V matematice , fyzice a inženýrství je tenzorové pole velmi obecným pojmem proměnné geometrické veličiny. Používá se v diferenciální geometrii a teorii odrůd v algebraické geometrii v obecné relativitě , při analýze napětí a přetvoření v materiálech a v mnoha aplikacích ve fyzikálních vědách a inženýrství. Jde o zobecnění myšlenky vektorového pole , které je koncipováno jako „vektor, který se mění od bodu k bodu“, k tomu bohatšímu, „ tenzoru, který se liší od bodu k bodu“.
Je třeba poznamenat, že několik matematických struktur hovorově nazývaných „tenzory“ jsou ve skutečnosti tenzorová pole, která přiřazují tenzor ke každému bodu domény. Základní úvod do tenzorů najdete v článku tensor . V polích tenzorů najdeme pojmy stupeň kovariance nebo kontravariance, které označují způsob, jakým se tenzor chová při změně báze.
Geometrická intuice pro vektorové pole je tvořena „šipkou připojenou ke každému bodu v oblasti“, s různou délkou a směrem. Mentální obraz vektorového pole na zakřiveném prostoru může být založen na příkladu mapy počasí ukazující horizontální rychlost větru v každém bodě na povrchu Země.
Obecný pojem tenzorového pole je definován na rozdělovačích , zakřivených prostorech libovolných rozměrů generalizujících povrchy. Jde jak o objekt se sofistikovaným obsahem - umožňuje například dát podstatu myšlence elipsy nebo skalárního součinu, který není fixní, ale proměnlivý a připojený k aktuálnímu bodu - a veličiny, která je vnitřně definované, nezávisle na nastavení parametrů nebo volbě souřadnic použitých k popisu definiční domény. V příkladu pozemského světa lze pole vyjádřit pomocí zeměpisné šířky a délky nebo pomocí různých typů kartografických projekcí , musí však být možné je definovat nezávisle na těchto výpočetních nástrojích.
Pole tensor pak tvoří základní představu o diferenciální geometrii , aby bylo možné rozšířit řadu nástrojů lineární nebo multilinear algebry , pak poskytnout rámec nezbytný k provedení analýzy na varietách. Mezi důležité tenzory v matematice patří diferenciální tvary , Riemannovy metriky nebo tenzory zakřivení .
Ve všech explicitních vzorcích bude použita Einsteinova konvence součtu : pokud se index opakuje, mělo by být zřejmé, že na tomto indexu byl implikován symbol součtu.
Na otevřeném U euklidovského prostoru je tenzorové pole typu (p, q) mapa U ve vektorovém prostoru tenzorů tohoto typu, považovaná za dostatečně pravidelnou (obecně se ptáme ). To může také být viděn jako tensor, jehož komponenty jsou funkcemi polohy v U . Obvyklé operace, jako je tenzorový produkt nebo kontrakce, lze rozšířit, protože jakýkoli výpočet se provádí komponentou po komponentě v referenční bázi.
Globální změna bází se provádí pomocí průchodové matice A a její inverze (v závislosti na rozptylu nebo kontravariance), přesně jako u běžných tenzorů:
Obecněji, změna souřadného systému (zakřivené) y = f (x) dává analogický vzorec tím, že pro v Jacobian matrici mapového f
Vzorec, který bude hrát ústřední roli při přechodu do rámce potrubí a ve kterém je třeba poznamenat, že zasahují pouze hodnoty tenzoru a derivací aplikací souřadnic k aktuálnímu bodu.
