Tenzor napětí
Tenzor je symetrický tenzor řádu 2, sloužící k popisu místní deformace stav důsledku pnutí .
Stav deformace tělesa je popsán tenzorovým polem , to znamená, že tenzor deformací je definován v kterémkoli bodě tělesa. Jeden hovoří o této skutečnosti pole deformace .
V rámci lineární pružnosti, tenzoru deformace je spojen s tenzor napětí podle všeobecných Hookeova zákona .
Definice operátora kmene
Tenzor deformace má za cíl charakterizovat v bodě variaci délky segmentu po transformaci, kterou médium prošlo. Deformaci média lze popsat funkcí (předpokládá se, že je dostatečně pravidelná), která v bodě A média spojuje jeho transformaci A ':
ÓNA′→=Φ(NA,t){\ displaystyle {\ overrightarrow {OA '}} = \ Phi (A, t)}Zvažte segment AB, který se změní na A '
B '. Tenzor deformace umožňuje kvantifikaci . Ve skutečnosti máme:
‖NA′B′→‖2-‖NAB→‖2{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {A'B '}} \ | ^ {2} - \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | ^ {2}}
ÓNA′→=Φ(NA,t){\ displaystyle {\ overrightarrow {OA '}} = \ Phi (A, t)}Můžeme tedy napsat:
ÓB′→=ÓNA′→+F⋅NAB→+Ó(‖NAB→‖){\ displaystyle {\ overrightarrow {OB '}} = {\ overrightarrow {OA'}} + F \ cdot {\ overrightarrow {AB}} + o (\ | {\ overrightarrow {AB}} \ |)}nebo
F=Grnad(Φ)=∂Φ∂NA{\ displaystyle F = {\ rm {grad}} (\ Phi) = {\ frac {\ částečný \ Phi} {\ částečný A}}}je gradient transformace . Odkud :
Φ{\ displaystyle \ Phi}
NA′B′→=F⋅NAB→+Ó(‖NAB→‖){\ displaystyle {\ overrightarrow {A'B '}} = F \ cdot {\ overrightarrow {AB}} + o (\ | {\ overrightarrow {AB}} \ |)}Získáváme proto v prvním pořadí:
‖NA′B′→‖2-‖NAB→‖2=NAB→T(FT⋅F-Jád)NAB→{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {A'B '}} \ | ^ {2} - \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | ^ {2} = {\ overrightarrow {AB}} ^ {T} \ vlevo (F ^ {T} \ cdot F - {\ rm {Id}} \ vpravo) {\ overrightarrow {AB}}}Ptáme se:
E=12(FT⋅F-Jád){\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ vlevo (F ^ {T} \ cdot F - {\ rm {Id}} \ vpravo)}E{\ displaystyle E}je provozovatelem kmenů Green -Lrange. Jde o skutečný symetrický tenzor, tedy diagonalizovatelný na ortonormálním základě . Vlastní směry se nazývají hlavní směry napětí.
Pokud zavedeme vektor posunutí
u(NA,t)=NANA′→=Φ(NA,t)-ÓNA→{\ displaystyle u (A, t) = {\ overrightarrow {AA '}} = \ Phi (A, t) - {\ overrightarrow {OA}}}získáváme:
F=Jád+∂u∂NA{\ displaystyle F = {\ rm {Id}} + {\ frac {\ částečné u} {\ částečné A}}}poukazem na parciální derivace z
a proto:
∂u∂NA{\ displaystyle {\ frac {\ částečné u} {\ částečné A}}}u{\ displaystyle u}
E=12(∂u∂NA+∂u∂NAT+∂u∂NAT⋅∂u∂NA){\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné u} {\ částečné A}} + {\ frac {\ částečné u} {\ částečné A}} ^ {T } + {\ frac {\ částečné u} {\ částečné A}} ^ {T} \ cdot {\ frac {\ částečné u} {\ částečné A}} \ vpravo)}
Případ malých deformací
Tenzor linearizovaných kmenů
Pokud někdo předpokládá malé kmeny, zanedbává podmínky druhého řádu a získá tenzor linearizovaných kmenů:
ε=12(∂u∂NA+∂u∂NAT){\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {1} {2}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné u} {\ částečné A}} + {\ frac {\ částečné u} {\ částečné A}} ^ { T} \ vpravo)}Ve formě komponent na ortonormálním základě:
εij=12(∂ui∂Xj+∂uj∂Xi){\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} = {1 \ nad 2} \ vlevo ({\ částečné u_ {i} \ přes \ částečné x_ {j}} + {\ částečné u_ {j} \ přes \ částečné x_ {i }} \ že jo)}
Výklad diagonálních členů
Úhlopříčné členy jsou relativní prodloužení ve směru i (podél osy x i ). Vezměme si případ segmentu [ AB ], rovnoběžného s osou x 1 , a zajímá nás část deformace rovnoběžná s x 1 , kterou označíme [ A'B ' ].
