Sférická trigonometrie
Sférická trigonometrie je souborem vztahů podobné těm z trigonometrie euklidovské ale na úhlů a vzdáleností vyznačených na kouli .
Základní úroveň je sférický trojúhelník ohraničena buď segmenty z rovných čar , ale oblouky půlek kružnic sféry. Obvyklá pravidla euklidovské trigonometrie neplatí; například součet úhlů trojúhelníku umístěného na kouli, pokud jsou vyjádřeny ve stupních, je větší než 180 stupňů.
Sférický trojúhelník
Konvence
Uvažujeme tři body A , B a C na kouli, jak je znázorněno na protějším obrázku, stejně jako oblouky velkých kruhů, které je spojují. Označíme α (někdy ) úhel trojúhelníku na vrcholu A a podobným způsobem i pro ostatní vrcholy. Označíme pomocí a , b a c úhly podřízené ve středu O koule odpovídající částí velké kružnice. Tak označuje úhel , atd.
NA^{\ displaystyle {\ hat {A}}}
BÓVS^{\ displaystyle {\ widehat {\ mathrm {BOC}}}}![{\ displaystyle {\ widehat {\ mathrm {BOC}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182be91c62f2f8c42ba2f7c3550189d1dbb3d315)
Délky se samozřejmě odvodí z a , b a c jejich vynásobením poloměrem koule, když jsou úhly vyjádřeny v radiánech (nebo jejich vynásobením π R / 180, pokud jsou vyjádřeny ve stupních).
Součet úhlů sférického trojúhelníku se může pohybovat mezi 180 a 540 ° (mezi π a 3π radiány).
Následně budou uvažovány pouze nedegenerované trojúhelníky (všechny úhly jsou striktně mezi nulovým úhlem a plochým úhlem).
Základní vzorce
Kosinový vzorec a dvojí vztah
Jedním z nejdůležitějších vztahů sférické trigonometrie, který uvedl François Viète v roce 1593 ve svém De Varorium, je vzorec kosinů , který spojuje délku jedné strany s délkami dvou dalších stran a také s úhlem mezi nimi:
cosvs.=cosnacosb+hříchnahříchbcosy ,{\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma ~,}![\ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma ~,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e299f9836443c83dca145c5ab1cce3eae4ac09)
to by nemělo být zaměňováno s dvojím vztahem , získaným nahrazením všech velkých kruhů v tomto vztahu jejich polárními body :
cosy=-cosαcosβ+hříchαhříchβcosvs. .{\ displaystyle \ cos \ gamma = - \ cos \ alfa \, \ cos \ beta + \ sin \ alfa \, \ sin \ beta \, \ cos c ~.}![\ cos \ gamma = - \ cos \ alpha \, \ cos \ beta + \ sin \ alpha \, \ sin \ beta \, \ cos c ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78261a00114b0f6d02e11e55d19f28b9e146e087)
Kosinový vzorec je demonstrován několika způsoby. Jeden z nich spočívá v různém vyjádření skalárního součinu v okolním euklidovském prostoru mezi vektory spojujícími střed O koule s body A a B. Další je podrobně popsáno níže.
Kosinový vzorec umožňuje zejména vypočítat vzdálenost mezi dvěma body A a B na Zemi modelované koulí podle jejich zeměpisných šířek a délek. K tomu umístíme C na severní pól, takže a je doplňkem zeměpisné šířky ϕ A z A , b doplňkem této ϕ B z B a γ rozdílem v zeměpisné délce . Získáváme přímo:
Δλ=λB-λNA{\ displaystyle \ Delta \ lambda = \ lambda _ {\ mathrm {B}} - \ lambda _ {\ mathrm {A}}}![{\ displaystyle \ Delta \ lambda = \ lambda _ {\ mathrm {B}} - \ lambda _ {\ mathrm {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8388fcb2910938f15e7f27aa3ab7f95982bc377)
dNAB=Rvs.=Rarccos(hříchϕNAhříchϕB+cosϕNAcosϕBcosΔλ){\ displaystyle d _ {\ mathrm {AB}} = R \, c = R \ arccos {\ left (\ sin \ phi _ {\ mathrm {A}} \ sin \ phi _ {\ mathrm {B}} + \ cos \ phi _ {\ mathrm {A}} \ cos \ phi _ {\ mathrm {B}} \ cos \ Delta \ lambda \ right)}}![{\ displaystyle d _ {\ mathrm {AB}} = R \, c = R \ arccos {\ left (\ sin \ phi _ {\ mathrm {A}} \ sin \ phi _ {\ mathrm {B}} + \ cos \ phi _ {\ mathrm {A}} \ cos \ phi _ {\ mathrm {B}} \ cos \ Delta \ lambda \ right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25f9eb54992f1a9354847ae10953766f8b5d1ae)
,
kde R ≈ 6 371 km je střední poloměr Země .
Sinusový vzorec
Všimněte si, že podle výše zmíněného dvojího vztahu je sférický trojúhelník určen jeho třemi úhly, což se velmi liší od případu euklidovského trojúhelníku (roviny) . Ve sférickém trojúhelníku existuje dokonalá analogie (duality) mezi délkami stran a úhly vrcholů. Sine vzorec ilustruje tuto analogii:
hříchnahříchα=hříchbhříchβ=hříchvs.hříchy ,{\ displaystyle {\ frac {\ sin a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {\ sin b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {\ sin c} {\ sin \ gamma}} ~,}![\ frac {\ sin a} {\ sin \ alpha} = \ frac {\ sin b} {\ sin \ beta} = \ frac {\ sin c} {\ sin \ gamma} ~,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99a94a22392c09d6637ad6ec8c0f0b0ad8ea4f5)
nebo:
hříchna:hříchb:hříchvs.=hříchα:hříchβ:hříchy ,{\ displaystyle \ sin a: \ sin b: \ sin c = \ sin \ alpha: \ sin \ beta: \ sin \ gamma ~,}![\ sin a: \ sin b: \ sin c = \ sin \ alpha: \ sin \ beta: \ sin \ gamma ~,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f5c2e469666e4dd5176013c48cb65af2fb00fb)
což je třeba chápat jako „tři veličiny nalevo jsou ve stejném poměru jako tři veličiny napravo (poměr mezi dvěma libovolnými nalevo je stejný jako odpovídající poměr napravo)“ .
