: a vzhledem k obecnému vyjádření složek silného tenzoru setrvačnosti nakonec máme obecný výraz ,

Q _ {\ alpha \ beta} = 3 \ sum_i m_i x_ {i, \ alpha} x_ {i, \ beta} - \ delta _ {\ alpha \ beta} \ sum_i m_i r_i ^ 2

I _ {\ alpha \ beta} = \ left (\ sum_ {i} m_ir_i ^ 2 \ right) \ delta _ {\ alpha \ beta} - \ sum_ {i} m_ix_ {i, \ alpha} x_ {i, \ beta}

Q _ {\ alpha \ beta} = \ mathrm {Tr} (\ bar {\ bar {I}}) \ delta _ {\ alpha \ beta} -3I _ {\ alpha \ beta}

kde označuje stopu matice představující tenzor setrvačnosti, tj. součet jejích diagonálních členů.

\ mathrm {Tr} (\ bar {\ bar {I}})

Hlavní osy setrvačnosti, pro které je reprezentativní matice úhlopříčná, také tvoří základnu, ve které je také úhlopříčka, pro její složky jde o výraz . $\ bar {\ bar {I}}$ $\ bar {\ bar {Q}}$ $Q_ \ alpha = (I_1 + I_2 + I_3) -3I_ \ alpha$

V případě, že distribuce hmoty je sféricky symetrická, jsou si všechny hlavní momenty setrvačnosti stejné atd . Tento výsledek je fyzicky zřejmý a ve skutečnosti jsou v tomto případě všechny podmínky vyššího řádu předchozího multipolárního vývoje také nulové. $\ bar {\ bar {Q}} = 0$

Planeta jako Země se chová jako symetrický vrchol , jehož hlavní osa setrvačnosti podél Oz prakticky odpovídá její ose otáčení. V tomto případě je podle předchozích vzorců gravitační potenciál na velkou vzdálenost uveden ve tvaru: $I_1 = I_2 <I_3$

\ Phi (\ vec {r}) \ přibližně \ frac {-Gm} {r} + \ frac {GM_T (I_3-I_1)} {r ^ 3} \ vlevo [3 \ cos ^ 2 \ theta-1 \ vpravo ]

, kde je úhel mezi směrem a směrem hlavní osy setrvačnosti Oz .

\ theta

\ vec {r}

Elipsoid setrvačnosti

Moment setrvačnosti jakékoli pevné látky s tenzorem setrvačnosti vzhledem k jakékoli ose, jejíž směr je dán jednotkovým vektorem, je dán vztahem: $\ bar {\ bar {I}}$ ${\ vec {n}}$

{\ displaystyle I = {\ vec {n}} \ cdot ({\ bar {\ bar {I}}} {\ vec {n}})}

vyjádřením tohoto vztahu lze dát do podoby: $\ vec {\ rho} = \ frac {\ vec {n}} {\ sqrt {I}}$

{\ displaystyle {\ vec {\ rho}} \ cdot ({\ bar {\ bar {I}}} {\ vec {\ rho}}) = 1}

vysvětlením se složkami tohoto vektoru přijde rovnice elipsoidu : $(\ rho_x, \ rho_y, \ rho_z)$

{\ displaystyle I _ {\ mathrm {O} x} \ rho _ {1} ^ {2} + I _ {\ mathrm {O} y} \ rho _ {2} ^ {2} + I _ {\ mathrm {O} z} \ rho _ {3} ^ {2} + 2I_ {xy} \ rho _ {1} \ rho _ {2} + 2I_ {xz} \ rho _ {1} \ rho _ {3} + 2I_ {yz} \ rho _ {2} \ rho _ {3} = 1}

který má v hlavních osách setrvačnosti obzvláště jednoduchou formu:

I_1 \ rho_1 ^ 2 + I_2 \ rho_2 ^ 2 + I_3 \ rho_3 ^ 2 = 1

Tento elipsoid se nazývá setrvačný elipsoid . V případě symetrického vrcholu je to elipsoid revoluce a v případě sférického vrcholu koule. Tato představa má dnes obecně jen historický význam, je však zajímavé si všimnout, že hlavní osy setrvačnosti jsou hlavními osami elipsoidu setrvačnosti.