εii{\ displaystyle \ varepsilon _ {ii}}
Relativní prodloužení má hodnotu (vyjádřeno v algebraických vzdálenostech):
NA′B′¯-NAB¯NAB¯{\ displaystyle {\ frac {{\ overline {A'B '}} - {\ overline {AB}}} {\ overline {AB}}}}To vím
NANA′¯=u1(NA){\ displaystyle {\ overline {AA '}} = u_ {1} (A)} a
BB′¯=u1(B){\ displaystyle {\ overline {BB '}} = u_ {1} (B)}
kde je složka podél osy x 1 , má toto prodloužení hodnotu:
u1{\ displaystyle u_ {1}}u{\ displaystyle u}
NA′NA¯+NAB¯+BB′¯NAB¯-1=u1(B)-u1(NA)+NAB¯NAB¯-1=u1(B)-u1(NA)NAB¯{\ displaystyle {\ frac {{\ overline {A'A}} + {\ overline {AB}} + {\ overline {BB '}}} {\ overline {AB}}} - 1 = {\ frac {u_ {1} (B) -u_ {1} (A) + {\ overline {AB}}} {\ overline {AB}}} - 1 = {\ frac {u_ {1} (B) -u_ {1} (A)} {\ overline {AB}}}}Rozpoznáváme rychlost nárůstu funkce a pokud se umístíme do malých deformací, můžeme tuto rychlost nárůstu nahradit derivací , která dává:
u1{\ displaystyle u_ {1}}u1{\ displaystyle u_ {1}}
NA′B′¯-NAB¯NAB¯≃∂u1∂X1=ε11{\ displaystyle {\ frac {{\ overline {A'B '}} - {\ overline {AB}}} {\ overline {AB}}} \ simeq {\ frac {\ částečné u_ {1}} {\ částečné x_ {1}}} = \ varepsilon _ {11}}Obecněji :
εii=∂ui∂Xi=12(∂ui∂Xi+∂ui∂Xi){\ displaystyle \ varepsilon _ {ii} = {\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné x_ {i}}} = {\ frac {1} {2}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné x_ {i}}} + {\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné x_ {i}}} \ vpravo)}Koeficienty v důsledku smyku
Ostatní termíny ( i ≠ j ) jsou poloviční variace pravého úhlu malého objemu kubické hmoty před deformací.
εij{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij}}y{\ displaystyle \ gamma}
Ve skutečnosti, je čtverec ABCD , kde [ AB ] je rovnoběžná s x 1 a [ nl ] je rovnoběžná s x 2 , je transformován do kosočtverce AB'C'D ' , symetrické v závislosti na první ose úhlu roviny.
Tangenta úhlu je:
y{\ displaystyle \ gamma}
opálení(y)=BB′¯NAB¯{\ displaystyle \ tan (\ gamma) = {\ frac {\ overline {BB '}} {\ overline {AB}}}}.