Třetí základní vzorec a dvojí vztah
Kosinový vzorec lze také napsat ve tvaru:
cosy=cosvs.-cosnacosbhříchnahříchb .{\ displaystyle \ cos \ gamma = {\ frac {\ cos c- \ cos a \, \ cos b} {\ sin a \, \ sin b}} ~.}![\ cos \ gamma = \ frac {\ cos c - \ cos a \, \ cos b} {\ sin a \, \ sin b} ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee5ea11c114b20b9582b1b169798984b04399ec)
Analogické výrazy pro cos α a cos β odvodíme, co se někdy nazývá třetí základní vzorec sférické trigonometrie (první dvě jsou ty cosines a sinů), který se týká tři délky na dvou úhlů trojúhelníku:
hříchvs.cosβ=hříchnacosb-cosnahříchbcosy .{\ displaystyle \ sin c \ cos \ beta = \ sin a \ cos b- \ cos a \ sin b \ cos \ gamma ~.}![\ sin c \ cos \ beta = \ sin a \ cos b - \ cos a \ sin b \ cos \ gamma ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374235625ca06378a0f4e54d9dbc325dc73c5968)
Je zajímavé si všimnout podobnosti s kosinovým vzorcem
cosvs.=cosnacosb+hříchnahříchbcosy {\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gama ~}![\ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gama ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d791a8b78ddd253513704233158852ee2cf2113e)
.
Do dvojího vztahu lze zapsat:
hříchycosb=hříchαcosβ+cosαhříchβcosvs. ,{\ Displaystyle \ sin \ gamma \ cos b = \ sin \ alfa \ cos \ beta + \ cos \ alfa \ sin \ beta \ cos c ~,}![\ sin \ gamma \ cos b = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \ cos c ~,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35c68eaad3ee1a09bfae048c68d2cb023bc9382)
porovnat s dvojím vztahem kosinového vzorce
cosy=-cosαcosβ+hříchαhříchβcosvs. {\ displaystyle \ cos \ gamma = - \ cos \ alfa \, \ cos \ beta + \ sin \ alfa \, \ sin \ beta \, \ cos c ~}![\ cos \ gamma = - \ cos \ alpha \, \ cos \ beta + \ sin \ alpha \, \ sin \ beta \, \ cos c ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ea356c09ce897110b305a3c0eed4a4f51511f8)
.
Cotangentní vzorec
Z třetího základního vzorce snadno získáme poslední vzorec zvaný kotangenty , který spojuje čtyři po sobě jdoucí prvky sférického trojúhelníku:
hříchvs.nákladyb=hříchαnákladyβ+cosαcosvs. .{\ displaystyle \ sin c \ cot b = \ sin \ alpha \ cot \ beta + \ cos \ alpha \ cos c ~.}![\ sin c \ cot b = \ sin \ alpha \ cot \ beta + \ cos \ alpha \ cos c ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d67b052d15f8f52c851dc63ac3f7b666e065f8)
K získání tohoto vzorce stačí rozdělit dvojí vztah třetího základního vzorce na sin β a poté použít vzorec sinusů.
Demonstrace základních vzorců
a , b a c označují délky, A , B a C označují vrcholy, α , β a γ označují úhly sférického trojúhelníku.
Demonstrace změnou odkazu
1) Vytvoříme dva přímé ortonormální referenční rámce R a R ' se stejným prvním vektorem, a to tak, že A je severní pól sférického souřadnicového systému spojeného s prvním referenčním rámcem a B severní pól druhého. Bereme na vědomí a se R=(Ó,i→,j→,k→){\ displaystyle R = (O, {\ overrightarrow {i}}, {\ overrightarrow {j}}, {\ overrightarrow {k}})}
R′=(Ó,i′→,j′→,k′→){\ displaystyle R '= (O, {\ overrightarrow {i'}}, {\ overrightarrow {j '}}, {\ overrightarrow {k'}})}
k→=ÓNA→, k′→=ÓB→ .{\ displaystyle {\ overrightarrow {k}} = {\ overrightarrow {OA}}, ~ {\ overrightarrow {k '}} = {\ overrightarrow {OB}} ~.}
Pak vezmeme:
i→=i′→=1hříchvs.k→∧k′→=1hříchvs.ÓNA→∧ÓB→ .{\ displaystyle {\ overrightarrow {i}} = {\ overrightarrow {i '}} = {1 \ over \ sin c} {\ overrightarrow {k}} \ wedge {\ overrightarrow {k'}} = {1 \ over \ sin c} {\ overrightarrow {OA}} \ wedge {\ overrightarrow {OB}} ~.}![\ overrightarrow i = \ overrightarrow {i '} = {1 \ over \ sin c} \ overrightarrow k \ wedge \ overrightarrow {k'} = {1 \ over \ sin c} \ overrightarrow {OA} \ wedge \ overrightarrow {OB } ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc447cf44043fae245b461daebc77c47967e7560)
Můžeme odvodit:
j→=k→∧i→=1hříchvs.[ÓNA→∧(ÓNA→∧ÓB→)] .{\ displaystyle {\ overrightarrow {j}} = {\ overrightarrow {k}} \ wedge {\ overrightarrow {i}} = {1 \ over \ sin c} [{\ overrightarrow {OA}} \ wedge ({\ overrightarrow {OA}} \ wedge {\ overrightarrow {OB}})]]. ~.}![\ overrightarrow j = \ overrightarrow k \ wedge \ overrightarrow i = {1 \ over \ sin c} [\ overrightarrow {OA} \ wedge (\ overrightarrow {OA} \ wedge \ overrightarrow {OB})] ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69433bc168b56c1dc17d201857effe36d4ae6b1f)
