Trigonometrická identita

Trigonometrické identity je vztah zahrnující goniometrické funkce , ověřených pro všechny možné hodnoty proměnných zapojených do vztahu. Tyto identity lze použít ke zjednodušení výrazu pomocí trigonometrických funkcí nebo k jeho transformaci za účelem výpočtu primitivní funkce. Představují proto užitečný „soubor nástrojů“ pro řešení problémů.

Trigonometrické funkce jsou definovány geometricky nebo analyticky . Hodně se používají při integraci k integraci „ne trigonometrických“ funkcí: obvyklý proces spočívá v provedení změny proměnné pomocí trigonometrické funkce a poté ke zjednodušení integrálu získaného pomocí trigonometrických identit.

Notace  : je-li ƒ trigonometrická funkce, ƒ 2 označuje funkci, která každému reálnému x spojuje druhou mocninu ƒ ( x ) . Například: cos 2 x = (cos x ) 2 .

Vztahy mezi trigonometrickými funkcemi

Vztahy mezi trigonometrickými funkcemi vyplývají na jedné straně z definic

opálení⁡θ=hřích⁡θcos⁡θ,náklady⁡θ=cos⁡θhřích⁡θ,...{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}, \ quad \ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}, \ quad \ ldots}

a na druhé straně aplikace Pythagorovy věty , zejména:

cos2⁡θ+hřích2⁡θ=1opálení2⁡θ+1=1cos2⁡θ,náklady2⁡θ+1=1hřích2⁡θ.{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1 \ quad \ tan ^ {2} \ theta +1 = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta }}, \ quad \ cot ^ {2} \ theta +1 = {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}}.}Vztahy mezi trigonometrickými funkcemi v prvním kvadrantu ( ), pravděpodobně neplatné v 0 nebo0⩽θ⩽π2{\ displaystyle 0 \ leqslant \ theta \ leqslant {\ tfrac {\ pi} {2}}}π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}

	cos	hřích	opálení	náklady	suchý	csc
cos		cos⁡θ=1-hřích2⁡θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}}}	cos⁡θ=11+opálení2⁡θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}}	cos⁡θ=náklady⁡θ1+náklady2⁡θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ cot \ theta} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} \ theta}}}}	cos⁡θ=1suchý⁡θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {1} {\ sec \ theta}}}	cos⁡θ=csc2⁡θ-1csc⁡θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}} {\ csc \ theta}}}
hřích	hřích⁡θ=1-cos2⁡θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}}}		hřích⁡θ=opálení⁡θ1+opálení2⁡θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ tan \ theta} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}}	hřích⁡θ=11+náklady2⁡θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} \ theta}}}}	hřích⁡θ=suchý2⁡θ-1suchý⁡θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta -1}} {\ sec \ theta}}}	hřích⁡θ=1csc⁡θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {1} {\ csc \ theta}}}
opálení	opálení⁡θ=1-cos2⁡θcos⁡θ{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}} {\ cos \ theta}}}	opálení⁡θ=hřích⁡θ1-hřích2⁡θ{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}}}}		opálení⁡θ=1náklady⁡θ{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {1} {\ cot \ theta}}}	opálení⁡θ=suchý2⁡θ-1{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta -1}}}	opálení⁡θ=1csc2⁡θ-1{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}}}}
náklady	náklady⁡θ=cos⁡θ1-cos2⁡θ{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}}}}	náklady⁡θ=1-hřích2⁡θhřích⁡θ{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}} {\ sin \ theta}}}	náklady⁡θ=1opálení⁡θ{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}}}		náklady⁡θ=1suchý2⁡θ-1{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta -1}}}}	náklady⁡θ=csc2⁡θ-1{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}}}
suchý	suchý⁡θ=1cos⁡θ{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ cos \ theta}}}	suchý⁡θ=11-hřích2⁡θ{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}}}}	suchý⁡θ=1+opálení2⁡θ{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}	suchý⁡θ=1+náklady2⁡θnáklady⁡θ{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} \ theta}} {\ cot \ theta}}}		suchý⁡θ=csc⁡θcsc2⁡θ-1{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {\ csc \ theta} {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}}}}
csc	csc⁡θ=11-cos2⁡θ{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}}}}	csc⁡θ=1hřích⁡θ{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {1} {\ sin \ theta}}}	csc⁡θ=1+opálení2⁡θopálení⁡θ{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}} {\ tan \ theta}}}	csc⁡θ=1+náklady2⁡θ{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} \ theta}}}	csc⁡θ=suchý⁡θsuchý2⁡θ-1{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {\ sec \ theta} {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta -1}}}}

Vlastnosti související s trigonometrickým kruhem

Symetrie, parita

Parita - odraz osy ( θ = 0 )	Odraz osy ( θ = π / 4 )	Odraz osy ( θ = π / 2 )
hřích⁡(-θ)=-hřích⁡θcos⁡(-θ)=+cos⁡θopálení⁡(-θ)=-opálení⁡θnáklady⁡(-θ)=-náklady⁡θ{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ sin (- \ theta) & = - \ sin \ theta \\\ cos (- \ theta) & = + \ cos \ theta \\\ tan (- \ theta) & = - \ tan \ theta \\\ postýlka (- \ theta) & = - \ cot \ theta \ end {zarovnáno}}}	hřích⁡(π2-θ)=+cos⁡θcos⁡(π2-θ)=+hřích⁡θopálení⁡(π2-θ)=+náklady⁡θnáklady⁡(π2-θ)=+opálení⁡θ{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sin ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta) & = + \ cos \ theta \\\ cos ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta) & = + \ sin \ theta \\\ tan ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta) & = + \ cot \ theta \\\ cot ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta) & = + \ tan \ theta \ end {zarovnáno}}}	hřích⁡(π-θ)=+hřích⁡θcos⁡(π-θ)=-cos⁡θopálení⁡(π-θ)=-opálení⁡θnáklady⁡(π-θ)=-náklady⁡θ{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ sin (\ pi - \ theta) & = + \ sin \ theta \\\ cos (\ pi - \ theta) & = - \ cos \ theta \\\ tan (\ pi - \ theta) & = - \ tan \ theta \\\ postýlka (\ pi - \ theta) & = - \ cot \ theta \\\ konec {zarovnáno}}}