Zvláštní moment setrvačnosti

U následujících příkladů budeme uvažovat o homogenních ( konstantních) a hmotných tělesech . $\ rho$ $M$

Míč

U homogenní koule o poloměru a středu jsou momenty setrvačnosti ve středu koule vzhledem ke třem osám stejné. Můžeme tedy napsat: $R$ $Ó$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = {\ frac {1} {3}} (J _ {\ mathrm {O} x} + J _ {\ mathrm {O} y} + J _ {\ mathrm {O } z}) = {\ frac {1} {3}} \ int _ {V} [(y ^ {2} + z ^ {2}) + (z ^ {2} + x ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2})] \, \ mathrm {d} m = {\ frac {2} {3}} \ int _ {V} (x ^ {2} + y ^ {2 } + z ^ {2}) \, \ mathrm {d} m = {\ frac {2} {3}} \ int _ {V} r ^ {2} \, \ mathrm {d} m}

Označením hustotou tedy: $\ rho$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} m = \ rho \, 4 \ pi r ^ {2} \ mathrm {d} r}$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = {\ frac {2} {3}} \ int _ {0} ^ {R} r ^ {2} (\ rho \, 4 \ pi r ^ {2} \ mathrm {d} r) = {\ frac {8} {15}} \ pi R ^ {5} \ rho}

Protože hmotnost míče je , dostaneme: ${\ displaystyle M = {\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3} \ rho}$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = {\ frac {2} {5}} M \, R ^ {2}}

Koule (dutá)

U koule (v závorkách je koule povrch, tedy dutý), stejně jako u koule, jsou momenty setrvačnosti procházející jejím středem stejné. V tomto případě, pokud je jeho poloměr , máme: $R$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = {\ frac {2} {3}} MR ^ {2}}

Uzavřen

V případě tyče se zanedbatelným průřezem a délkou je moment setrvačnosti podél osy kolmé na tyč v jejím středu: $L$

J_ \ Delta = \ int _ {- L / 2} ^ {+ L / 2} x ^ 2 \ rho \, \ mathrm dx = \ frac {1} {12} \ rho L ^ 3 = \ frac {1} {12} ML ^ 2

, (s )

M = l

Zde vyjádřete lineární hustotu (hmotnost na jednotku délky). $\ rho$

To platí, pokud osa otáčení prochází středem lišty. Vzorec se liší, pokud osa otáčení prochází jejím koncem.

Náměstí

V případě postranního čtverce je moment setrvačnosti podél osy kolmé na rovinu čtverce ve středu: $na$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = \ int _ {- a / 2} ^ {+ a / 2} \ int _ {- a / 2} ^ {+ a / 2} (x ^ {2} + y ^ {2}) \ rho \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = {\ frac {\ rho} {6}} a ^ {4} = {\ frac {1} {6}} Ma ^ {2}}

, (s )

M = \ rho a ^ 2

Zde vyjádřete povrchovou hmotnost (hmotnost na jednotku plochy). $\ rho$

Obdélník

V případě obdélníku s dlouhou stranou a krátkou stranou je moment setrvačnosti podél osy kolmé k rovině obdélníku (zde osa Oz ) ve středu: $b$ $vs.$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = \ int _ {- b / 2} ^ {+ b / 2} \ int _ {- c / 2} ^ {+ c / 2} (x ^ {2} + y ^ {2}) \ rho (x, y) \, {\ mathrm {d}} x {\ mathrm {d}} y = {\ frac {\ rho} {12}} bc ^ {3} + {\ frac {\ rho} {12}} cb ^ {3} = {\ frac {1} {12}} M (b ^ {2} + c ^ {2})}

, (s )

M = \ rho př

Zde se vyjadřují povrchovou hmotnost (hmotnost na jednotku plochy) na homogenní povrch, takže nezávisí na x a y . Všimněte si, že pokud se vrátíme k případu čtverce. $\ rho$ ${\ displaystyle b = c}$