Vzorec produktu dvojitého kříže vede k:
j→=1hříchvs.((ÓNA|ÓB)ÓNA→-||ÓNA||2ÓB→)=1hříchvs.(cosvs. ÓNA→-ÓB→) .{\ displaystyle {\ overrightarrow {j}} = {1 \ over \ sin c} ((OA | OB) {\ overrightarrow {OA}} - || OA || ^ {2} {\ overrightarrow {OB}}) = {1 \ over \ sin c} (\ cos c ~ {\ overrightarrow {OA}} - {\ overrightarrow {OB}}) ~.}![\ overrightarrow j = {1 \ over \ sin c} ((OA | OB) \ overrightarrow {OA} - || OA || ^ 2 \ overrightarrow {OB}) = {1 \ over \ sin c} (\ cos c ~ \ overrightarrow {OA} - \ overrightarrow {OB}) ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a1268f43150fb187bf2d7bc9d72ac248a552dd)
Rovněž:
j′→=1hříchvs.[ÓB→∧(ÓNA→∧ÓB→)]=1hříchvs.(ÓNA→-cosvs. ÓB→) .{\ displaystyle {\ overrightarrow {j '}} = {1 \ over \ sin c} [{\ overrightarrow {OB}} \ wedge ({\ overrightarrow {OA}} \ wedge {\ overrightarrow {OB}})] = {1 \ over \ sin c} ({\ overrightarrow {OA}} - \ cos c ~ {\ overrightarrow {OB}}) ~.}![\ overrightarrow {j '} = {1 \ over \ sin c} [\ overrightarrow {OB} \ wedge (\ overrightarrow {OA} \ wedge \ overrightarrow {OB})] = {1 \ over \ sin c} (\ overrightarrow {OA} - \ cos c ~ \ overrightarrow {OB}) ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597ff5c066a7c804d1726b504f8ed728d99ab4d4)
2) Změna reference (z R na R ' ) je rotace v prostoru kolem osy společné pro dvě referenční značky. Protože úhel mezi a je c , odvodíme, že matice průchodu je:
ÓNA→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}}}
ÓB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OB}}}![\ overrightarrow {OB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824af159399d4af43ce487b3ded9e880ac7c7492)
P=(1000cosvs.-hříchvs.0hříchvs.cosvs.) .{\ displaystyle P = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos c & - \ sin c \\ 0 & \ sin c & \ cos c \ end {pmatrix}} ~.}![P = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos c & - \ sin c \\ 0 & \ sin c & \ cos c \ end {pmatrix} ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5323a182d594b711431b84d43844b0a716969cdc)
3) Nyní získá souřadnici C v referenčním R .
Všimli jsme si, že b je colatitude ve sférickém souřadném systému severního pólu A spojeného s kartézským souřadným systémem, zatímco α označuje úhel (u pólu) mezi vektorem a svislou polorovinou ( A , O , C ), proto je zeměpisná délka α- (π / 2) .
-j→{\ displaystyle - {\ overrightarrow {j}}}![- \ overrightarrow j](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4a053618bff6742923badfea7c7de23a243db3)
Dedukujeme, že C , se sférickými souřadnicemi , má v prvním referenčním rámci kartézské souřadnice:
[1,α-π2,b]{\ displaystyle [1, \ alfa - {\ pi \ nad 2}, b]}
X=(hříchbhříchα-hříchbcosαcosb) .{\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} \ sin b \ sin \ alpha \\ - \ sin b \ cos \ alpha \\\ cos b \ end {pmatrix}} ~.}
4) Také dáme souřadnice C ve druhé referenci R ' .
Tentokrát je severním pólem bod B , colatitude je a , β je úhel, který svislá polorovina ( B , O , C ) svírá s vektorem , takže zeměpisná délka je (π / 2) - β .
j′→{\ displaystyle {\ overrightarrow {j '}}}![\ overrightarrow {i '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97714c63266278da3847a34c2c6fd5f6d1e50e8d)
Dedukujeme, že C se sférickými souřadnicemi má ve druhém referenčním rámci kartézské souřadnice:
[1,π2-β,na]{\ displaystyle [1, {\ pi \ nad 2} - \ beta, a]}
X′=(hříchnahříchβhříchnacosβcosna) .{\ displaystyle X '= {\ begin {pmatrix} \ sin a \ sin \ beta \\\ sin a \ cos \ beta \\\ cos a \ end {pmatrix}} ~.}
5) Poté se zapíše vzorec pro základní změnu:
(hříchbhříchα-hříchbcosαcosb)=X=PX′=(1000cosvs.-hříchvs.0hříchvs.cosvs.){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sin b \ sin \ alpha \\ - \ sin b \ cos \ alpha \\\ cos b \ end {pmatrix}} = X = PX '= {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos c & - \ sin c \\ 0 & \ sin c & \ cos c \ end {pmatrix}}}
(hříchnahříchβhříchnacosβcosna) .{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sin a \ sin \ beta \\\ sin a \ cos \ beta \\\ cos a \ end {pmatrix}} ~.}![\ begin {pmatrix} \ sin a \ sin \ beta \\ \ sin a \ cos \ beta \\ \ cos a \ end {pmatrix} ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d70eaaf211b61946c615699fae33c0dd37b380)
Dedukujeme najednou sinusový vzorec, třetí základní vzorec sférické trigonometrie a kosinový vzorec:
{hříchbhříchα=hříchnahříchβhříchbcosα=hříchvs.cosna-cosvs.hříchnacosβcosb=hříchvs.hříchnacosβ+cosvs.cosna .{\ displaystyle {\ begin {cases} \ sin b \ sin \ alpha = \ sin a \ sin \ beta \\\ sin b \ cos \ alpha = \ sin c \ cos a- \ cos c \ sin a \ cos \ beta \\\ cos b = \ sin c \ sin a \ cos \ beta + \ cos c \ cos a ~. \ end {případy}}}![\ begin {cases} \ sin b \ sin \ alpha = \ sin a \ sin \ beta \\ \ sin b \ cos \ alpha = \ sin c \ cos a- \ cos c \ sin a \ cos \ beta \\ \ cos b = \ sin c \ sin a \ cos \ beta + \ cos c \ cos a ~. \ end {případů}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c637f8c53f2efe5125fb8a78d69cb52fc6c753e)
Důkaz použití bodového produktu
Uvažujme kulovou trojúhelník ABC na povrchu koule centrální jednotce O . Promítnutím body A a C na OB ose na F a E, resp . Takže máme:
FNA→=FNAk→;EÓ→=EÓi→;EVS→=EVSh→{\ displaystyle {\ overrightarrow {FA}} = FA {\ vec {k}}; \ quad {\ overrightarrow {EO}} = EO {\ vec {i}}; \ quad {\ overrightarrow {EC}} = ES {\ vec {h}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {FA}} = FA {\ vec {k}}; \ quad {\ overrightarrow {EO}} = EO {\ vec {i}}; \ quad {\ overrightarrow {EC}} = ES {\ vec {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd99856d1acf1cb84083eeb002fc86c0149de89)
Všimněte si, že jde o ortonormální souřadný systém, proto je kolmý na a ne rovnoběžný s . Následuje:
(i→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}
h→{\ displaystyle {\ vec {h}}}
i→{\ displaystyle {\ vec {i}}}
j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}![{\ vec j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce1ed1de8493f7cc7d856ca5427cf311b1597f1)
ÓVS→=-ÓEi→+EVSh→;ÓNA→=-ÓFi→+FNAk→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OC}} = - OE {\ vec {i}} + EC {\ vec {h}}; \ quad {\ overrightarrow {OA}} = - OF {\ vec {i}} + FA {\ vec {k}}}![\ overrightarrow {OC} = - OE {\ vec i} + EC {\ vec h}; \ quad \ overrightarrow {OA} = - OF {\ vec i} + FA {\ vec k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a11aee6c8ac9179d419357f30d3a277d270ac1c)
V opačném případě :
ÓE=ÓVScos(na)=cos(na);NAF=NAÓhřích(vs.)=hřích(vs.);EVS=ÓVShřích(na)=hřích(na);ÓF=NAÓcos(vs.)=cos(vs.){\ displaystyle OE = OC \ cos (a) = \ cos (a); \ quad AF = AO \ sin (c) = \ sin (c); \ quad EC = OC \ sin (a) = \ sin (a ); \ quad OF = AO \ cos (c) = \ cos (c)}![{\ displaystyle OE = OC \ cos (a) = \ cos (a); \ quad AF = AO \ sin (c) = \ sin (c); \ quad EC = OC \ sin (a) = \ sin (a ); \ quad OF = AO \ cos (c) = \ cos (c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a606a589a0f5da6e980d411bd0684e7d0f2bfd10)
proto:
ÓVS→⋅ÓNA→=(-ÓEi→+EVSh→)(-ÓFi→+FNAk→)=(ÓE⋅ÓF)+(EVS→⋅FNA→)=cos(na)cos(vs.)+(EVS→⋅FNA→){\ displaystyle {\ overrightarrow {OC}} \ cdot {\ overrightarrow {OA}} = (- OE \, {\ vec {i}} + EC \, {\ vec {h}}) (- OF \, { \ vec {i}} + FA \, {\ vec {k}}) = (OE \ cdot OF) + ({\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}}) = \ cos (a) \ cos (c) + ({\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}})}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {OC}} \ cdot {\ overrightarrow {OA}} = (- OE \, {\ vec {i}} + EC \, {\ vec {h}}) (- OF \, { \ vec {i}} + FA \, {\ vec {k}}) = (OE \ cdot OF) + ({\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}}) = \ cos (a) \ cos (c) + ({\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27b95a4433ba0bfc14e1c93e93a2688d0526911)
zlato:
EVS→⋅FNA→=EVS⋅FNA⋅cos(β)=hřích(na)hřích(vs.)cos(β);ÓVS→⋅ÓNA→=cos(b){\ displaystyle {\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}} = EC \ cdot FA \ cdot \ cos (\ beta) = \ sin (a) \ sin (c) \ cos (\ beta); \ quad {\ overrightarrow {OC}} \ cdot {\ overrightarrow {OA}} = \ cos (b)}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}} = EC \ cdot FA \ cdot \ cos (\ beta) = \ sin (a) \ sin (c) \ cos (\ beta); \ quad {\ overrightarrow {OC}} \ cdot {\ overrightarrow {OA}} = \ cos (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b382516db1c4f0a96c68ce49d04163272d8a04)
proto:
cos(b)=cos(na)cos(vs.)+hřích(na)hřích(vs.)cos(β){\ displaystyle \ cos (b) = \ cos (a) \ cos (c) + \ sin (a) \ sin (c) \ cos (\ beta)}![{\ displaystyle \ cos (b) = \ cos (a) \ cos (c) + \ sin (a) \ sin (c) \ cos (\ beta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727763df8deb54fbdd3ae32698fa70d03587f8b0)
.