Poznámka: Všechny tyto vzorce lze také použít pro přidání úhlů, stačí opak: například . Potom stačí použít odpovídající vzorec zjednodušení prvního sloupce. hřích⁡(π2+θ)=hřích⁡(π2-(-θ))=cos⁡(-θ){\ displaystyle \ sin ({\ tfrac {\ pi} {2}} + \ theta) = \ sin ({\ tfrac {\ pi} {2}} - (- \ theta)) = \ cos (- \ theta )}

Periodicita, směny

Π / 2 směna	Posun π (doba opálení a postýlky)	Ofset 2π (období hříchu a cos)
hřích⁡(θ+π2)=+cos⁡θcos⁡(θ+π2)=-hřích⁡θopálení⁡(θ+π2)=-náklady⁡θnáklady⁡(θ+π2)=-opálení⁡θ{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ sin (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {2}}) & = + \ cos \ theta \\\ cos (\ theta + {\ tfrac {\ pi} { 2}}) & = - \ sin \ theta \\\ tan (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {2}}) & = - \ cot \ theta \\\ cot (\ theta + {\ tfrac { \ pi} {2}}) & = - \ tan \ theta \ end {zarovnáno}}}	hřích⁡(θ+π)=-hřích⁡θcos⁡(θ+π)=-cos⁡θopálení⁡(θ+π)=+opálení⁡θnáklady⁡(θ+π)=+náklady⁡θ{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ sin (\ theta + \ pi) & = - \ sin \ theta \\\ cos (\ theta + \ pi) & = - \ cos \ theta \\\ tan (\ theta + \ pi) & = + \ tan \ theta \\\ postýlka (\ theta + \ pi) & = + \ cot \ theta \\\ konec {zarovnáno}}}	hřích⁡(θ+2π)=+hřích⁡θcos⁡(θ+2π)=+cos⁡θopálení⁡(θ+2π)=+opálení⁡θnáklady⁡(θ+2π)=+náklady⁡θ{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ sin (\ theta +2 \ pi) & = + \ sin \ theta \\\ cos (\ theta +2 \ pi) & = + \ cos \ theta \\\ tan ( \ theta +2 \ pi) & = + \ tan \ theta \\\ cot (\ theta +2 \ pi) & = + \ cot \ theta \ end {zarovnáno}}}

Trigonometrické rovnice

Některé z výše uvedených vztahů jsou posíleny následujícími ekvivalencemi:

cos⁡Na=cos⁡b⇔Na=b+2kπKdeNa=-b+2kπ(k∈Z){\ displaystyle \ cos a = \ cos b \ Leftrightarrow a = b + 2k \ pi \ quad {\ text {nebo}} \ quad a = -b + 2k \ pi \ qquad (k \ in \ mathbb {Z}) } hřích⁡Na=hřích⁡b⇔Na=b+2kπKdeNa=π-b+2kπ(k∈Z){\ displaystyle \ sin a = \ sin b \ Leftrightarrow a = b + 2k \ pi \ quad {\ text {nebo}} \ quad a = \ pi -b + 2k \ pi \ qquad (k \ in \ mathbb {Z })} opálení⁡Na=opálení⁡b⇔Na=b+kπ(k∈Z){\ displaystyle \ tan a = \ tan b \ Leftrightarrow a = b + k \ pi \ qquad (k \ in \ mathbb {Z})}

Sčítací a rozdílové vzorce

Dva hlavní vzorce jsou sčítací vzorce pro kosinus a sinus:

cos⁡(Na+b)=cos⁡Nacos⁡b-hřích⁡Nahřích⁡b{\ displaystyle \ cos (a + b) = \ cos a \ cos b- \ sin a \ sin b} hřích⁡(Na+b)=hřích⁡Nacos⁡b+cos⁡Nahřích⁡b{\ displaystyle \ sin (a + b) = \ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b}

Nahrazením b opačným, získáme také rozdílové vzorce:

cos⁡(Na-b)=cos⁡Nacos⁡b+hřích⁡Nahřích⁡b{\ displaystyle \ cos (ab) = \ cos a \ cos b + \ sin a \ sin b} hřích⁡(Na-b)=hřích⁡Nacos⁡b-cos⁡Nahřích⁡b{\ displaystyle \ sin (ab) = \ sin a \ cos b- \ cos a \ sin b}

Nejrychlejším způsobem, jak je demonstrovat, je použití analytické definice kosinu a sinu pomocí Eulerových vzorců .

Existuje mnoho dalších možných důkazů, které využívají vlastnosti akordu v kruhu, vztah mezi kosinem úhlu a bodovým součinem (hodnocením dvěma různými způsoby bodový součin vektorů (cos a , sin a ) a (cos b , sin b ) , vlastnost změny souřadného systému nebo maticový důkaz níže.

Maticová demonstrace

používá výraz matice rotace roviny (v přímé ortonormální bázi ) jako funkci kosinu a sinu jeho úhlu  :

Rθ=(cos⁡θ-hřích⁡θhřích⁡θcos⁡θ).{\ displaystyle R _ {\ theta} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \\\ end {pmatrix}}.}

Rovina vektor otočení o úhel A + b je sloučenina z rotace úhlů dobu a , b , takže její matice je součin matic R s a R b  :

(cos⁡(Na+b)...hřích⁡(Na+b)...)=RNa+b=RNaRb=(cos⁡Na-hřích⁡Nahřích⁡Nacos⁡Na)(cos⁡b...hřích⁡b...)=(cos⁡Nacos⁡b-hřích⁡Nahřích⁡b...hřích⁡Nacos⁡b+cos⁡Nahřích⁡b...){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos (a + b) & \ ldots \\\ sin (a + b) & \ ldots \\\ end {pmatrix}} = R_ {a + b} = R_ {a } R_ {b} = {\ begin {pmatrix} \ cos a & - \ sin a \\\ sin a & \ cos a \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ cos b & \ ldots \ \\ sin b & \ ldots \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos a \ cos b- \ sin a \ sin b & \ ldots \\\ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b & \ ldots \ \\ end {pmatrix}}}.

Vzorce se poté získají identifikací.

Dedukujeme vzorce sčítání a rozdílu pro tangens a kotangens. Například pro doplnění:

opálení⁡(Na+b)=opálení⁡Na+opálení⁡b1-opálení⁡Naopálení⁡bEtnáklady⁡(Na+b)=náklady⁡Nanáklady⁡b-1náklady⁡Na+náklady⁡b{\ displaystyle \ tan (a + b) = {\ frac {\ tan a + \ tan b} {1- \ tan a \ tan b}} \ quad {\ rm {and}} \ quad \ cot (a + b) = {\ frac {\ postýlka a \ postýlka b-1} {\ postýlka a + \ postýlka b}}}. Příklad opálení⁡(X+π/4)=1+opálení⁡X1-opálení⁡X{\ displaystyle \ tan (x + \ pi / 4) = {\ frac {1+ \ tan x} {1- \ tan x}}}.