Rovnoběžnostěn

V případě rovnoběžnostěnu výšky , dlouhé strany a krátké strany , je moment setrvačnosti podél osy podél její výšky a ve středu stejný jako u obdélníku. Jinými slovy, výška rovnoběžnostěnu nehraje žádnou roli: $h$ $b$ $vs.$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = {\ frac {1} {12}} M (b ^ {2} + c ^ {2})}

Plný válec

K zjednodušení výpočtů budou použity válcové souřadnice . V případě válce o poloměru a výšce je moment setrvačnosti podél osy otáčení Oz válce: $R$ $h$

{\ displaystyle {J _ {\ Delta}} _ {z} = \ int _ {0} ^ {R} r ^ {2} \ rho 2 \ pi rh \, \ mathrm {d} r = {\ frac { 1} {2}} \ rho \ pi R ^ {4} h = {\ frac {1} {2}} MR ^ {2}}

, (s )

M = \ rho \ pi R ^ 2 h

Zde vyjádřete hustotu (hmotnost na jednotku objemu). $\ rho$

Je také možné určit moment setrvačnosti podél kterékoli osy Ox kolmé k ose otáčení Oz válce. To stojí za to:

{\ displaystyle {J _ {\ Delta}} _ {x} = {\ frac {MR ^ {2}} {4}} + {\ frac {Mh ^ {2}} {12}}}

Dutý válec

V případě dutého válce s vnitřním a vnějším poloměrem a výškou je moment setrvačnosti podél osy válce: $R_1$ $R_2$ $h$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = \ int _ {R_ {1}} ^ {R_ {2}} r ^ {2} (\ rho 2 \ pi rh \, \ mathrm {d} r) = 2 \ rho \ pi h \ left [{\ frac {r ^ {4}} {4}} \ right] _ {R_ {1}} ^ {R_ {2}} = {\ frac {1} {2}} \ rho \ pi h (R_ {2} ^ {4} -R_ {1} ^ {4}) = {\ frac {1} {2}} M (R_ {2} ^ {2} + R_ {1} ^ {2})}

, (kde je hmotnost válce )

M = \ rho \ pi h (R_2 ^ 2 - R_1 ^ 2)

Zde vyjádřete hustotu (hmotnost na jednotku objemu). $\ rho$

Kužel

U (pevného) kužele, jehož základna má poloměr , je jeho moment setrvačnosti podél jeho výšky: $R$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = {\ frac {3} {10}} MR ^ {2}}

, s .

{\ displaystyle M = \ rho \, {\ frac {\ pi R ^ {2} h} {3}}}

Všimněte si, že vyjádření momentu setrvačnosti jako funkce jeho hmotnosti a poloměru jeho základny nezávisí na výšce kužele.

Torus

Pro torus s parametry a je jeho moment setrvačnosti podél jeho osy otáčení: $R$ $r$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = M \ vlevo (R ^ {2} + {\ frac {3} {4}} r ^ {2} \ vpravo)}

Tenký prsten

U tenkého prstence (zanedbatelné tloušťky) o poloměru a lineární hustotě (hmotnost na jednotku délky) jsou všechny prvky ve stejné vzdálenosti od osy, proto: $R$ $\ mu$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = M \, R ^ {2} = (\ mu \, 2 \ pi R) R ^ {2} = 2 \ pi R ^ {3} \ mu}

Transportní věta (nebo Huygens-Steinerova věta)

Nechte osu procházet těžištěm hmotného objektu a osou rovnoběžnou a vzdálenou od ní . Při výpočtu jako před okamžikem setrvačnosti existuje vztah založený Christianem Huygensem známý pod větou o dopravě nebo teorémem Huygens nebo teorém Steiner nebo teorém o paralelní ose dává moment setrvačnosti ve funkci : $\Delta$ $M$ $\Delta'$ $\Delta$ $d$ $J _ {\ Delta '}$ $J_ \ Delta$

{\ displaystyle J _ {\ Delta '} = J _ {\ Delta} + M \, d ^ {2}}

K kinetické energii rotace specifické pro těleso se přidává kruhová „translace“ těžiště, kterému byla přiřazena celková hmotnost tělesa.

