Antisymetrická matice

V matematiky , a přesněji v lineární algebře , An antisymetrická matice je čtvercová matice proti jeho přemístit .

Definice

O čtvercové matici A s koeficienty v jakémkoli kruhu se říká, že je nesymetrická, pokud se její transpozice rovná jejímu protikladu, tj. Pokud splňuje rovnici:

A ⊤ = - A

nebo znovu tak, že jej napíšeme pomocí koeficientů ve tvaru A = ( a i, j ) , pokud:

pro všechna i a j , a j, i = - a i, j

Příklady

Následující matice jsou antisymetrické:

\ begin {pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \ end {pmatrix} \ qquad; \ qquad \ begin {pmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 0 \ end {pmatrix}.

Případ, kdy má matice koeficienty v kruhu charakteristiky 2, je velmi konkrétní. V tomto případě - A = A je tedy A antisymetrické, pokud je symetrické. V následujícím bude mít koeficienty matice koeficienty v komutativním poli K s charakteristikou odlišnou od 2 (obvykle: pole reálných čísel ).

Tyto matice Infinitesimální rotace jsou příkladem antisymetrická matic.

Vlastnosti

Charakterizace

Matice je antisymetrická tehdy a jen tehdy, když bilineární forma, kterou představuje, je antisymetrická, tj. Pokud (podle označení prvků $K$ $n$ jako sloupcových matic ): $A \ v M_n (K)$ $\ forall x, y \ in K ^ n, y ^ \ mathsf {T} A x = -x ^ \ mathsf {T} A y.$
Ekvivalentní vlastnost ( K se předpokládá, že mají charakteristiku odlišnou od charakteristiky 2), je, že tato forma je střídána , to znamená, že: $\ forall x \ in K ^ n, x ^ \ mathsf {T} A x = 0.$

Demonstrace

Bilineární forma spojená s A je

f: K ^ n \ krát K ^ n \ až K, \ (x, y) \ mapsto x ^ \ mathsf {T} A y.

A je antisymetrický právě tehdy, když je:F{\ displaystyle f} $F$
- pokud tedy pro všechna $x$ , $y$ , protože matice velikosti 1 se rovná její transpozici, máme: $A ^ \ mathsf {T} = - A$ $f (y, x) = y ^ \ mathsf {T} A x = \ left (y ^ \ mathsf {T} A x \ right) ^ \ mathsf {T} = x ^ \ mathsf {T} A ^ \ mathsf {T} y = -x ^ \ mathsf {T} A y = -f (x, y),$
- a naopak, pokud je antisymetrická poté, označující podle elementu sestává z 1 v j- poloze tého a 0 jinde: $F$ $e_ {j}$ $K ^ {n}$ $a _ {{j, i}} = f (e_ {j}, e_ {i}) = - f (e_ {i}, e_ {j}) = - a _ {{i, j}}.$
F{\ displaystyle f} $F$ je antisymetrický právě tehdy, když se střídá: zopakujme obecný důkaz uvedený v článku multilineární aplikace .
- Pokud se střídá, pak je to antisymetrické, protože $F$ $f (x, y) + f (y, x) = f (x + y, x + y) -f (x, x) -f (y, y) = 0 + 0-0 = 0$ nebo znovu, matrikálně: $a _ {{i, j}} + a _ {{j, i}} = f (e_ {i}, e_ {j}) + f (e_ {j}, e_ {i}) = f (e_ { i} + e_ {j}, e_ {i} + e_ {j}) - f (e_ {i}, e_ {i}) - f (e_ {j}, e_ {j}) = 0.$
- Konverzace je pravdivá za předpokladu, že charakteristika se liší od 2, protože pokud je pak antisymetrická $F$ $\ forall x \ in K ^ {n}, \ f (x, x) = - f (x, x) \ Rightarrow f (x, x) = 0.$

Základní vlastnosti

Všechny záznamy hlavní úhlopříčky antisymetrické matice mají nulu : je skutečně nutné, aby a i, i = - a i, i a v K bylo jediné číslo rovné jejímu protějšku 0; To znamená, že stopa z antisymmetric matice je nula.
Determinant antisymetrické matice velikosti n je nula, pokud n je liché (protože se rovná jeho součinu o (-1) n ), a je druhou mocninou pfaffian, pokud je n sudé.
Součet všech jeho koeficientů je nula.

Prostory antisymetrických matic

Prostor symetrických matic a prostor antisymetrických matic jsou další v prostoru čtvercových matic. Každá čtvercová matice se skutečně rozkládá jedinečným způsobem takto: $A = \ frac {A + A ^ \ mathsf {T}} 2+ \ frac {AA ^ \ mathsf {T}} 2.$
Když je tělo koeficientů tělem reálných, jsou tyto dva prostory dokonce ortogonální, pokud prostor obdaříme čtvercovými maticemi kanonickým skalárním součinem , jehož jeden výraz je přesně: $(A, B) \ mapsto Tr (A ^ \ mathsf {T} ~ B).$
K antisymetrické matice typu ( n , n ) tvoří vektorový prostor o rozměru n (n-1) / 2. Kanonickým základem je rodina matic, která obsahuje 1 v i - té řadě a j -tom sloupci a –1 v j - té řadě a i -tom sloupci. $\ left (A _ {{ij}} \ right) _ {{1 \ leq i <j \ leq n}}$ $A_ {ij}$
Ve skutečném případě je tento vektorový prostor tečným prostorem k ortogonální skupině O ( n ). V tomto smyslu můžeme asimilovat antisymetrické matice na „ nekonečně malé rotace “.

Diagonalizace a rozklady

Libovolná skutečná antisymetrická matice může být diagonalizována na poli komplexů a její vlastní čísla jsou čistě imaginární . Ve skutečnosti, pokud A je skutečně antisymetrický, $I$ A je Hermitian , to znamená, že je sám sebou .

Ve skutečnosti antisymetrické matice typu ( n , n ) tvoří Lieovu algebru pomocí Lieova háku $[A, B] = AB - BA$ a je to Lieova algebra spojená s Lieovou skupinou O ( n ).

Matice G je ortogonální a má determinant rovný 1, tj. Je prvkem připojené složky ortogonální skupiny, kde se nachází jednotková matice, právě tehdy, když existuje antisymetrická matice A taková, že: $G = \ exp (A) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {n}} {n!}}$ (viz článek „ Maticový exponenciál “).

Antisymetrická matice spojená s vektorem

Příkladem antisymetrické matice 3 × 3 je matice spojená s vektorem úhlové rychlosti (o velikosti 3x1): ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} (t)}$ $\ omega (t)$

{\ displaystyle {\ dot {r}} (t) = \ omega (t) \ klín r (t) = \ mathbf {\ Omega} (t) \; r (t)}

kde má antisymetrická matice tvar: ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} (t)}$

{\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} (t) = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ omega _ {z} & \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} & 0 & - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y} & \ omega _ {x} & 0 \ end {pmatrix}}.}

Poznámky a odkazy

Vztah mezi rotační maticí a úhlovou rychlostí .