Obecněji řečeno, tečna součtu n úhlů (resp. Kotangensu) je vyjádřena jako funkce tečen (resp. Kotangensů) těchto úhlů:

opálení⁡(θ1+...+θne)=σ1-σ3+σ5-...1-σ2+σ4-...(opálení⁡θ1,...,opálení⁡θne)Etnáklady⁡(θ1+...+θne)=σne-σne-2+σne-4-...σne-1-σne-3+σne-5-...(náklady⁡θ1,...,náklady⁡θne){\ displaystyle \ tan (\ theta _ {1} + \ ldots + \ theta _ {n}) = {\ frac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {3} + \ sigma _ {5} - \ ldots} {1- \ sigma _ {2} + \ sigma _ {4} - \ ldots}} (\ tan \ theta _ {1}, \ ldots, \ tan \ theta _ {n}) \ quad {\ rm {et}} \ quad \ cot (\ theta _ {1} + \ ldots + \ theta _ {n}) = {\ frac {\ sigma _ {n} - \ sigma _ {n-2} + \ sigma _ {n-4} - \ ldots} {\ sigma _ {n-1} - \ sigma _ {n-3} + \ sigma _ {n-5} - \ ldots}} (\ cot \ theta _ {1} , \ ldots, \ cot \ theta _ {n})}

kde σ k (pro 0 ≤ k ≤ n ) jsou elementární symetrické polynomy . Pro liché n je to stejný racionální zlomek  ; například pro n = 3  :

opálení⁡(Na+b+vs.)=F(opálení⁡Na,opálení⁡b,opálení⁡vs.)Etnáklady⁡(Na+b+vs.)=F(náklady⁡Na,náklady⁡b,náklady⁡vs.)NaprotiEvs.F(u,proti,w)=u+proti+w-uprotiw1-(uproti+uw+protiw).{\ Displaystyle \ tan (a + b + c) = F (\ tan a, \ tan b, \ tan c) \ quad {\ rm {a}} \ quad \ cot (a + b + c) = F ( \ cot a, \ cot b, \ cot c) \ quad {\ rm {with}} \ quad F (u, v, w) = {\ frac {u + v + w-uvw} {1- (uv + uw + vw)}}.}

Dalším zajímavým důsledkem adičního vzorce pro sin je, že umožňuje redukovat lineární kombinaci sinus a kosinus na sinus: αhřích⁡X+βcos⁡X=α2+β2 hřích⁡(X+φ){\ displaystyle \ alpha \ sin x + \ beta \ cos x = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2}}} ~ \ sin (x + \ varphi)} nebo φ=Narvs.tNane(β/α){\ displaystyle \ varphi = {\ rm {arctan}} (\ beta / \ alpha)}pokud je α kladné a pokud ne.φ=Narvs.tNane(β/α)+π{\ displaystyle \ varphi = {\ rm {arctan}} (\ beta / \ alpha) + \ pi}

Duplikace a vzorce polovičního úhlu

Vzorce s dvojitým úhlem

Také se nazývá „dvojitý úhel vzorce“, mohou být získány, pro první dva, nahrazením a b o x v adičních vzorcích nebo pomocí Moivre je vzorce s n = 2. V následující dva jsou odvozeny z identity cos 2 x + hřích 2 x = 1 .

hřích⁡2X=2hřích⁡Xcos⁡X,cos⁡2X=cos2⁡X-hřích2⁡X=2cos2⁡X-1=1-2hřích2⁡X,opálení⁡2X=2opálení⁡X1-opálení2⁡X=2náklady⁡Xnáklady2⁡X-1=2náklady⁡X-opálení⁡X.{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ sin 2x & = 2 \ sin x \ cos x, \\\ cos 2x & = \ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x = 2 \ cos ^ { 2} x-1 = 1-2 \ sin ^ {2} x, \\\ tan 2x & = {\ frac {2 \ tan x} {1- \ tan ^ {2} x}} = {\ frac { 2 \ cot x} {\ cot ^ {2} x-1}} = {\ frac {2} {\ cot x- \ tan x}}. \ End {zarovnáno}}}

Pravoúhlé redukční vzorce

Tyto vzorce umožňují psát cos 2 x a sin 2 x , tedy také tan 2 x , podle kosinu dvojitého úhlu:

cos2⁡X=1+cos⁡(2X)2,hřích2⁡X=1-cos⁡(2X)2Etopálení2⁡X=1-cos⁡(2X)1+cos⁡(2X).{\ displaystyle \ cos ^ {2} x = {\ frac {1+ \ cos (2x)} {2}}, \ quad \ sin ^ {2} x = {\ frac {1- \ cos (2x)} {2}} \ quad {\ rm {et}} \ quad \ tan ^ {2} x = {\ frac {1- \ cos (2x)} {1+ \ cos (2x)}}.}

Poloviční úhlové vzorce

|cos⁡(θ2)|=1+cos⁡θ2,|hřích⁡(θ2)|=1-cos⁡θ2{\ displaystyle \ left | \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ theta} {2}}}, \ qquad \ left | \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {2}}}} opálení⁡(θ2)=hřích⁡θ1+cos⁡θ=1-cos⁡θhřích⁡θ{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {\ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}} = {\ frac {1- \ cos \ theta} {\ sin \ theta}}} Demonstrace

První dvě identity jsou odvozeny ze vzorců redukce čtverců nahrazením x číslem θ / 2 .

Třetí se získá písemnou formouopálení⁡(θ2)=hřích⁡(θ/2)cos⁡(θ/2)=2cos⁡(θ/2)2cos⁡(θ/2)hřích⁡(θ/2)cos⁡(θ/2)=hřích⁡θ1+cos⁡θ,{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {\ sin (\ theta / 2)} {\ cos (\ theta / 2)}} = {\ frac {2 \ cos (\ theta / 2)} {2 \ cos (\ theta / 2)}} {\ frac {\ sin (\ theta / 2)} {\ cos (\ theta / 2)}} = { \ frac {\ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}},}kde konečná rovnost pochází z vzorců dvojitého úhlu.