Existuje několik přístupů k definování tenzorového pole. Přístup často používaný v matematice spočívá v definování množiny všech tenzorů od vektorů a „covektorů“ operacemi multilineární algebry . Formálně to vede ke konstrukci různých svazků tangenty a kotangenty , různých tenzorových produktů nebo externí algebry, které samy tvoří svazky . Různá tenzorová pole se poté zobrazují jako úseky těchto svazků: tenzor řádu (p, q) je část (implikovaná ) tenzorového součinu p kopií tangentového svazku a q kopií kotangensového svazku:
Můžeme také definovat individuální tenzorové pole T poskytnutím popisu komponent v lokálních mapách . Konkrétně se na otevřené mapě tenzor vyvíjí pomocí vektorů a základních 1 tvarů
Aby byl zaručen vnitřní charakter definice, je nutné zajistit typ transformace, kterou komponenty procházejí během změn map, které musí být kompatibilní se stupni invariance a kontravariance. Najdeme vzorec zobrazující dílčí deriváty aplikace pro změnu mapy f (zde máme na mysli aplikační body)
Tento přístup je docela systematický ve fyzice , a zejména v obecné relativitě , v obecné mechanice a v mechanice kontinua , kde je to často vyjádření zákonů transformace změnou mapy, což umožňuje pozorovat, že zavedené objekty jsou tenzory určitého typu.
Určitý počet konstrukcí lze navrhnout s tenzorovými poli, která vedou k přesně definovaným objektům, aniž by byla sama tenzory. Konkrétně výraz v místních mapách, i když je kompatibilní s opětovným připojením, sleduje další transformační zákony. To je například případ Christoffelových symbolů v Riemannově geometrii . Existují však kritéria pro identifikaci tenzorového znaku bez návratu k výpočtu v komponentách na základě vlastnosti -linearity.
Pozorujeme, že pole vektorů X nebo pole vektorů (lineární formy) L můžeme vynásobit (body po bodu) numerickou funkcí . Zdá se, že operace jsou lineární a kompatibilní s hranatou závorkou:
Abstraktně, to linearity ukazuje, že soubor z tečných částí svazku je modul na kruhu funkcí . Stejná vlastnost platí pro úseky kotangensového svazku, ale také se jeví jako duální , množina lineárních map na (a naopak). Sada tenzorových polí typu (p, q) se získá tenzorovým součinem těchto modulů.
Tyto úvahy umožňují postupnou definici tenzorů z tangensových a kotangensových svazků: pole tenzorů řádu (p, q + 1) je identifikováno s -lineární mapou, která spojuje pole vektorů s polem tenzorů řádu (p , q) . Nebo opět q -lineární mapa (vždy v tom smyslu ) na polích vektorů s tenzorovými hodnotami řádu (p, 0) dává tenzor řádu (p, q) . To také umožňuje rozlišit konstrukce, které mají tenzorický charakter, jak se objeví níže pro kovariantní derivaci.
V mechanice těles , spojující tenzor napětí na tenzoru deformace s různými zákony chování. V případě elastického tělesa se tedy Hookeův zákon zajímá o malý prvek hmoty, který prochází malými deformacemi. Zákon deformace je lineární a reverzibilní bez ohledu na napětí, které vede k jeho vyjádření v tenzorové formě, s kontrakcí:
kde C je tenzor pružných konstant .
V Riemannově geometrii obdarujeme diferenciální varietu metrickým , tj. Symetrickým tenzorem typu (0,2), který definuje na každém tangenciálním prostoru skalární součin. Smluvení tenzoru s metrickým tenzorem lze použít k přechodu z kovarianční situace do kontrariance nebo naopak, což se běžně prezentuje jako „pohyb nahoru nebo dolů“ tenzoru. Jeden také definuje z metrického tenzoru Riemannovu křivku tenzoru, která popisuje geometrii potrubí.
Obecná teorie relativity používá podobný geometrický rámec než Riemannian geometrii, s metrický tensor, který není pozitivně definitní. Můžeme dát do souvislosti tenzor energie a hybnosti se zakřivením časoprostoru.
