Symbol Kronecker

V matematiky je Kroneckerovo delta je funkce dvou proměnných, které se rovná 1, v případě, že jsou stejné, a 0 jinak. Symbolizuje to písmeno δ ( malá delta ) řecké abecedy .

δij=δij=δij={1-li i=j0-li i≠j{\ displaystyle \ delta _ {ij} = \ delta _ {i} ^ {j} = \ delta ^ {ij} = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {si}} i = j \\ 0 & {\ mbox {si}} i \ neq j \ end {případy}}}

nebo v tenzorové notaci  :

δij=δi⋅δj{\ displaystyle \ delta _ {i} ^ {j} = \ delta _ {i} \ cdot \ delta ^ {j}}

kde δ i a δ j jsou jednotkové vektory takové, že pouze i -ta (respektive j -ta) souřadnice je nenulová (a proto má hodnotu 1).

Když je jedna z proměnných rovna 0, je obvykle vynechána, proto:

δi={1-li i=00-li i≠0{\ displaystyle \ delta _ {i} = {\ start {případů} 1 & {\ mbox {si}} i = 0 \\ 0 & {\ mbox {si}} i \ neq 0 \ end {případů}}}

Dějiny

Titulní symbol Kroneckera je matematik Leopold Kronecker (1823-1891) kdo jej zavedl v 1866.

Příklady

Kroneckerova delta se používá v mnoha oblastech matematiky. Například :

• v lineární algebře je jednotková matice řádu 3 lze zapsat:(δij)(i,j)∈{1,2,3}2=(100010001){\ displaystyle (\ delta _ {ij}) _ {(i, j) \ in \ {1,2,3 \} ^ {2}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 a 0 \\ 0 a 0 a 1 \ konec {pmatrix}}} ;
• během shrnutí vede delta Kronecker ke zjednodušení:∑k=1nenakδk,i={nai-li1≤i≤ne0Pokud ne.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ delta _ {k, i} = \ left \ {{\ begin {pole} {cl} a_ {i} & {\ textrm { si}} \ quad 1 \ leq i \ leq n \\ 0 & {\ textrm {jinak.}} \ quad \ end {pole}} \ vpravo.}

Poznámky a odkazy

Poznámky

1. Symbol Kronecker je také známý jako delta symbolu Kronecker nebo delta Kronecker .

Reference

1. Barrau a obilí 2016 , s.  53 a 108.
2. Gourgoulhon 2010 , str.  10 a 22.
3. Heyvaerts 2012 , s.  132 a 140.
4. Semay a Silvestre-Brač 2016 , str.  137.
5. Crépieux 2019 , kap.  2 , odst . 2 , §  2.1 , s. 2  34.
6. Penrose 2007 , kap.  12 , §  12.8 , s. 1  234, obr. 12.17 .
7. Frey 2006 , kap.  1 st , sekty. 1.7 , §  1.7.3 , str.  8.
8. Penrose 2007 , s.  251.
9. Taillet, Villain a Febvre 2018 , sv Kronecker (delta de), s. 1  414, sl.  2 .
10. Diu 2010 , 5 th  část. , kap.  17 , s.  229.
11. Frey 2006 , kap.  1 st , sekty. 1.7 , §  1.7.3 , str.  7-8.
12. Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv delta [δ], 3, s. 2  193, sl.  1 .
13. Cooke 2017 , 1 st  díl. , kap.  2 , odst . 10 , §  10.2 , s. 1  108, č.  11 .
14. Hawkins 1977 , str.  136, č.  11 .
15. Kuptsov 1990 , s.  309, sl.  1 .

Podívejte se také

Bibliografie

• [Cooke 2017] (cs) R. Cooke , Je čas  : základní matematické aspekty relativity , Providence, AMS , monogr. vnější kol. ( N O  102)Února 2017, 1 st  ed. , 1  obj. , XIX -403  s. , 18,4 × 25,4  cm ( ISBN  978-1-4704-3483-0 a 978-2-88915-009-0 , EAN  9781470434830 , OCLC  987376376 , DOI  10.1090 / mbk / 102 , SUDOC  200727192 , online prezentace , číst online ).
• [Frey 2006] F. Frey , mechanika těles , Lausanne, PPUR , kol.  „Civilní smlouva Spolkového ústavu technologie Lausanne / analýzu strukturálních a kontinua“ ( n o  3)1990( Repr.  2006), 1. st  ed. , 1  obj. , XII -192  s. , nemocný. , 19 × 24  cm ( EAN  9782880743581 , OCLC  468099866 , upozornění BnF n o  FRBNF36971146 , SUDOC  008236720 , online prezentace , číst online ) , kap.  1 st , sekty. 1.7 , §  1.7.3 („symbol Kronecker“), s.  7-8
• [Hawkins 1977] (cs) Th. Hawkins , „  Weierstrass a teorie matic  “ , Arch. Hist. Přesné Sci. , sv.  17, n O  2Jul. 1977, umění  n o  2, str.  119-163 ( DOI  10.1007 / BF02464978 , JSTOR  41133484 ).
• [Penrose 2007] R. Penrose ( přeloženo  z angličtiny pomocí C. Laroche ), Objevování zákony vesmíru: udivující historie matematiky a fyziky [“  Směřování k realitě: kompletního průvodce k zákonům vesmíru  „], Paris, O. Jacob , kol.  "Vědy",srpna 2007, 1 st  ed. , 1  obj. , XXII -1061  s. , nemocný. a obr. , 15,5 × 24  cm ( ISBN  978-2-7381-1840-0 , EAN  9782738118400 , OCLC  209307388 , upozornění BnF n o  FRBNF41131526 , SUDOC  118177311 , online prezentace , číst online ).

• [Diu 2010] B. Diu , Matematika fyzika , Paříž, O. Jacob , kol.  "Vědy",března 2010, 1 st  ed. , 1  obj. , 380  s. , nemocný. a obr. , 14,5 × 22  cm ( ISBN  978-2-7381-2448-7 , EAN  9782738124487 , OCLC  690805807 , oznámení BnF n o  FRBNF42179060 , SUDOC  143407058 , online prezentace , číst online ).
• [Gourgoulhon 2010] É. Gourgoulhon , Omezená relativita: Od částic k astrofyzice , Les Ulis a Paříž, EDP ​​Sciences a CNRS , kol.  "Aktuální znalosti / Fyzika",Květen 2010, 1 st  ed. , 1  obj. , XXVI -776  s. , nemocný. , 23  cm ( ISBN  978-2-7598-0067-4 a 978-2-271-07018-0 , EAN  9782759800674 , OCLC  731758818 , upozornění BnF n o  FRBNF41411713 , SUDOC  14466514X , online prezentace , číst online ).