Částečná korelace

Částečný korelační koeficient , který je zde uveden , umožňuje znát hodnotu korelace mezi dvěma proměnnými A a B, pokud by proměnná C zůstala pro uvažovanou sérii pozorování konstantní. ${\ displaystyle r_ {AB.C}}$

Jinými slovy, parciální korelační koeficient je celkový korelační koeficient mezi proměnnými A a B, když byly odstraněny z jejich nejlepšího lineárního vysvětlení ve smyslu C. Je dán vzorcem: ${\ displaystyle r_ {AB.C}}$

{\ displaystyle r_ {AB.C} = {\ dfrac {r_ {AB} -r_ {AC} \ cdot r_ {BC}} {{\ sqrt {1-r_ {AC} ^ {2}}} \ cdot { \ sqrt {1-r_ {BC} ^ {2}}}}}}

Geometrická demonstrace

Nejrychlejší ukázkou vzorce je spoléhat se na geometrickou interpretaci korelace (kosinus).

Série pozorování A, B a C, jakmile jsou vycentrovány , jsou centrované vektory OA, OB, OC o délce jednotky:

Jejich konce určují sférický trojúhelník ABC, jehož strany a , b a c jsou oblouky velkých kruhů BC, AC a AB. Korelační koeficienty mezi těmito vektory jsou , a . Potom základní zákon sférických trojúhelníků dává pro úhel C následující vztah mezi kosiny: ${\ displaystyle r_ {BC} = \ cos a}$ ${\ displaystyle r_ {AC} = \ cos b}$ ${\ displaystyle r_ {AB} = \ cos c}$

{\ displaystyle \ cos C = {\ dfrac {\ cos c- \ cos a \ cdot \ cos b} {\ sin a \ cdot \ sin b}} = {\ dfrac {\ cos c- \ cos a \ cdot \ cos b} {{\ sqrt {1- \ cos ^ {2} a}} \ cdot {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} b}}}}}

Stejně jako c je úhel mezi body A a B, při pohledu ze středu koule, C je sférický úhel mezi body A a B, při pohledu z bodu C na povrchu koule, a je „částečnou korelací“ mezi A a B, když je C fixní. ${\ displaystyle r_ {AB.C} = \ cos C}$

Oblasti použití

Používá se pojem částečné korelace:

v modelování více lineární regrese ;
v analýze dat ikonografií korelací .

Reference

(v) GU Yule (1897). O významu Bravaisových vzorců pro regresi atd., V případě Skew Correlation. Proc. Royal Soc. London Ser. A 60, 477-489.
(v) RA Fisher (1924). Rozložení parciálního korelačního koeficientu . Metron 3 (3–4): 329–332.
(en) Matematické vzorce v části „Popis“ rutiny IMSL PCORR