Poslední (kde se předpokládá, že sin θ je nenulová) se odvodí zhřích2⁡θ=1-cos2⁡θ=(1-cos⁡θ)(1+cos⁡θ).{\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta = 1- \ cos ^ {2} \ theta = (1- \ cos \ theta) (1+ \ cos \ theta).}

Vzorce zahrnující „tangens polovičního oblouku“

Pokud nastavíme, pro x ≠ π + 2 k π ,

t=opálení⁡(X/2){\ displaystyle t = \ tan (x / 2)},

my máme

cos⁡X=1-t21+t2Ethřích⁡X=2t1+t2dÓnevs.{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} \ quad {\ rm {et}} \ quad \ sin x = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}} \ quad {\ rm {proto}}}opálení⁡X=2t1-t2.{\ displaystyle {} \ quad \ tan x = {\ frac {2t} {1-t ^ {2}}}.}

V případě změny proměnné v integraci přidáme vztah: dX=2dt1+t2{\ displaystyle \ mathrm {d} x = {\ frac {2 \, \ mathrm {d} t} {1 + t ^ {2}}}}.

Tyto vzorce umožňují zjednodušit trigonometrické výpočty tím, že se redukují na výpočty racionálních zlomků. Umožňují také určit množinu racionálních bodů jednotkové kružnice .

Simpsonovy vzorce

Transformace produktů na součty nebo linearizace

cos⁡Nacos⁡b=cos⁡(Na+b)+cos⁡(Na-b)2{\ displaystyle \ cos a \ cos b = {\ frac {\ cos (a + b) + \ cos (ab)} {2}}} hřích⁡Nahřích⁡b=cos⁡(Na-b)-cos⁡(Na+b)2{\ displaystyle \ sin a \ sin b = {\ frac {\ cos (ab) - \ cos (a + b)} {2}}} hřích⁡Nacos⁡b=hřích⁡(Na+b)+hřích⁡(Na-b)2{\ displaystyle \ sin a \ cos b = {\ frac {\ sin (a + b) + \ sin (ab)} {2}}} cos⁡Nahřích⁡b=hřích⁡(Na+b)-hřích⁡(Na-b)2 {\ displaystyle \ cos a \ sin b = {\ frac {\ sin (a + b) - \ sin (ab)} {2}} \}(odpovídá předchozímu obrácení a a b ).

Tyto vzorce lze demonstrovat rozšířením jejich členů na pravé straně pomocí vzorců sčítání a rozdílu .

Transformace součtů na produkty nebo anti-linearizace

cos⁡p+cos⁡q=2cos⁡p+q2cos⁡p-q2{\ displaystyle \ cos p + \ cos q = 2 \ cos {\ frac {p + q} {2}} \ cos {\ frac {pq} {2}}} cos⁡p-cos⁡q=-2hřích⁡p+q2hřích⁡p-q2{\ displaystyle \ cos p- \ cos q = -2 \ sin {\ frac {p + q} {2}} \ sin {\ frac {pq} {2}}} hřích⁡p+hřích⁡q=2hřích⁡p+q2cos⁡p-q2{\ displaystyle \ sin p + \ sin q = 2 \ sin {\ frac {p + q} {2}} \ cos {\ frac {pq} {2}}} hřích⁡p-hřích⁡q=2cos⁡p+q2hřích⁡p-q2{\ displaystyle \ sin p- \ sin q = 2 \ cos {\ frac {p + q} {2}} \ sin {\ frac {pq} {2}}}(ekvivalent předchozího, nahrazení q za –q ).

Stačí vyměnit byp + q/2a b op - q/2ve vzorcích transformace produktu v součtu. Dedukujeme zobecnění vzorců tečny poloviny úhlu  :

opálení⁡p+q2=hřích⁡p+hřích⁡qcos⁡p+cos⁡q=-cos⁡p-cos⁡qhřích⁡p-hřích⁡q{\ displaystyle \ tan {\ frac {p + q} {2}} = {\ frac {\ sin p + \ sin q} {\ cos p + \ cos q}} = - {\ frac {\ cos p- \ cos q} {\ sin p- \ sin q}}}.

Z dedukčního vzorce pro hřích navíc odvodíme  :

opálení⁡p+opálení⁡q=hřích⁡(p+q)cos⁡pcos⁡q{\ displaystyle \ tan p + \ tan q = {\ frac {\ sin (p + q)} {\ cos p \, \ cos q}}}.

Eulerovy vzorce

cos⁡X=EiX+E-iX2=hovadina⁡iX{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x}} {2}} = \ cosh {\ rm {i}} x}

hřích⁡X=EiX-E-iX2i=-isinh⁡iX{\ displaystyle \ sin x = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x}} {2 {\ rm {i}}}} = - {\ rm {i}} \ sinh {\ rm {i}} x}

kde i je imaginární jednotka . Dedukujeme to

opálení⁡X=i(1-E2iX)1+E2iX=-itanh⁡iX{\ displaystyle \ tan x = {\ frac {{\ rm {i}} \ vlevo (1 - {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} x} \ vpravo)} {1+ { \ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} x}}} = - {\ rm {i}} \ tanh {\ rm {i}} x}

Moivreův vzorec a vzorce s více úhly

Moivre vzorec je:

cos⁡(neX)+ihřích⁡(neX)=(cos⁡X+ihřích⁡X)ne{\ displaystyle \ cos (nx) + {\ rm {i}} \ sin (nx) = (\ cos x + {\ rm {i}} \ sin x) ^ {n}}.

Podle binomického vzorce je ekvivalentní:

cos⁡(neX)=∑0≤k≤ne2(-1)k(ne2k)cosne-2k⁡X hřích2k⁡Xahřích⁡(neX)=∑0≤k≤ne-12(-1)k(ne2k+1)cosne-2k-1⁡X hřích2k+1⁡X{\ displaystyle \ cos (nx) = \ součet _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n} {2}}} (- 1) ^ {k} {n \ zvolit 2k} \ cos ^ {n- 2k} x ~ \ sin ^ {2k} x \ quad {\ text {et}} \ quad \ sin (nx) = \ sum _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n-1} {2}} } (- 1) ^ {k} {n \ vyberte 2k + 1} \ cos ^ {n-2k-1} x ~ \ sin ^ {2k + 1} x}.