Diferenciální rovnice jsou základním nástrojem pro popis vývoje systému nebo deformace matematického objektu. Je nutné umět je formulovat jak z hlediska tenzorových polí, tak z hlediska diferenciální geometrie i teoretické fyziky či mechaniky. Obsah takových vztahů nezahrnuje pouze diferenciální počet v euklidovském prostoru, ale nutně zahrnuje geometrii potrubí.
Pro numerickou funkci definovanou na potrubí existují přirozené představy o směrových derivacích a diferenciálech . Nicméně, toto není případ pro tensor pole T . To by skutečně vyžadovalo schopnost porovnávat hodnoty T ve dvou sousedních bodech, ale tyto hodnoty patří do dvou různých vláken, mezi nimiž neexistuje kanonicky definovaný izomorfismus. Existují různé způsoby, jak překonat tuto obtíž, s výběrem dalších informací. A pokud se člověk snaží dvakrát (nebo více) rozlišit numerickou funkci, vyvstává také otázka: pojem Hessianova funkce tedy není obecně definován (s výjimkou kritických bodů).
Kromě toho, Schwarz věta z euklidovském prostoru, což je jev symetrie druhých derivací, se nevztahuje na jakýkoli typ odvození: se zdá, že podmínky spojené s komutaci derivátů.
Když tedy máme difeomorfismus, můžeme tímto difeomorfismem „transportovat“ tenzor podle stejných vzorců jako při změně map. To definuje pojmy vzájemného obrazu (nebo pullback ) a přímého obrazu ( dopředu ), které umožňují porovnat hodnoty T v bodech odpovídajících ψ.
Zobecnit lze opřít o pole vektorů X : přidružený tok dává podskupinu parametru lokálních difeomorfismů. Je tedy možné vypočítat „derivaci T podél toku“
který se nazývá lež derivát z T podle X a je zase tensor, podobně jako T . Na místní mapě je tato derivace vyjádřena (pro pole tenzorů typu r, s ) vzorcem, kde se objevují hodnoty a deriváty T, ale i X v místě studia:
Když provádíme po sobě následující Lieovy derivace, vidíme komutační člen spojený s Lieovým hákem
Kovarianční deriváty lze aplikovat na pole tenzorů nebo obecněji na jakýkoli typ vektorového svazku . Znovu definujeme derivaci tenzoru podle pole vektorů :, ale existuje velká zeměpisná šířka výběru. Taková derivace může být definována axiomaticky, vyžaduje
- očekávané algebraické vlastnosti derivace : linearita a Leibnizovo pravidlo
- tensor vztahu vůči chování koordinovat změny, odtud název „kovariantní“ ve vztahu k V , které mohou být také exprimovány požadavkem, aby závislost V je -lineární: .
Tentokrát pole X zasahuje pouze svou hodnotou v bodě, kde se provádí výpočet, ale volba provedené derivace se projeví v komponentách výskytem koeficientů, symbolů Christoffel definovaných . Obecné vyjádření derivace, vždy pro tenzor řádu ( r , s ), má následující podobu
Existují geometrické způsoby formulace této volby: pojem paralelního přenosu pro vektory nebo výběr „ horizontálního svazku “ příčného k vláknům.
Výpočet po sobě jdoucích kovariančních derivací zahrnuje kromě Lieovy závorky tenzory torze a zakřivení
V přítomnosti další geometrické struktury může existovat přirozeně spojená volba připojení. Pokud máme například Riemannovu metriku , tuto roli hraje spojení Levi-Civita : respektuje metrický tenzor a je bez kroucení. Takže na Riemannově varietě existuje skutečný vlastní nebo absolutní diferenciální počet na tenzorech, který lze provést v jakémkoli pořadí odvození a ve kterém se projeví zakřivení.
Diferenciální formy stupně k jsou identifikovány antisymetrickými tenzory typu (0, k) . V tomto konkrétním případě, na rozdíl od obecných tenzorů, existuje kanonicky definovaný operátor diferenciace, vnější derivace .
Tenzorový počet na webu Sciences.ch