Ekviprojektivní pole

V afinního Euclidean prostoru , je vektor pole je equiprojective jestliže: $E$ ${\ displaystyle ({\ overrightarrow {V_ {P}}}) _ {P \ v E}}$

{\ displaystyle \ forall P \ in E, \ forall Q \ in E, ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {PQ}}) = ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {PQ}})}

kde označuje součinový produkt . $(\ cdot | \ cdot)$

Pak existuje antisymetrický endomorfismus, jako například: $u$

{\ displaystyle \ forall P \ in E, \ forall Q \ in E, {\ overrightarrow {V_ {Q}}} = {\ overrightarrow {V_ {P}}} + u ({\ overrightarrow {PQ)}}}

Tento pojem se používá ve fyzice, viz Rovnováha ve fyzice .

Demonstrace existence endomorfismu

Antisymetrie

Nechť je libovolný bod . Pro jakýkoli vektor existuje jedinečný bod takový, který definujeme pomocí . $Ó$ $E$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {x}}}$ $P$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {x}} = {\ overrightarrow {OP}}}$ $u$ ${\ displaystyle u ({\ overrightarrow {x}}) = {\ overrightarrow {V_ {P}}} - {\ overrightarrow {V_ {O}}}}$

Ukažme, že pro všechny vektory a máme: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {x}} = {\ overrightarrow {OP}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {y}} = {\ overrightarrow {OQ}}}$

{\ displaystyle (u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow {y}}) = - ({\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}}))}

což dokazuje antisymetrii . $u$

Ve skutečnosti máme:

{\ displaystyle (u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow {y}}) = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} - {\ overrightarrow {V_ {O}}} | {\ overrightarrow {OQ}}) = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {O}}} | {\ overrightarrow {OQ}})}

{\ displaystyle = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ}})}

pomocí ekviprojektivity pole

PROTI

{\ displaystyle = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OP}} + {\ overrightarrow {PQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ }})}

{\ displaystyle = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OP}}) + ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {PQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ}})}

{\ displaystyle = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OP}}) + ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {PQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ}})}

opět pomocí ekviprojektivity.

Pokud si vyměníme role a , získáme: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {x}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {y}}}$

{\ displaystyle ({\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}})) = (u ({\ overrightarrow {y}}) | {\ overrightarrow {x}}) = ({\ overrightarrow { V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ}}) + ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {QP}}) - ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | | \ overrightarrow {OP}})}

Dostaneme:

{\ displaystyle (u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow {y}}) = - ({\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}}))}

Linearita

Dedukujeme z antisymetrie, která je lineární. Vskutku, pro všechny , , my máme: $u$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {x}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {y}}}$ $\ lambda$

{\ displaystyle \ left (u \ left (\ lambda {\ overrightarrow {x}} \ right) | {\ overrightarrow {y}} \ right) = - (\ lambda {\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}})) = - \ lambda ({\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}})) = \ lambda (u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow { y}}) = (\ lambda u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow {y}})}

Tato rovnost platí pro všechno , z čehož usuzujeme, že: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {y}}}$

{\ displaystyle u \ left (\ lambda {\ overrightarrow {x}} \ right) = \ lambda u \ left ({\ overrightarrow {x}} \ right)}

Postupujeme stejným způsobem, abychom ukázali, že:

{\ displaystyle u ({\ overrightarrow {x}} + {\ overrightarrow {x '}}) = u ({\ overrightarrow {x}}) + u ({\ overrightarrow {x'}})}}

Případ dimenze 3, torzní

V přímém ortonormálním základě má antisymetrická matice antisymetrický endomorfismus $u$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ - b & a & 0 \\\ konec {pmatrix}}}

Pokud pojmenujeme vektor komponent , pak předchozí matice je matice aplikace . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {x}} \ mapsto {\ overrightarrow {\ Omega}} \ klín {\ overrightarrow {x}}}$

Takže máme a proto ${\ displaystyle \ forall {\ overrightarrow {x}}, u ({\ overrightarrow {x}}) = {\ overrightarrow {\ Omega}} \ klín {\ overrightarrow {x}}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {V_ {Q}}} = {\ overrightarrow {V_ {P}}} + {\ overrightarrow {\ Omega}} \ wedge {\ overrightarrow {PQ}}}

${\ displaystyle ({\ overrightarrow {V_ {P}}}) _ {P \ v E}}$ je pole momentů výsledného torzoru . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega}}}$

Příklad

Typickým příkladem trojrozměrného ekviprojektivního pole je pole rychlosti pohybujícího se tělesa. Ve skutečnosti, pokud a jsou dva body pevné látky, a pokud bychom poznamenat, vzdálenost mezi a máme: $P$ $Q$ $d$ $P$ $Q$

{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {PQ}} \ | ^ {2} = d ^ {2} = \ left ({\ overrightarrow {PQ}} | {\ overrightarrow {PQ}} \ right)}

a driftováním s ohledem na čas:

{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} - {\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {PQ}} \ right) = 0}

kde označuje rychlost v bodě. $\ overrightarrow {V}$

Pole rychlosti je tedy torzor. Vektor se nazývá vektor okamžité rotace. ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega}}}$

Poznámky a odkazy

„ pole Vektory - Oblast équiprojectif vektorů “ na jdotec.net (k dispozici na 1. st října 2010 )
" Kinematika tuhého " [PDF] Na melusine.eu.org (k dispozici na 1 st 10. 2010 )

Podívejte se také

Bibliografie

E. Ramis , C. Deschamps a J. Odoux , Algebra a aplikace v geometrii , Paříž / New York / Barcelona / 1987, Masson, kol. "Průběh vyšší matematiky" ( n o 2)1987, 297 s. ( ISBN 2-225-63404-1 ) , kap. 8 („Les torseurs“), s. 8 276-294

Související články