Vezmeme-li v úvahu hřích 2 x = 1- cos 2 x , pokud nastavíme

Tne=∑0≤k≤ne2(-1)k(ne2k)Xne-2k(1-X2)kaUne=∑0≤k≤ne-12(-1)k(ne2k+1)Xne-2k-1(1-X2)k{\ displaystyle T_ {n} = \ součet _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n} {2}}} (- 1) ^ {k} {n \ vyberte 2k} X ^ {n-2k} (1-X ^ {2}) ^ {k} \ quad {\ text {a}} \ quad U_ {n} = \ sum _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n-1} {2} }} (- 1) ^ {k} {n \ vyberte 2k + 1} X ^ {n-2k-1} (1-X ^ {2}) ^ {k}},

máme cos ( nx ) = T n (cos x ) a sin (( n +1) x ) = sin ( x ) U n (cos x ) .

Polynom T n (resp. U n ) je n- tý Chebyshevova polynom prvního (resp. Druhé) druh.

Například

cos⁡3X=4cos3⁡X-3cos⁡X,hřích⁡3X=hřích⁡X(4cos2⁡X-1)=-4hřích3⁡X+3hřích⁡X{\ displaystyle \ cos 3x = 4 \ cos ^ {3} x-3 \ cos x, \, \ sin 3x = \ sin x (4 \ cos ^ {2} x-1) = - 4 \ sin ^ {3 } x + 3 \ sin x}.

Moivreův vzorec také umožňuje vyjádřit tan ( nx ) jako funkci tan x vztahem

opálení⁡neX=Im(1+iopálení⁡X)neD(1+iopálení⁡X)ne{\ displaystyle \ tan nx = {\ frac {{\ text {Im}} (1 + i \ tan x) ^ {n}} {{\ text {Re}} (1 + i \ tan x) ^ {n }}}}.

Například

opálení⁡3X=opálení3⁡X-3opálení⁡X3opálení2⁡X-1{\ displaystyle \ tan 3x = {\ frac {\ tan ^ {3} x-3 \ tan x} {3 \ tan ^ {2} x-1}}}.

Linearizace

Linearizace výrazu cos p x sin q x si klade za cíl vyjádřit jej jako lineární kombinaci různých cos ( nx ) (je-li q sudé) nebo sin ( nx ) (je-li q liché) - například pro en vypočítat protiklad . Lze použít buď vzorce transformace produktů v součtech výše, nebo vzorce Euler  : cosp⁡Xhříchq⁡X=(EiX+E-iX2)p(EiX-E-iX2i)q.{\ displaystyle \ cos ^ {p} x \ sin ^ {q} x = \ vlevo ({\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} + {\ rm {e} } ^ {- {\ rm {i}} x}} {2}} \ vpravo) ^ {p} \ vlevo ({\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x}} {2 {\ rm {i}}}} \ right) ^ {q}.}

Pak už jen

• rozvíjet každý ze dvou faktorů pomocí Newtonova binomického vzorce ,
• vyvinout produkt dvou získaných součtů ( distribucí ),
• zjednodušit podmínky pomocí tohoEikXEiℓX=Ei(k+ℓ)X,{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} kx} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ ell x} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} (k + \ ell) x},}
• potom je seskupte, protože to věděli EineX+E-ineX=2cos⁡(neX)EtEineX-E-ineX=2ihřích⁡(neX).{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} nx} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} nx} = 2 \ cos (nx) \ quad {\ rm {and}} \ quad {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} nx} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} nx} = 2 { \ rm {i}} \ sin (nx).}

Pokud je jeden ze dvou exponentů p nebo q nula, voláním hodnoty druhého „stupně“ máme:

Vzorce linearizace stupně 2 nebo 3

Linearizační vzorce 2. stupně jsou „vzorce na druhou“ uvedené výše .

cos3⁡Na=3cos⁡Na+cos⁡(3Na)4{\ displaystyle \ cos ^ {3} a = {{3 \ cos a + \ cos (3a)} \ nad 4}} hřích3⁡Na=3hřích⁡Na-hřích⁡(3Na)4{\ displaystyle \ sin ^ {3} a = {{3 \ sin a- \ sin (3a)} \ nad 4}} opálení3⁡Na=3hřích⁡Na-hřích⁡(3Na)3cos⁡Na+cos⁡(3Na){\ displaystyle \ tan ^ {3} a = {{3 \ sin a- \ sin (3a)} \ nad {3 \ cos a + \ cos (3a)}}} Linearizační vzorce jakéhokoli stupně

cos2ne⁡X=(EiX+E-iX2)2ne=122ne((2nene)+∑k=0ne-1((2nek)EiXkE-iX(2ne-k)+(2ne2ne-k)EiX(2ne-k)E-iXk))=14ne((2nene)+2∑k=0ne-1(2nek)cos⁡(2(ne-k)X))cos2ne+1⁡X=(EiX+E-iX2)2ne+1=122ne+1∑k=0ne((2ne+1k)EiXkE-iX(2ne+1-k)+(2ne+12ne+1-k)EiX(2ne+1-k)E-iXk)=14ne∑k=0ne(2ne+1k)cos⁡((2(ne-k)+1)X)=14ne∑ℓ=0ne(2ne+1ne-ℓ)cos⁡((2ℓ+1)X)∙ X←X-π2hřích2ne⁡X=14ne((2nene)-2∑ℓ=0ne-1(-1)ℓ(2nene-1-ℓ)cos⁡(2(ℓ+1)X))hřích2ne+1⁡X=14ne∑ℓ=0ne(-1)ℓ(2ne+1ne-ℓ)hřích⁡((2ℓ+1)X){\ displaystyle {\ begin {aligned} \ cos ^ {2n} x & = \ left ({\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} + {\ rm {e} } ^ {- {\ rm {i}} x}} {2}} \ vpravo) ^ {2n} \\ & = {\ frac {1} {2 ^ {2n}}} \ vlevo ({{2n} \ choose n} + \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ left ({{2n} \ choose k} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} xk} { \ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x (2n-k)} + {{2n} \ zvolit {2n-k}} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i }} x (2n-k)} {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} xk} \ right)} \ right) \\ & = {\ frac {1} {4 ^ {n }}} \ left ({{2n} \ select n} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {{2n} \ choose k} \ cos \ left (2 (nk) x \ vpravo)} \ vpravo) \\\ cos ^ {2n + 1} x & = \ vlevo ({\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} + {\ rm {e }} ^ {- {\ rm {i}} x}} {2}} \ vpravo) ^ {2n + 1} \\ & = {\ frac {1} {2 ^ {2n + 1}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ left ({{2n + 1} \ vyberte k} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} xk} {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x (2n + 1-k)} + {{2n + 1} \ vyberte {2n + 1-k}} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i} } x (2n + 1-k)} {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} xk} \ right)} \\ & = {\ frac {1} {4 ^ {n}} } \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{2n + 1} \ vyberte k} \ cos \ left ((2 (nk) +1) x \ right) \\ & = {\ frac {1} {4 ^ {n}}} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {n} {{2n + 1} \ vyberte {n- \ ell}} \ cos \ left ((2 \ ell +1) x \ vpravo) \\\ odrážka ~ x \ leftarrow & x - {\ frac {\ pi} {2}} & \\\ sin ^ {2n} x & = {\ frac {1} {4 ^ {n}}} \ left ({{2n} \ select n} -2 \ sum _ {\ ell = 0} ^ {n-1} {(- 1) ^ { \ ell} {{2n} \ vyberte {n-1- \ ell}} \ cos \ left (2 (\ ell +1) x \ right)} \ right) \\\ sin ^ {2n + 1} x & = {\ frac {1} {4 ^ {n}}} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {n} (- 1) ^ {\ ell} {{2n + 1} \ vyberte {n- \ ell }} \ sin \ left ((2 \ ell +1) x \ right) \ end {zarovnáno}}}