Pro malé deformace máme
opálení(y)≃y{\ displaystyle \ tan (\ gamma) \ simeq \ gamma}jakož i
BB′¯=u2(B)≃u2(NA)+∂u2∂X1⋅NAB¯{\ displaystyle {\ overline {BB '}} = u_ {2} (B) \ simeq u_ {2} (A) + {\ frac {\ částečné u_ {2}} {\ částečné x_ {1}}} \ cdot {\ overline {AB}}}s u 2 ( A ) = 0. Tedy,
y≃∂u2∂X1{\ displaystyle \ gamma \ simeq {\ frac {\ částečné u_ {2}} {\ částečné x_ {1}}}}Pokud nyní vezmeme v úvahu segment [ AD ]:
y≃∂u1∂X2{\ displaystyle \ gamma \ simeq {\ frac {\ částečné u_ {1}} {\ částečné x_ {2}}}}Při rotaci, která není deformací, můžeme předpokládat, že oba úhly jsou stejné, i když to znamená rotaci kosočtverce a tedy
y{\ displaystyle \ gamma}
y=12(∂u1∂X2+∂u2∂X1)=ε12{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {2}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné u_ {1}} {\ částečné x_ {2}}} + {\ frac {\ částečné u_ {2} } {\ částečné x_ {1}}} \ vpravo) = \ varepsilon _ {12}}Poznámka : v článku Elastická deformace je definovaný úhel roven dvojnásobku zde definovaného úhlu.
y{\ displaystyle \ gamma}
Relativní změna objemu
Zvažte základní hranol generovaný třemi vektory . Jeho transformace pomocí je hranol generovaný .
(E10,E20,E30){\ displaystyle (e_ {10}, e_ {20}, e_ {30})}Φ{\ displaystyle \ Phi}(E1,E2,E3){\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}, e_ {3})}
Nechť V 0 je počáteční hranol a V objem transformace.
V prvním pořadí máme:
PROTI=(E1∧E2)⋅E3=(F(E10)∧F(E20))⋅F(E30)=det(F)(E10∧E20)⋅E30=det(F)PROTI0{\ displaystyle V = (e_ {1} \ klín e_ {2}) \ cdot e_ {3} = (F (e_ {10}) \ klín F (e_ {20})) \ cdot F (e_ {30} ) = \ det (F) (e_ {10} \ klín e_ {20}) \ cdot e_ {30} = \ det (F) V_ {0}}Relativní změna objemu je PROTI-PROTI0PROTI0=ΔPROTIPROTI0=det(F)-1{\ displaystyle {\ frac {V-V_ {0}} {V_ {0}}} = {\ frac {\ Delta V} {V_ {0}}} = \ det (F) -1}
V případě malých deformací, a det (F) - 1 se rovná prvního řádu na stopy z , který se rovná stopa tenzoru :F=Jád+∂u∂NA{\ displaystyle F = {\ rm {Id}} + {\ frac {\ částečné u} {\ částečné A}}}∂u∂NA{\ displaystyle {\ frac {\ částečné u} {\ částečné A}}}ε{\ displaystyle \ varepsilon}ε11+ε22+ε33{\ displaystyle \ varepsilon _ {11} + \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {33}}
Jeden výsledek lze najít umístěním do základny hlavních směrů namáhání. Zvažte kostku s hranou a . Po deformaci máme kvazi-rovnoběžnostěn objemu:
PROTI=na⋅(1+ε11)×na⋅(1+ε22)×na⋅(1+ε33){\ displaystyle V = a \ cdot (1+ \ varepsilon _ {11}) \ krát a \ cdot (1+ \ varepsilon _ {22}) \ krát a \ cdot (1+ \ varepsilon _ {33})}zatímco :
PROTI0=na3{\ displaystyle V_ {0} = a ^ {3}}Které dávají:
ΔPROTIPROTI0=(1+ε11+ε22+ε33+ε11⋅ε22+ε11⋅ε33+ε22⋅ε33+ε11⋅ε22⋅ε33)⋅na3-na3na3{\ displaystyle {\ frac {\ Delta V} {V_ {0}}} = {\ frac {\ vlevo (1+ \ varepsilon _ {11} + \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {33} + \ varepsilon _ {11} \ cdot \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {11} \ cdot \ varepsilon _ {33} + \ varepsilon _ {22} \ cdot \ varepsilon _ {33} + \ varepsilon _ {11} \ cdot \ varepsilon _ {22} \ cdot \ varepsilon _ {33} \ right) \ cdot a ^ {3} -a ^ {3}} {a ^ {3}}}}protože jsme ve velmi slabé deformaci,
1 >> ε ii >> ε ii ε jj >> ε 11 ε 22 ε 33
proto výsledek.