Okamžitým důsledkem Huygensovy věty je, že je levnější (v energii) otáčet těleso kolem osy procházející středem hmoty.

Poznámky a odkazy

Ve skutečnosti je nutně kolmá na , což je samo o sobě kolineární s osou , přičemž O se nachází na této ose. $\ overrightarrow {OH_ {i}} \ klín {\ vec {vb}} _ {i}$ $\ overrightarrow {OH_ {i}}$ $\Delta$
Rozlišení 8 20 th CGPM (1995) , bipm.org.
Toto je deformovatelný systém, ale u kterého můžeme uvažovat, že úhlová rychlost otáčení v daném okamžiku je stejná pro všechny body systému, srov. předchozí poznámka.
bruslař vydává tolik energie.
Viz zejména Perez, mechanika , 6 th vydání, Masson, Paříž 2001. Rozdělení na pohybu a setrvačnost vlastního pohybu středu v barycentrické odkazu je obecně pro všechny systémy pevnými body, jak je vyjádřeno v dvou vět Koenig pro momentu hybnosti a Kinetická energie. Charakterizuje pohyb tělesa skutečnost, že v daném okamžiku mají všechny jeho body stejný rotační vektor . Tento vektor okamžité rotace má „absolutní“ charakter: lze jej interpretovat jako vektor rotace mezi referenčním rámcem pevně spojeným s tělesem a barycentrickým referenčním rámcem, ale nebude upraven, pokud nebudeme uvažovat jiný referenční rámec, který není spojené s pevnou látkou: v tomto bodě viz Lev Landau a Evgueni Lifchits , Physique theorique , t. 1: Mechanika [ detail vydání ] $\ vec {\ omega} (t)$ odstavec §31.
Tyto dvě veličiny jsou psány a , s a vektoru rychlosti v místě vzhledem k barycentrické vztažné soustavě (R * ) . Je snadné ukázat, že správná momentová hybnost nezávisí na bodě zvoleném jako počátek. Nechť jakékoli dva body O a P skutečně přijdou okamžitě, protože podle vlastností středu setrvačnosti , kde C je stacionární v (R * ) . $\ vec {L} ^ * = \ sum_ {i} m_i \ vec {r} _i \ klín \ vec {v} _i ^ *$ $E_c ^ * = \ tfrac {1} {2} \ sum_ {i} m_iv_i ^ {* 2}$ $\ vec {vb} _i ^ *$ $Střední}$ $\ vec {L} _O ^ * = \ suma_ {i} m_i \ overrightarrow {OM_i} \ klín \ vec {v} _i ^ * = \ sum_ {i} m_i (\ overrightarrow {OP} + \ overrightarrow {PM_i}) \ wedge \ vec {v} _i ^ * = \ overrightarrow {OP} \ wedge \ left (\ sum_i m_i \ vec {v} _i ^ * \ right) + \ vec {L} _P ^ * = \ vec {L} _P ^ *$ $\ sum_i m_i \ vec {v} _i ^ * = (\ sum_i m_i) \ vec {v} _c ^ * = \ vec {0}$
Je snadné ověřit, že pokud se v prostoru udržuje pevný směr, například pokud se předchozí výrazy redukují na a . ${\ vec {\ omega}}$ $\ vec {\ omega} = \ omega (t) \ vec {e} _z$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} ^ {*} = I _ {\ mathrm {O} z} \ omega {\ vec {e}} _ {z} = I _ {\ mathrm {O} z} { \ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle E_ {c} ^ {*} = {\ tfrac {1} {2}} I _ {\ mathrm {O} z} \ omega ^ {2}}$
Viz například Lev Landau a Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 1: Mechanika [ detail vydání ], §32 a Herbert Goldstein, Charles P. Poole ml. A John L. Safko, klasická mechanika [ detail vydání ], kapitola 5.
nerozlišoval mezi kovariantní nebo kontravariantní složkou tenzoru, pokud funguje obecně v ortonormálním souřadném systému.
Zde se rozlišuje kvůli přesnosti mezi tenzorem , abstraktním matematickým objektem a maticí 3X3, která odpovídá jeho zápisu v dané základně, stejným způsobem, jako je nutné odlišit vektor od jeho složek v konkrétní základně, jejíž hodnoty závisí na volbě této základny. $\ bar {\ bar {I}}$
Viz tato označení, Landau, op. cit. a Goldstein, op. cit. .
Viz například Perez, op. cit. , kapitola 17.
Tato situace se velmi liší od distribuce náboje, kde se kvůli znakovým rozdílům kladná a záporná „centra náboje“ ne vždy shodují, a proto nelze dipolární člen eliminovat jednoduchou volbou původu.
Srov. Lev Landau a Evgueni Lifchits , Teoretická fyzika , t. 2: Field theory [ detail of editions ], kapitola 12 , §99.
Ten lze také napsat pomocí konvence sčítání na opakovaných Einsteinových indexech, jde o kontrakci tenzoru setrvačnosti, přirozeně invariantního. $Já _ {\ gamma \ gamma}$
Toto je rotující vršek „zploštělý na pólech“, takže materiál je „dále“ od osy Oz než od ostatních dvou os setrvačnosti, kolmých k ní obsažených v rovníkové rovině, odkud je větší hlavní moment setrvačnosti podle Oz . Rozdíl je však řádově pouze 0,3%.
Srov. Goldstein, op. cit. , kapitola 5 .
Gieck a Gieck 1997 , M3 (M23).
Romandesova komise pro matematiku, fyziku a chemii, formuláře a tabulky: matematika, fyzika, chemie , Éditions G d'Encre,března 2015, 290 s. ( ISBN 978-2-940501-41-0 ) , s. 140
Gieck a Gieck 1997 , I18 (I215).
Gieck a Gieck 1997 , M3 (m17a).
Gieck a Gieck 1997 , M3 (m17b).
Gieck a Gieck 1997 , M3 (M19).
Gieck a Gieck 1997 , M3 (M25).
Fascicle z University of Lutych, Fakulta aplikovaných věd, Odolnost materiálů a mechaniky tělesných cvičení, 1999, Pro. S. Cescotto (bod 3.B.)