Výpočet dílčích součtů trigonometrické řady s konstantními koeficienty

Součty a následující uzavřené výrazy pro  :VSne=∑k=0necos⁡(kθ+φ){\ displaystyle C_ {n} = \ součet _ {k = 0} ^ {n} \ cos (k \ theta + \ varphi)}Sne=∑k=0nehřích⁡(kθ+φ){\ displaystyle S_ {n} = \ součet _ {k = 0} ^ {n} \ sin (k \ theta + \ varphi)}θ≠0mod2π{\ displaystyle \ theta \ neq 0 \ mod 2 \ pi}

VSne=hřích⁡((ne+1)θ2)hřích⁡θ2cos⁡(neθ2+φ), Sne=hřích⁡((ne+1)θ2)hřích⁡θ2hřích⁡(neθ2+φ){\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {\ sin \ left ((n + 1) {\ frac {\ theta} {2}} \ right)} {\ sin {\ frac {\ theta} {2} }}} \ cos \ left (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ right), \ S_ {n} = {\ frac {\ sin \ left ((n + 1) {\ frac {\ theta} {2}} \ right)} {\ sin {\ frac {\ theta} {2}}}} \ sin \ left (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ right )}

.

Tyto vzorce dokazujeme tím, že si toho všimneme a použijeme součty geometrických posloupností , nebo vynásobením a linearizací. VSne+iSne=Eiφ∑k=0ne(Eiθ)k{\ displaystyle C_ {n} + iS_ {n} = e ^ {\ rm {i \ varphi}} \ součet _ {k = 0} ^ {n} (e ^ {i \ theta}) ^ {k}}hřích⁡θ2{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}

Dedukujeme to . SneVSne=opálení⁡(neθ2+φ){\ displaystyle {\ frac {S_ {n}} {C_ {n}}} = \ tan \ left (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ right)}

Pro , . θ=0mod2π{\ displaystyle \ theta = 0 \ mod 2 \ pi}VSne=(ne+1)cos⁡φ,Sne=(ne+1)hřích⁡φ{\ Displaystyle C_ {n} = (n + 1) \ cos \ varphi, \, S_ {n} = (n + 1) \ sin \ varphi}

Tyto vzorce umožňují vyjádřit Dirichletovo jádro D n , funkci definovanou:

pro všechna reálná x ,Dne(X)=1+2cos⁡(X)+2cos⁡(2X)+2cos⁡(3X)+⋯+2cos⁡(neX)=hřích⁡((ne+12)X)hřích⁡(X/2){\ displaystyle D_ {n} (x) = 1 + 2 \ cos (x) +2 \ cos (2x) +2 \ cos (3x) + \ cdots +2 \ cos (nx) = {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) x \ right)} {\ sin (x / 2)}}}

Konvoluce produkt jakékoliv integrovatelné čtvercového funkce období 2n s Dirichlet jádra se shoduje s n pořadí součet její Fourierovy řady .

Reciproční trigonometrické funkce

Jedná se o vzájemné funkce sinusových, kosinových a tangensových funkcí.

y=arcsin⁡X⇔X=hřích⁡ysy∈[-π2,π2]{\ displaystyle y = \ arcsin x \ Leftrightarrow x = \ sin y \ quad {\ text {with}} \ quad y \ in \ left [{\ tfrac {- \ pi} {2}}, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ vpravo]} y=arccos⁡X⇔X=cos⁡ysy∈[0,π]{\ displaystyle y = \ arccos x \ Leftrightarrow x = \ cos y \ quad {\ text {with}} \ quad y \ in \ left [0, \ pi \ right]} y=arktan⁡X⇔X=opálení⁡ysy∈]-π2,π2[{\ displaystyle y = \ arctan x \ Leftrightarrow x = \ tan y \ quad {\ text {with}} \ quad y \ in \ left] {\ tfrac {- \ pi} {2}}, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ doprava [}

Pokud tedy X>0{\ displaystyle x> 0}

arktan⁡X+arktan⁡1X=π2{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan {\ frac {1} {x}} = {\ frac {\ pi} {2}}}.

Pokud tedy X<0{\ displaystyle x <0}

arktan⁡X+arktan⁡1X=-π2{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan {\ frac {1} {x}} = - {\ frac {\ pi} {2}}}. Máme také následující identitu: arktan⁡X+arktan⁡y=arktan⁡X+y1-Xy+kπ{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan y = \ arctan {\ frac {x + y} {1-xy}} + k \ pi}

nebo

k=0-liXy<1{\ displaystyle k = 0 \ quad {\ text {si}} \ quad xy <1} k=1-liXy>1aX>0{\ displaystyle k = 1 \ quad {\ text {si}} \ quad xy> 1 \ quad {\ text {a}} \ quad x> 0} k=-1-liXy>1aX<0{\ displaystyle k = -1 \ quad {\ text {si}} \ quad xy> 1 \ quad {\ text {a}} \ quad x <0}.

Mnoho identit podobných tomuto lze získat z Pythagorovy věty .