Říkáme, že existuje čistý střih, když je stopa nulová, jinými slovy, když nedochází k žádné změně objemu.
O deformaci se říká, že je nestlačitelná, pokud k ní dochází bez změny objemu v kterémkoli bodě těla. Zejména plastické deformace se provádí bez kolísání objemu.
Hlavní deformace
Existuje ortonormální základ , takže tenzor napětí je diagonální matice (viz Symetrická matice> Spektrální rozklad ):
(X→Já,X→JáJá,X→JáJáJá){\ displaystyle ({\ vec {x}} _ {\ mathrm {I}}, {\ vec {x}} _ {\ mathrm {II}}, {\ vec {x}} _ {\ mathrm {III} })}
E=(εJá000εJáJá000εJáJáJá){\ displaystyle \ mathrm {E} = {\ begin {pmatrix} \ varepsilon _ {\ mathrm {I}} a 0 a 0 \\ 0 & \ varepsilon _ {\ mathrm {II}} & 0 \\ 0 a 0 & \ varepsilon _ {\ mathrm {III}} \\\ end {pmatrix}}}.
Tyto směry se nazývají hlavní směry a kmeny ε I , ε II a ε III jsou hlavními kmeny .
(X→Já,X→JáJá,X→JáJáJá){\ displaystyle ({\ vec {x}} _ {\ mathrm {I}}, {\ vec {x}} _ {\ mathrm {II}}, {\ vec {x}} _ {\ mathrm {III} })}
Hlavní kmeny jsou vlastní hodnoty tenzoru a vlastní směry, jejich vlastní vektory . Vlastní čísla λ ověřují rovnici
dEt(E-λJá)=0{\ displaystyle \ mathrm {det} (E- \ lambda I) = 0}kde I je matice identity; hlavními kmeny jsou tedy řešení v λ této rovnice.
Připomeňme si, že trasování je neměnné změnou báze (viz Podobné matice )
ε11+ε22+ε33=εJá+εJáJá+εJáJáJá{\ displaystyle \ varepsilon _ {11} + \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {33} = \ varepsilon _ {\ mathrm {I}} + \ varepsilon _ {\ mathrm {II}} + \ varepsilon _ { \ mathrm {III}}}a tak při malých deformacích stojí za to relativní změna objemu
ΔPROTIPROTI0=εJá+εJáJá+εJáJáJá{\ displaystyle {\ frac {\ Delta \ mathrm {V}} {\ mathrm {V} _ {0}}} = \ varepsilon _ {\ mathrm {I}} + \ varepsilon _ {\ mathrm {II}} + \ varepsilon _ {\ mathrm {III}}}Na rozdíl od hlavních napětí je koncept hlavního přetěžování pro výpočet využíván poměrně málo. Na druhou stranu umožňuje jednoduchým způsobem vyjádřit elastickou energii a je užitečný pro analýzu výsledků extenzometrie . Kromě toho jsou hlavní směry stejné pro tenzor napětí a pro tenzor napětí.