Podívejte se také

Bibliografie

Perez, fyziky kurzy: mechanické - 6 th edition, Masson, Paříž, 2001, kapitola 17 ;
Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. a John L. Safko, Classical Mechanics [ detail vydání ], kapitola 5 ;
K. Gieck a R. Gieck ( překlad G. Bendit), technická forma , Gieck Verlag,1997;
Lev Landau a Evgueni Lifchits , teoretická fyzika , t. 1: Mechanika [ detail vydání ], kapitola 6 .

Související články

Moment setrvačnosti

Empirický přístup

Odolnost proti pohybu

Energie potřebná pro pohyb

Identifikace a definice momentu setrvačnosti

Kinetická energie rotace

Kinetický moment otáčení tělesa

Moment setrvačných jednotek

Zobecnění na jakoukoli pevnou látku

Zobecnění na jakýkoli systém

Moment setrvačnosti a moment hybnosti

Obecný případ: tenzor setrvačnosti

Identifikace a definice setrvačnosti tenzoru

Tenzorový charakter - hlavních os setrvačnostiJá¯¯{\ displaystyle {\ bar {\ bar {I}}}}

Elipsoid setrvačnosti

Zvláštní moment setrvačnosti

Míč

Koule (dutá)

Uzavřen

Náměstí

Obdélník

Rovnoběžnostěn

Plný válec

Dutý válec

Kužel

Torus

Tenký prsten

Transportní věta (nebo Huygens-Steinerova věta)

Poznámky a odkazy

Podívejte se také

Bibliografie

Související články

Tenzorový charakter - hlavních os setrvačnosti $\ bar {\ bar {I}}$