Trigonometrický kruh
V matematice se trigonometrické kruh je kruh používá k ilustraci a definovat pojmy jako úhel , rad a goniometrických funkcí : kosinus , sinus , tangenty . Toto je kruh, jehož poloměr je roven 1 a který je vystředěn na počátek souřadného systému v obvyklé rovině opatřené ortonormálním souřadným systémem .
Trigonometrické funkce v kruhu
Dovolit být ortonormální souřadnicový systém euklidovské roviny .
(Ó,já→,ȷ→){\ displaystyle (O, {\ vec {\ imath}}, {\ vec {\ jmath}})}![(O, \ vec {\ imath}, \ vec {\ jmath})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c279db56718556c553ce686767a37f7f328749a)
Nechť M je bod trigonometrického kruhu se souřadnicemi ( x , y ) a jeho přidruženým vektorem. Je-li reálné t měřítkem úhlu, pak
u→=ÓM→{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ overrightarrow {OM}}}
(já→,u→){\ displaystyle \ left ({\ vec {\ imath}}, {\ vec {u}} \ right)}
X=cos(t) a y=hřích(t){\ displaystyle x = \ cos (t) {\ text {et}} y = \ sin (t)}
.
a kartézská rovnice kruhu okamžitě dává známou trigonometrickou identitu :
cos2(t)+hřích2(t)=1{\ displaystyle \ cos ^ {2} (t) + \ sin ^ {2} (t) = 1 \, \!}![\ cos ^ 2 (t) + \ sin ^ 2 (t) = 1 \, \!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a912ff32588be615198cf75e49e9463b3f4cfa)
Kruh jednotek může také poskytnout intuitivní způsob, jak si uvědomit, že sinusové a kosinusové funkce jsou periodické funkce , které uspokojují vztahy:
∀t∈R∀k∈Zcos(t+2kπ)=cos(t) a hřích(t+2kπ)=hřích(t).{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R} \ quad \ forall k \ in \ mathbb {Z} \ quad \ cos (t + 2k \ pi) = \ cos (t) {\ text {a}} \ sin (t + 2k \ pi) = \ sin (t).}
Tyto rovnosti jsou interpretovány skutečností, že bod ( x , y ) zůstává stejný poté, co přidal nebo odečetl celočíselný násobek 2π, a tak provedl několik úplných otočení kruhu. Když jsou definovány z pravého trojúhelníku , hodnoty sinu, kosinu a dalších trigonometrických funkcí mají smysl pouze pro úhly mezi 0 a π / 2 rad , ale v trigonometrickém kruhu mají jejich hodnoty význam v jakémkoli reálném.
Úhloměr je měřicí přístroj zhmotnění trigonometrické kruh.
Pozoruhodné hodnoty
Centimální úhel
|
0 °
|
33,3 °
|
50 °
|
66,7 °
|
100 °
|
133,3 °
|
150 °
|
166,7 °
|
200 °
|
233,3 °
|
250 °
|
266,7 °
|
300 °
|
333,3 °
|
350 °
|
366,7 °
|
400 °
|
---|
Sexagesimální úhel
|
0
|
30 °
|
45 °
|
60 °
|
90 °
|
120 °
|
135 °
|
150 °
|
180 °
|
210 °
|
225 °
|
240 °
|
270 °
|
300 °
|
315 °
|
330 °
|
360 °
|
---|
Úhel v radiánech
|
0{\ displaystyle 0}
|
π6{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}}}
|
π4{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}
|
π3{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3}}}
|
π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
|
2π3{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {3}}}
|
3π4{\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {4}}}
|
5π6{\ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {6}}}
|
π{\ displaystyle \ pi}
|
7π6{\ displaystyle {\ frac {7 \ pi} {6}}}
|
5π4{\ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {4}}}
|
4π3{\ displaystyle {\ frac {4 \ pi} {3}}}
|
3π2{\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {2}}}
|
5π3{\ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {3}}}
|
7π4{\ displaystyle {\ frac {7 \ pi} {4}}}
|
11π6{\ displaystyle {\ frac {11 \ pi} {6}}}
|
2π{\ displaystyle 2 \ pi}
|
---|
Kosinus (osa x)
|
1{\ displaystyle 1}
|
32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}
|
22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}
|
12{\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}
|
0{\ displaystyle 0}
|
-12{\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}
|
-22{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}
|
-32{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}
|
-1{\ displaystyle -1}
|
-32{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}
|
-22{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}
|
-12{\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}
|
0{\ displaystyle 0}
|
12{\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}
|
22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}
|
32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}
|
1{\ displaystyle 1}
|
---|
Sinus (osa y)
|
0{\ displaystyle 0}
|
12{\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}
|
22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}
|
32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}
|
1{\ displaystyle 1}
|
32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}
|
22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}
|
12{\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}
|
0{\ displaystyle 0}
|
-12{\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}
|
-22{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}
|
-32{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}
|
-1{\ displaystyle -1}
|
-32{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}
|
-22{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}
|
-12{\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}
|
0{\ displaystyle 0}
|
---|
(Zájemci o úplnější tabulku se mohou podívat na přesné trigonometrické hodnoty v knihovně wikiversity)
Goniometrický kruh a polární sledování
Trigonometrická kružnice je jednoduchý speciální případ znázornění bodu M roviny v polárních souřadnicích . Pro dvojici kartézských složek ( x , y ) dosadíme dvojici ( r , θ), kde r je kladná vzdálenost od M k počátku a θ míra v radiánech orientovaného úhlu . Tento přístup poté umožňuje definovat trigonometrickou kružnici jako lokus bodů splňujících polární souřadnice r = 1.
(i→,ÓM→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ overrightarrow {OM}})}![{\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ overrightarrow {OM}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d0d2c0bac7b87402d4bb271e063d9d6ce2bc2d)
Podívejte se také
Jednotkový kruh
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">