Invarianty tenzoru napětí
Definujeme tři invarianty tenzoru, tj. Tři hodnoty, které jsou nezávislé na bázi:
- Já1=Tr(E)=ε11+ε22+ε33=∑iεii{\ displaystyle I_ {1} = \ mathrm {Tr} (\ mathrm {E}) = \ varepsilon _ {11} + \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {33} = \ součet _ {i} \ varepsilon _ {ii}}
buď se součtu konvence Einstein :
;
Já1=εii{\ displaystyle I_ {1} = \ varepsilon _ {ii}}
- Já2=ε11ε22+ε22ε33+ε33ε11-ε122-ε232-ε312=12∑i∑j(εiiεjj-εijεij){\ displaystyle I_ {2} = \ varepsilon _ {11} \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {22} \ varepsilon _ {33} + \ varepsilon _ {33} \ varepsilon _ {11} - \ varepsilon _ {12} ^ {2} - \ varepsilon _ {23} ^ {2} - \ varepsilon _ {31} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} \ sum _ { j} (\ varepsilon _ {ii} \ varepsilon _ {jj} - \ varepsilon _ {ij} \ varepsilon _ {ij})}
nebo znovu
;
Já2=12(εiiεjj-εijεij){\ displaystyle I_ {2} = {\ frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {ii} \ varepsilon _ {jj} - \ varepsilon _ {ij} \ varepsilon _ {ij})}
- Já3=dEt(E){\ displaystyle I_ {3} = \ mathrm {det} (\ mathrm {E})}
nebo
kde e ijk je symbol Levi-Civita (nebo symbol Ricci). S hlavními deformacemi se stává:
Já3=Eijkε1iε2jε3k{\ displaystyle I_ {3} = e_ {ijk} \ varepsilon _ {1i} \ varepsilon _ {2j} \ varepsilon _ {3k}}
-
Já1=εJá+εJáJá+εJáJáJá{\ displaystyle I_ {1} = \ varepsilon _ {I} + \ varepsilon _ {II} + \ varepsilon _ {III}} ;
-
Já2=εJáεJáJá+εJáJáεJáJáJá+εJáJáJáεJá{\ displaystyle I_ {2} = \ varepsilon _ {I} \ varepsilon _ {II} + \ varepsilon _ {II} \ varepsilon _ {III} + \ varepsilon _ {III} \ varepsilon _ {I}} ;
-
Já3=εJáεJáJáεJáJáJá{\ displaystyle I_ {3} = \ varepsilon _ {I} \ varepsilon _ {II} \ varepsilon _ {III}}.
Izotropní tenzor a deviátor
Lze vyjádřit tenzor kmenů ve formě izotropního tenzoru E 'a deviátoru E' ':
E=E′+E„{\ displaystyle \ mathrm {E} = \ mathrm {E} '+ \ mathrm {E}' '}s izotropním tenzorem, nazývaným také sférická část
E′=13tr(E)Já{\ displaystyle \ mathrm {E} '= {\ frac {1} {3}} \ mathrm {tr} (\ mathrm {E}) \ mathrm {I}}kde I je jednotková matice a deformační deviátor
E„=dEproti(E)=E-E′{\ displaystyle \ mathrm {E} '' = \ mathrm {dev} (\ mathrm {E}) = \ mathrm {E} - \ mathrm {E} '}.
Pomocí Einsteinovy konvence součtu máme :
-
εij′=13(∑kεkk)δij=13εkkδij{\ displaystyle \ varepsilon '_ {ij} = {\ frac {1} {3}} \ vlevo (\ sum _ {k} \ varepsilon _ {kk} \ vpravo) \ delta _ {ij} = {\ frac { 1} {3}} \ varepsilon _ {kk} \ delta _ {ij}} ;
-
εij„=εij-13(∑kεkk)δij=εij-13εkkδij{\ displaystyle \ varepsilon '' _ {ij} = \ varepsilon _ {ij} - {\ frac {1} {3}} \ vlevo (\ sum _ {k} \ varepsilon _ {kk} \ vpravo) \ delta _ {ij} = \ varepsilon _ {ij} - {\ frac {1} {3}} \ varepsilon _ {kk} \ delta _ {ij}} ;
kde δ ij je Kroneckerův symbol .
Tento rozklad zjednodušuje vyjádření pružných deformačních energií změny objemu a zkreslení.
Podívejte se také
Související články
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">