Kruhovou permutací získáme různé vztahy:
{cos(b)=cos(na)cos(vs.)+hřích(na)hřích(vs.)cos(β)cos(vs.)=cos(b)cos(na)+hřích(b)hřích(na)cos(y)cos(na)=cos(vs.)cos(b)+hřích(vs.)hřích(b)cos(α){\ displaystyle {\ begin {cases} \ cos (b) = \ cos (a) \ cos (c) + \ sin (a) \ sin (c) \ cos (\ beta) \\\ cos (c) = \ cos (b) \ cos (a) + \ sin (b) \ sin (a) \ cos (\ gamma) \\\ cos (a) = \ cos (c) \ cos (b) + \ sin (c ) \ sin (b) \ cos (\ alpha) \ end {případy}}}
Jiné vzorce
Poloviční úhly a poloviční strany
Nechť s =1/2( a + b + c ) poloviční obvod trojúhelníku. Takže máme:
opálení2y2=hřích(s-na)hřích(s-b)hříchshřích(s-vs.){\ displaystyle \ tan ^ {2} {\ frac {\ gamma} {2}} = {\ frac {\ sin (sa) \, \ sin (sb)} {\ sin s \, \ sin (sc)} }}![\ tan ^ 2 \ frac {\ gamma} {2} = \ frac {\ sin (sa) \, \ sin (sb)} {\ sin s \, \ sin (sc)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866927a39528b7c34136a6f9accda3ee2cdb686e)
a pro duální vzorce s σ =1/2( α + β + γ ) :
opálení2vs.2=-cosσcos(σ-y)cos(σ-α)cos(σ-β){\ displaystyle \ tan ^ {2} {\ frac {c} {2}} = - {\ frac {\ cos \ sigma \, \ cos (\ sigma - \ gamma)} {\ cos (\ sigma - \ alfa ) \, \ cos (\ sigma - \ beta)}}}![\ tan ^ {2} {\ frac {c} {2}} = - {\ frac {\ cos \ sigma \, \ cos (\ sigma - \ gamma)} {\ cos (\ sigma - \ alfa) \, \ cos (\ sigma - \ beta)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a8a3d260101340e16acb8ab2bb501ccc6082e5)
.
Ty vzorce, které stejně jako základní vztah souvisejí s úhlem uprostřed ke třem stranám sférického trojúhelníku, neobsahují součet. Byly široce používány pro praktické výpočty pomocí logaritmických tabulek.
Gaussovy vzorce
My máme :
cosna+b2cosvs.2=cosα+β2hříchy2{\ displaystyle {\ frac {\ cos {\ frac {a + b} {2}}} {\ cos {\ frac {c} {2}}}} = {\ frac {\ cos {\ frac {\ alfa + \ beta} {2}}} {\ sin {\ frac {\ gamma} {2}}}}}![\ frac {\ cos \ frac {a + b} {2}} {\ cos \ frac {c} {2}} = \ frac {\ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2}} {\ sin \ frac {\ gamma} {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fdd71af505f4cf4a027ea8167cf4d4b75e34034)
a
hříchna+b2hříchvs.2=cosα-β2hříchy2{\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ frac {a + b} {2}}} {\ sin {\ frac {c} {2}}}} = {\ frac {\ cos {\ frac {\ alfa - \ beta} {2}}} {\ sin {\ frac {\ gamma} {2}}}}}
jakož i :
cosna-b2cosvs.2=hříchα+β2cosy2{\ displaystyle {\ frac {\ cos {\ frac {ab} {2}}} {\ cos {\ frac {c} {2}}}} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ gamma} {2}}}}}![\ frac {\ cos \ frac {ab} {2}} {\ cos \ frac {c} {2}} = \ frac {\ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2}} {\ cos \ frac {\ gamma} {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca72394265d90673970a7a3bdb57e6225c7c9b4)
a
hříchna-b2hříchvs.2=hříchα-β2cosy2 .{\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ frac {ab} {2}}} {\ sin {\ frac {c} {2}}}} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ alfa - \ beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ gamma} {2}}}} ~.}
Vyvozujeme zákon tečen ve sférické trigonometrii :
opálenína-b2opálenína+b2=opáleníα-β2opáleníα+β2 .{\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {ab} {2}}} {\ tan {\ frac {a + b} {2}}}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alfa - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}} ~.}
Napierovy analogie
Získávají se kombinací Gaussových vzorců dva za dva:
- opálenívs.2cosα-β2=opálenína+b2cosα+β2{\ displaystyle \ tan {\ frac {c} {2}} \ cos {\ frac {\ alfa - \ beta} {2}} = \ tan {\ frac {a + b} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}
![\ tan \ frac {c} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} = \ tan \ frac {a + b} {2} \ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2 }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed65f9fb9eb83a5b23f3f396e30d1b4634403475)
- opálenívs.2hříchα-β2=opálenína-b2hříchα+β2{\ displaystyle \ tan {\ frac {c} {2}} \ sin {\ frac {\ alfa - \ beta} {2}} = \ tan {\ frac {ab} {2}} \ sin {\ frac { \ alpha + \ beta} {2}}}
![\ tan \ frac {c} {2} \ sin \ frac {\ alpha- \ beta} {2} = \ tan \ frac {ab} {2} \ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9191f8bfc930221d13d7b0cfc19d0cf6db99aec)
- nákladyy2cosna-b2=opáleníα+β2cosna+b2{\ displaystyle \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ cos {\ frac {ab} {2}} = \ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {a + b} {2}}}
![\ cot \ frac {\ gamma} {2} \ cos \ frac {ab} {2} = \ tan \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ cos \ frac {a + b} {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746d6167f393f8f7457d332d9da7572dde305577)
- nákladyy2hříchna-b2=opáleníα-β2hříchna+b2{\ displaystyle \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ sin {\ frac {ab} {2}} = \ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ sin {\ frac {a + b} {2}}}
![\ cot \ frac {\ gamma} {2} \ sin \ frac {ab} {2} = \ tan \ frac {\ alpha- \ beta} {2} \ sin \ frac {a + b} {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db801bd7b33da5f581a17b0049414b7bf0101f56)
Oblast sférického trojúhelníku
V angličtině je známý jako Girardův vzorec . Pozoruhodné je, že plocha sférického trojúhelníku se počítá velmi jednoduše z jeho tří úhlů: přesně se rovná jeho „euklidovské vadě“ (rozdíl mezi součtem úhlů trojúhelníku a π ) vynásobené druhou mocninou poloměru R koule. Je :
S=(α+β+y-π)R2=R2ε{\ displaystyle S = (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi) R ^ {2} = R ^ {2} \ varepsilon}
Poznámka: ε je plný úhel vyjádřený ve steradiánech (pro a vyjádřený v radiánech). Říká se tomu sférický přebytek .