Vztahy mezi inverzními trigonometrickými funkcemi pro x > 0

	arccos	arcsin	arktan	arccot
arccos		arccos⁡X=π2-arcsin⁡X{\ displaystyle \ arccos x = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arcsin x}	arccos⁡X=arktan⁡1-X2X{\ displaystyle \ arccos x = \ arctan {\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {x}}}	arccos⁡X=arccot⁡X1-X2{\ displaystyle \ arccos x = \ operatorname {arccot} {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
arcsin	arcsin⁡X=π2-arccos⁡X{\ displaystyle \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arccos x}		arcsin⁡X=arktan⁡X1-X2{\ displaystyle \ arcsin x = \ arctan {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}	arcsin⁡X=arccot⁡1-X2X{\ displaystyle \ arcsin x = \ operatorname {arccot} {\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {x}}}
arktan	arktan⁡X=arccos⁡11+X2{\ displaystyle \ arctan x = \ arccos {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}	arktan⁡X=arcsin⁡X1+X2{\ displaystyle \ arctan x = \ arcsin {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}		arktan⁡X=arccot⁡1X{\ displaystyle \ arctan x = \ operatorname {arccot} {\ frac {1} {x}}}
arccot	arccot⁡X=arccos⁡X1+X2{\ displaystyle \ operatorname {arccot} x = \ arccos {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}	arccot⁡X=arcsin⁡11+X2{\ displaystyle \ operatorname {arccot} x = \ arcsin {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}	arccot⁡X=arktan⁡1X{\ displaystyle \ operatorname {arccot} x = \ arctan {\ frac {1} {x}}}

Metrické vlastnosti v libovolném trojúhelníku

Al-Kashiho věta nebo zákon kosinů

Nechť ABC je trojúhelník, ve kterém používáme obvyklé notace: na jedné straně α , β a γ pro měření úhlů a na druhé straně a , b a c pro délky stran, které jsou protilehlé k tyto úhly (viz obrázek naproti). Takže máme:

vs.2=Na2+b2-2Nab cos⁡ y.{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ \ cos \ \ gama.}

Sinusový vzorec

Poznámkou, navíc S plocha trojúhelníku a R poloměr jeho opsané kružnice (viz obrázek), máme:

Nahřích⁡α=bhřích⁡β=vs.hřích⁡y=Nabvs.2S=2R.{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {abc } {2S}} = 2R.}

Na druhou stranu, S je produktem polovičního obvodu p =a + b + c/2poloměrem r o vepsané kružnice .

Vzorec pro rozdíly stran

Na-bvs.=hřích⁡α-β2cos⁡y2EtNa+bvs.=cos⁡α-β2hřích⁡y2{\ displaystyle {\ frac {ab} {c}} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ alfa - \ beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ gamma} {2}}} } \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ frac {a + b} {c}} = {\ frac {\ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ sin { \ frac {\ gamma} {2}}}}}. Na-bNa+b=opálení⁡α-β2opálení⁡α+β2{\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}}}. náklady⁡α2=p-Nar{\ displaystyle \ cot {\ frac {\ alpha} {2}} = {\ frac {pa} {r}}}.

Vztahy mezi úhly

Použitím skutečnosti, že získáme mnoho trigonometrických vztahů, včetně například: α+β+y=π{\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi}

opálení⁡α+opálení⁡β+opálení⁡y=opálení⁡αopálení⁡βopálení⁡y{\ Displaystyle \ tan \ alpha + \ tan \ beta + \ tan \ gamma = \ tan \ alfa \ tan \ beta \ tan \ gamma}

hřích⁡2α+hřích⁡2β+hřích⁡2y=4hřích⁡αhřích⁡βhřích⁡y{\ displaystyle \ sin 2 \ alpha + \ sin 2 \ beta + \ sin 2 \ gamma = 4 \ sin \ alfa \ sin \ beta \ sin \ gamma}

Totožnosti bez proměnných

• Richard Feynman si celý svůj život pamatoval tuto zvědavou identitu, kterou nazýval Morrieho zákon  :

cos⁡20∘⋅cos⁡40∘⋅cos⁡80∘=18{\ displaystyle \ cos 20 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 40 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 80 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {8}}}.

Taková identita je příkladem identity, která neobsahuje proměnnou; získává se z rovnosti:

∏j=0k-1cos⁡(2jX)=hřích⁡(2kX)2khřích⁡X{\ displaystyle \ prod _ {j = 0} ^ {k-1} \ cos (2 ^ {j} x) = {\ frac {\ sin (2 ^ {k} x)} {2 ^ {k} \ hřích x}}}.

• Další příklady:

cos⁡36∘+cos⁡108∘=cos⁡π5+cos⁡3π5=12.{\ displaystyle \ cos 36 ^ {\ circ} + \ cos 108 ^ {\ circ} = \ cos {\ frac {\ pi} {5}} + \ cos 3 {\ frac {\ pi} {5}} = {\ frac {1} {2}}.} cos⁡24∘+cos⁡48∘+cos⁡96∘+cos⁡168∘=cos⁡2π15+cos⁡22π15+cos⁡42π15+cos⁡72π15=12.{\ displaystyle \ cos 24 ^ {\ circ} + \ cos 48 ^ {\ circ} + \ cos 96 ^ {\ circ} + \ cos 168 ^ {\ circ} = \ cos {\ frac {2 \ pi} { 15}} + \ cos 2 {\ frac {2 \ pi} {15}} + \ cos 4 {\ frac {2 \ pi} {15}} + \ cos 7 {\ frac {2 \ pi} {15} } = {\ frac {1} {2}}.} cos⁡2π21+cos⁡22π21+cos⁡42π21+cos⁡52π21+cos⁡82π21+cos⁡102π21=12.{\ displaystyle \ cos {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 2 {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 4 {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 5 {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 8 {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 10 {\ frac {2 \ pi} {21}} = {\ frac {1} {2}}.}

Faktory 1, 2, 4, 5, 8, 10 jsou celá čísla menší než 21/2, která nemají společný faktor s 21.

Tyto příklady jsou důsledky základního výsledku na cyklotomické polynomy  ; kosiny jsou skutečné části kořenů těchto polynomů; součet nul udává hodnotu Möbiovy funkce v 21 (v úplně posledním případě výše); v těchto vztazích je přítomna pouze polovina kořenů.