α,β{\ displaystyle \ alpha, \, \ beta}
y{\ displaystyle \ gamma}![\ gama](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
Tento vzorec je zobrazen elementárním způsobem. Dělá se to ve třech fázích:
- Když je koule rozříznuta na čtyři sektory („ sférická časová pásma “ nebo „měsíce“ v Legendru) dvěma diametrálními rovinami, plocha jednoho z takto vyříznutých sektorů je úměrná úhlu těchto dvou rovin. Proto stojí za to:α{\ displaystyle \ alpha}
2αR2{\ displaystyle {2 \ alpha R ^ {2}}}
.
- Tři diametrické roviny, které definují sférický trojúhelník vyříznutý na kouli, mají dvanáct vřeten, z nichž šest obsahuje tento trojúhelník nebo jeho symetrický, stejné oblasti vzhledem ke středu koule. Těchto šest vřeten pokrývá kouli, přičemž trojúhelník a jeho souměrnost jsou zakryty třikrát, zbytek je zakryt pouze jednou. Součet ploch šesti vřeten je tedy součtem koule zvětšené čtyřikrát součtem trojúhelníku. Následuje:
2(2αR2+2βR2+2yR2)=4πR2+4S{\ displaystyle {2 (2 \ alpha R ^ {2} +2 \ beta R ^ {2} +2 \ gamma R ^ {2}) = 4 \ pi R ^ {2} + 4S}}![{\ displaystyle {2 (2 \ alpha R ^ {2} +2 \ beta R ^ {2} +2 \ gamma R ^ {2}) = 4 \ pi R ^ {2} + 4S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3b17dc5677de7fa624c433d12ec54dfad3a7b3)
.
S=(α+β+y-π)R2.{\ displaystyle {S = (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi) R ^ {2}}.}
Tento vzorec, který objevil Thomas Harriot , ale nebyl publikován, byl poprvé dán Albertem Girardem kolem roku 1625.
Vzorec ropné krocan
Tento vzorec je analogický s Heronovým vzorcem, který vypočítává plochu euklidovského trojúhelníku na základě jeho stran, a dělá to samé pro sférický trojúhelník:
opálenís2opálenís-na2opálenís-b2opálenís-vs.2=opálení2ε4{\ displaystyle \ tan {\ frac {s} {2}} \ tan {\ frac {sa} {2}} \ tan {\ frac {sb} {2}} \ tan {\ frac {sc} {2} } = \ tan ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {4}}}![\ tan \ frac {s} {2} \ tan \ frac {sa} {2} \ tan \ frac {sb} {2} \ tan \ frac {sc} {2} = \ tan ^ 2 \ frac {\ varepsilon } {4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc4162f6b30dface94ba98d364b1a4785b0a2c71)
(pamatujte, že jsme volali s =1/2( a + b + c ) poloviční obvod).
Zvláštní případ sférického pravoúhlého trojúhelníku
Následující vzorce mohou být zobrazeny jako zvláštní případy výše uvedených vzorců, ale jsou historicky vzniklo před těmi na trojúhelník jeden arabští matematici X e k XIII th století. Je jich šest. Pro zbytek použijeme dříve vytvořené notace a budeme uvažovat o pravoúhlém trojúhelníku v C.
Formule 1 : V libovolném pravoúhlém trojúhelníku se sinus jedné strany rovná sinusu přepony vynásobenému sinusem opačného úhlu:
hříchna=hříchvs.hříchα.{\ displaystyle \ sin \, a = \ sin \, c \ sin \, \ alfa.}
Tento vzorec je zvláštním případem sinusového vzorce.
Vzorec 2 : V libovolném pravoúhlém trojúhelníku se kosinus přepony rovná součinu kosinusů ostatních dvou stran:
cosvs.=cosbcosna.{\ displaystyle \ cos \, c = \ cos \, b \ cos \, a.}
Tento vzorec je zvláštním případem kosinusového vzorce.
Vzorec 3 : V libovolném pravoúhlém trojúhelníku se kotangens jednoho úhlu rovná kosinu přepony vynásobené tangensem druhého úhlu:
nákladyα=cosvs.opáleníβ.{\ displaystyle \ cot \, \ alpha = \ cos \, c \ tan \, \ beta.}
Tento vzorec je zvláštním případem dvojího vztahu kosinusového vzorce.
Vzorec 4 : V libovolném pravoúhlém trojúhelníku se kosinus jednoho úhlu rovná kosinu opačné strany vynásobený sinusem druhého úhlu:
cosα=cosnahříchβ.{\ displaystyle \ cos \, \ alpha = \ cos \, a \ sin \, \ beta.}
Tento vzorec je zvláštním případem kosinusového vzorce.
Vzorec 5 : V libovolném pravoúhlém trojúhelníku se tečna jedné strany rovná tečně přepony vynásobené kosinusem sousedního úhlu:
opálenína=opálenívs.cosβ.{\ displaystyle \ tan \, a = \ tan \, c \ cos \, \ beta.}
Tento vzorec je zvláštním případem třetího základního vzorce.
Vzorec 6 : V libovolném pravoúhlém trojúhelníku se tečna na jedné straně rovná tečně opačného úhlu vynásobené sinusem na druhé straně:
opálenína=opáleníαhříchb.{\ displaystyle \ tan \, a = \ tan \, \ alpha \ sin \, b.}
Tento vzorec je zvláštním případem kotangensového vzorce.
Tyto trigonometrické vztahy je třeba porovnat se vztahy pravého trojúhelníku v rovině. S vědomím, že BC / R = a a že trojúhelník v rovině je trojúhelník na kouli s nekonečným poloměrem, můžeme použít omezené expanze:
hříchna=na+Ó(na2){\ displaystyle \ sin \, a = a + o (a ^ {2})}
cosna=1-na22+Ó(na3){\ displaystyle \ cos \, a = 1 - {\ frac {a ^ {2}} {2}} + o (a ^ {3})}
ve vzorcích, pokud je to nutné, vynásobte R nebo R ² a přejděte na limit.
Poté získáme:
-
Formule 1 :BVS=NABhříchα{\ displaystyle BC = AB \ sin \, \ alpha}
-
Formule 2 :NAB2=BVS2+NAVS2{\ displaystyle AB ^ {2} = BC ^ {2} + AC ^ {2}}
Tato rovnost ospravedlňuje skutečnost, že vzorec 2 se často nazývá Pythagorova věta pro sférický pravý trojúhelník.
-
Formule 3 :nákladyα=opáleníβ{\ displaystyle \ postýlka \, \ alpha = \ tan \, \ beta}
-
Formule 4 :cosα=hříchβ{\ displaystyle \ cos \, \ alpha = \ sin \, \ beta}
-
Formule 5 :BVS=NABcosβ{\ displaystyle BC = AB \ cos \, \, \ beta}
-
Formule 6 :BVS=VSNAopáleníα{\ displaystyle BC = CA \ tan \, \ alpha}
Zpět na rovinnou trigonometrii
Ve sférické trigonometrii se pracuje na úhlech α , β , γ trojúhelníku a na středních úhlech a , b , c zachycujících oblouky BC, CA, AB. Pokud chceme pracovat na délkách a ' , b' , c ' stran trojúhelníku, je nutné (vzhledem k tomu, že úhly jsou vyjádřeny v radiánech) provést převody a = a' / R , b = b ' / R , c = c' / R
Potom můžeme uvažovat o osudu vzorců pro trojúhelník, jehož rozměry a ' , b' , c ' zůstávají konstantní, zatímco poloměr koule roste neomezeně dlouho, sférický trojúhelník se pak stává rovinou nebo euklidovským trojúhelníkem.
Limity
limh→0hříchhh=1{\ displaystyle \ lim _ {h \ až 0} {\ frac {\ sin h} {h}} = 1}
limh→01-coshh2=12{\ displaystyle \ lim _ {h \ až 0} {\ frac {1- \ cos h} {h ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}}}
umožnit průchod k limitu
limR→∞Rhříchna=na′{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R \ sin a = a '}
limR→∞2R2(1-cosna)=na′2{\ displaystyle \ lim _ {R \ až \ infty} 2R ^ {2} (1- \ cos a) = a '^ {2}}
limR→∞R(1-cosna)=0{\ displaystyle \ lim _ {R \ až \ infty} R (1- \ cos a) = 0}
a umožnit náhradu levých končetin pravými končetinami, když je poloměr nekonečně velký.
Kosinový vzorec
Konstatuje, že:
1-cosnacosb=(1-cosna)+(1-cosb)-(1-cosna)(1-cosb),{\ Displaystyle 1- \ cos a \ cos b = (1- \ cos a) + (1- \ cos b) - (1- \ cos a) (1- \ cos b) \ ,,}![{\ Displaystyle 1- \ cos a \ cos b = (1- \ cos a) + (1- \ cos b) - (1- \ cos a) (1- \ cos b) \ ,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b191113721bab02418ae67f8d0b0a8475dfc65)
vzorec
cosvs.=cosnacosb+hříchnahříchbcosy{\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gama}![{\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gama}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f708ef80e46c2ae5bbc977ed762676c42cf14c8a)
může proměnit
1-cosvs.=(1-cosna)+(1-cosb)-(1-cosna)(1-cosb)-hříchnahříchbcosy ,{\ Displaystyle 1- \ cos c = (1- \ cos a) + (1- \ cos b) - (1- \ cos a) (1- \ cos b) - \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma ~,}![{\ Displaystyle 1- \ cos c = (1- \ cos a) + (1- \ cos b) - (1- \ cos a) (1- \ cos b) - \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma ~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a011ecba19d69f0bb55be4395e7f14fb6b090b0b)
poté vynásobením 2 R 2 a provedením ohlášených náhrad
vs.′2=na′2+b′2-2na′b′cosy .{\ displaystyle c '^ {2} = a' ^ {2} + b '^ {2} -2a'b' \ cos \ gamma ~.}![{\ displaystyle c '^ {2} = a' ^ {2} + b '^ {2} -2a'b' \ cos \ gamma ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26243a1700a0defee408e6f576a76a194579e78e)
Nechte rovinu
kosinusového zákona
Dvojí forma naopak dává rovnost
cosy=-cosαcosβ+hříchαhříchβ=-cos(α+β){\ displaystyle \ cos \ gamma = - \ cos \ alfa \, \ cos \ beta + \ sin \ alfa \, \ sin \ beta = - \ cos (\ alpha + \ beta)}![{\ displaystyle \ cos \ gamma = - \ cos \ alfa \, \ cos \ beta + \ sin \ alfa \, \ sin \ beta = - \ cos (\ alpha + \ beta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42cb9822b8175f59818c79c15ddb7128b54f9f8)
připomínáme, že úhly γ a α + β jsou další v rovinném trojúhelníku.
Sinusový vzorec
Okamžitě se převádí z vzorce ve sférické trigonometrii vynásobením R :
na′hříchα=b′hříchβ=vs.′hříchy ,{\ displaystyle {\ frac {a '} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b'} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c '} {\ sin \ gamma}} ~,}
Heronův vzorec
Vynásobením vzorec Huilier podle R 4 , dostaneme:
Ropálenís2Ropálenís-na2Ropálenís-b2Ropálenís-vs.2=R4opálení2ε4{\ displaystyle R \ tan {\ frac {s} {2}} R \ tan {\ frac {sa} {2}} R \ tan {\ frac {sb} {2}} R \ tan {\ frac {sc } {2}} = R ^ {4} \ tan ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {4}}}![{\ displaystyle R \ tan {\ frac {s} {2}} R \ tan {\ frac {sa} {2}} R \ tan {\ frac {sb} {2}} R \ tan {\ frac {sc } {2}} = R ^ {4} \ tan ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33bee0d4e12c5304e26b777a3b090bed8522847d)
Zlato
limR→∞Ropálenís2=p′2{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R \ tan {\ frac {s} {2}} = {\ frac {p '} {2}}}
limR→∞Ropálenís-na2=p′-na′2{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R \ tan {\ frac {sa} {2}} = {\ frac {p'-a '} {2}}}
kde p ' je poloviční součet stran trojúhelníku. Můžeme odvodit:
limR→∞R4opálení2ε4=p′(p′-na′)(p′-b′)(p′-vs.′)16{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R ^ {4} \ tan ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {4}} = {\ frac {p '(p'-a') ( p'-b ') (p'-c')} {16}}}![{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R ^ {4} \ tan ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {4}} = {\ frac {p '(p'-a') ( p'-b ') (p'-c')} {16}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241d19fa76012565e41c2bc71891ace36acb71b7)
Nebo opět, protože ε / 4 a tan ( ε / 4) jsou ekvivalentní:
limR→∞R4ε2=p′(p′-na′)(p′-b′)(p′-vs.′){\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R ^ {4} \ varepsilon ^ {2} = p '(p'-a') (p'-b ') (p'-c')}![{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R ^ {4} \ varepsilon ^ {2} = p '(p'-a') (p'-b ') (p'-c')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39cd25b9bedfc38e178df8c0537ceb5ce252f2d1)
Nahrazením ve vzorci pro oblast a předáním k limitu:
S2=p′(p′-na′)(p′-b′)(p′-vs.′){\ displaystyle S ^ {2} = p '(p'-a') (p'-b ') (p'-c')}![{\ displaystyle S ^ {2} = p '(p'-a') (p'-b ') (p'-c')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1145e99b3b15e6f593354b2f5134dee64965e1ce)
což je Heronův vzorec rovinné geometrie.