• V tomto článku najdeme identity zahrnující úhel , jako napříkladπ7{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {7}}}cos⁡π7-cos⁡2π7+cos⁡3π7=12{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {7}} - \ cos {\ frac {2 \ pi} {7}} + \ cos {\ frac {3 \ pi} {7}} = {\ frac {1} {2}}}
• a v něm identity zahrnující úhel , jako např .π9{\ displaystyle \ pi \ nad 9}cos⁡π9-cos⁡2π9+cos⁡4π9=12{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {9}} - \ cos {\ frac {2 \ pi} {9}} + \ cos {\ frac {4 \ pi} {9}} = {\ frac {1} {2}}}
• Další klasická identita :, ze které můžeme odvodit .∏k=1ne-1hřích⁡kπne=ne2ne-1{\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {k \ pi} {n}} = {\ frac {n} {2 ^ {n-1}}}}hřích⁡1∘hřích⁡2∘...hřích⁡90∘=1802179{\ displaystyle \ sin 1 ^ {\ circ} \ sin 2 ^ {\ circ} ... \ sin 90 ^ {\ circ} = {\ sqrt {\ frac {180} {2 ^ {179}}}}}

V analýze

Při analýze je nezbytné, aby úhly, které se objevují jako argumenty trigonometrických funkcí, byly měřeny v radiánech  ; pokud jsou měřeny ve stupních nebo v jakékoli jiné jednotce, pak vztahy uvedené níže budou nepravdivé.

Řízení

Geometrický význam sinusu a tečny „  ukazuje  “ - a věta o konečných přírůstcích dokazuje - že

∀X∈]0,π/2[hřích⁡(X)<X<opálení⁡(X).{\ displaystyle \ forall x \ in \ left] 0, \ pi / 2 \ right [\ quad \ sin (x) <x <\ tan (x).} Detaily

• Geometrický argument se skládá (srov. Obrázek naproti) v uzavření oblasti kruhového sektoru jednotkového disku o úhlu θ = x oblastí dvou trojúhelníků:
  • plocha trojúhelníku OAD obsažená v sektoru je (sinθ) / 2;
  • to sektoru je podle definice rovné θ / 2;
  • trojúhelník OCD, který jej obsahuje, má hodnotu (tanθ) / 2.
• Analytický důkaz spočívá v uvažování reálného y (poskytovaného teorémem konečných přírůstků) takového0<y<X a hřích⁡XX=hřích′⁡y=cos⁡y{\ displaystyle 0 <y <x {\ text {et}} {\ frac {\ sin x} {x}} = \ sin 'y = \ cos y}a všimněte si tohocos⁡X<cos⁡y<1.{\ displaystyle \ cos x <\ cos y <1.}

Tento rámec se často používá; dvěma příklady jsou Archimédova metoda pro výpočet čísla π (viz kvadratura kruhu ) a bazilejský problém .

Změnou x na arctan x získáme:

∀X>0X1+X2<arktan⁡X<X.{\ displaystyle \ forall x> 0 \ quad {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}} <\ arctan x <x.}

Změnou x na arcsin x získáme:

∀X∈]0,1[X<arcsin⁡X<X1-X2.{\ displaystyle \ forall x \ in \ left] 0,1 \ right [\ quad x <\ arcsin x <{\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}

Deriváty

Tyto deriváty z sin a cos lze odvodit od sebe posunem π / 2 . Oni jsou :

hřích′=cos,cos′=-hřích.{\ displaystyle \ sin '= \ cos, \ quad \ cos' = - \ sin.} Příklady demonstrací

• Pokud jsou trigonometrické funkce geometricky definovány, nejprve se přesvědčíme o výše uvedeném rámci, ze kterého okamžitě odvodíme (díky teorémům četníků )limX→0hřích⁡XX=1.{\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1.}Tento limit umožňuje vypočítat deriváty sin a cos , z definice odvozené číslem jako mezích zvýšení rychlosti tím, že transformace rozdílu do výrobku v čitateli této rychlosti.
• Pokud jsou trigonometrické funkce analyticky definovány, lze deriváty získat odvozením celé řady po jednotlivých termínech.

Ostatní trigonometrické funkce lze odvodit pomocí předchozích identit a pravidel odvození . Například :

opálení′=1+opálení2=1cos2=suchý2,{\ displaystyle \ tan '= 1 + \ tan ^ {2} = {\ frac {1} {\ cos ^ {2}}} = \ sec ^ {2},} náklady′=-1-náklady2=-1hřích2=-csc2,{\ displaystyle \ cot '= -1- \ cot ^ {2} = - {\ frac {1} {\ sin ^ {2}}} = - \ csc ^ {2},} arcsin′⁡(X)=11-X2,{\ displaystyle \ arcsin '(x) = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}},} arccos′=-arcsin′,{\ displaystyle \ arccos '= - \ arcsin',} arktan′⁡(X)=11+X2.{\ displaystyle \ arctan '(x) = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}.}

Primitiv

Identity na integrálech najdete v tabulce primitiv trigonometrických funkcí .

Poznámky a odkazy

Poznámky

1. Pro ukázku vývoje tan ( a + b ) viz například tato kapitola lekce „Trigonometrie“ na Wikiversity . To lůžku ( + b ) je znázorněn v stejným způsobem.
2. viz „  Zákon kotangensů  “.
3. Za předpokladu, že t se liší od ± 1 , tj. X ≠π/2+ k π .
4. Obecněji viz tento seznam identit na Wikiversity .

Reference

1. (in) Milton Abramowitz a Irene Stegun , Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami [ podrobnosti publikace ] ( číst online ), str.  73 , 4.3.45.
2. Arthur Adam a Francis Lousberg, Espace Math 5e / 6e , De Boeck,2003( číst online ) , s.  144.
3. Lionel Porcheron, MPSI , MP , Dunod forma,2008, 4 th  ed. ( číst online ) , s.  178.
4. Dany-Jack Mercier, Test prezentace na CAPES matematice , sv.  2, Publibook,2006( číst online ) , s.  168.
5. (in) Martin Erickson, Aha! Řešení , MAA ,2009( číst online ) , s.  30-31.
6. Kolektivní, Bac cíl - Všechny předměty - Termín STI2D , Hachette,2014( číst online ) , s.  18.
7. Mercier 2006 , str.  169.
8. „ Carnotovy vzorce  “ ( Adam a Lousberg 2003 , s.  143).
9. Jean-Pierre Ramis , André Warusfel a kol. , All-in-one Matematika pro licence - Level L1 , Dunod, 2 nd  ed. ( číst online ) , s.  676.
10. (in) Fred Richman , „  Circular Argument  “ , The College Mathematics Journal  (in) , sv.  24, n O  2Březen 1993, str.  160-162 ( číst online ).
11. Podrobně v trigonometrických funkcích / předběžných vlastnostech na Wikiversity .

Podívejte se také

• Hyperbolická funkce
• Trigonometrie

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">