Polární trojúhelník
Na kouli se středem O uvažujeme dva body A a B, které jsou odlišné a nejsou diametrálně odlišné. Přímka procházející O a kolmá k rovině OAB se setkává s koulí ve dvou bodech, které se nazývají póly roviny (OAB).
Pro trojúhelník ABC nakreslený na kouli nazýváme C 'pól roviny (OAB) umístěný na stejné polokouli jako C. Konstruujeme body A' a B 'stejným způsobem. Trojúhelník (A'B'C ') se nazývá polární trojúhelník trojúhelníku ABC.
Konstrukčně velké kruhy (C'B ') a (C'A') protínají velký kruh (AB) v pravém úhlu. Je to stejné pro dva velké kruhy (B'A ') a (B'C') pro velký kruh (AC) atd. Strany polárního trojúhelníku jsou proto každá kolmá ke dvěma stranám původního trojúhelníku.
Transformace, která k trojúhelníku sdružuje jeho polární trojúhelník, je involutivní aplikací, to znamená, že polární trojúhelník trojúhelníku (A'B'C ') je trojúhelník (ABC).
Strany trojúhelníku (A'B'C ') jsou dalšími úhly trojúhelníku (ABC). Což je vyjádřeno následujícími rovnostmi:
na′+α=πb′+β=πvs.′+y=π{\ displaystyle a '+ \ alpha = \ pi \ quad b' + \ beta = \ pi \ quad c '+ \ gamma = \ pi}
a vlastností involuce jsou úhly polárního trojúhelníku další ze stran trojúhelníku (ABC). Je :
na+α′=πb+β′=πvs.+y′=π{\ displaystyle a + \ alpha '= \ pi \ quad b + \ beta' = \ pi \ quad c + \ gamma '= \ pi}
Tyto vztahy umožňují odvodit ze základních vzorců výše uvedené dvojité vzorce.
Historický přehled
Trigonometrie , zvláště sférické trigonometrie, dluží hodně k astronomů a matematiků řecké Hipparchus Nicea a Menelaa Alexandrie , ale také na perský jazyk Arabic matematiky a Indie . Mezi nejznámější patří Bhāskara II , Abu Nasr Mansur , Abu l-Wafa a Al-Biruni, kteří prokazují sinusové pravidlo pro jakýkoli trojúhelník i vzorce pro pravý trojúhelník. Sférická trigonometrie prominentně v smlouvách arabských astronomii a specifických smluv zaměřených na to, jak sférické trigonometrie pojednání Ibn Mu'adh al-Jayyānī ( XI th století ), matematik Andalusie pak za muslimského pravidla, nebo že z Nasir al-din al- Tusi ( XIII th století ).
Aplikace
Výpočty souřadnic :
Zvažte také aplikaci na ploché solární panely .
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
Dolní hranice je dosažena pouze na hranici, pro trojúhelník plochy směřující k nule (pro danou kouli) nebo pro kouli o poloměru směřující k nekonečnu (pro tři vrcholy daných zeměpisných šířek a zeměpisných šířek). Horní hranice je u jakékoli koule dosažena, když jsou tři vrcholy umístěny na stejné velké kružnici.
Reference
-
(in) Glen Van Brummelen , „ Trigonometrie pro nebesa “ , Physics Today , sv. 70, N O 122017, str. 70-71 ( DOI 10.1063 / PT.3.3798 ).
-
Podle Michela Chaslese , Historický přehled o vzniku a vývoji metod v geometrii , Brusel, impr. Hayez,1837( číst online ) , s. 54.
-
Jak získat vzdálenost mezi dvěma známými body v zeměpisné délce a šířce na kouli na webu geodesy.ign.fr
-
| http://publimath.univ-irem.fr/glossaire/EX001.htm Sférický přebytek], Publimath Glossary
-
Několik vysvětlení na místě Palais de la Découverte
-
Viz například Antoine Meyer, Sférická trigonometrická lekce , Decq, 1844, s. 31
-
Marie-Thérèse Debarnot, „Trigonometry“ , Roshdi Rashed, Histoire des sciences arabe: Mathématiques et physique , t. 2, Prahová hodnota,1997, str. 165-198, pp = 172-185
-
Pro demonstraci lze číst Sférickou trigonometrii od Pierra-Yvesa Créacha, s. 13-15
-
Kompletní díla Françoise Araga . François Arago, svazek 3, strana 158 (Gide, Paříž - 1855).
-
Marie-Thérèse Debarnot , „Trigonometrie“ , v Roshdi Rashed , Histoire des sciences arabe , sv. 2, Prahová hodnota,1997.
-
Debarnot 1997 , str. 172-176.
Podívejte se také
Související články
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">