Wold rozklad

Rozklad Wold nebo rozklad Wold - von Neumann je výsledkem funkční analýzy popisuje izometrií Hilbertův prostor .

Státy

Definice - Nechť H je Hilbertův prostor a T: H → H izometrie. Říkáme, že T je operátor posunu, pokud pro jakýkoli prvek x z H , když . ${\ displaystyle T ^ {* n} x \ až 0}$ ${\ displaystyle n \ až + \ infty}$

Věta - Nechť H je Hilbertův prostor a T: H → H izometrie. Existují F a G dva podprostory H , v přímém součtu a stabilní T , takový, který je operátor posunu a je operátor jednotky . ${\ displaystyle T | _ {F}}$ ${\ displaystyle T | _ {G}}$

Demonstrace

Pojďme pózovat . Jde o uzavřený podprostor stabilní par . Všimněte si ortogonální projekce na . ${\ displaystyle G = \ cap _ {k \ in \ mathbb {N}} T ^ {k} H}$ $H$ $T$ ${\ displaystyle P_ {G}}$ $G$

Lemma - Na všechno , kdy . ${\ displaystyle x \ v H}$ ${\ displaystyle T ^ {n} T ^ {* n} \ do P_ {G} x}$ ${\ displaystyle n \ až + \ infty}$

Důkaz lemmatu

Pro všechno , jako je izometrie, je zapnuta ortogonální projekce . $ne$ ${\ displaystyle T ^ {n}}$ ${\ displaystyle T ^ {n} T ^ {* n}}$ ${\ displaystyle T ^ {n} H}$

Buď svévolné. U všeho napíšeme ve formě s ortogonální projekcí on . Pro všechny s , jako , je ortogonální projekce na a podle Pythagorovy vzorce ${\ displaystyle x \ v H}$ $ne$ $X$ ${\ displaystyle x = x_ {n} + y_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {n} = T ^ {n} T ^ {* n} x}$ $X$ ${\ displaystyle T ^ {n} H}$ ${\ displaystyle m, n}$ $m> n$ ${\ displaystyle T ^ {m} H \ podmnožina T ^ {n} H}$ $x_ {m}$ $x_ {n}$ ${\ displaystyle T ^ {m} H}$ ${\ displaystyle || x_ {n} || ^ {2} - || x_ {m} || ^ {2} = || x_ {n} -x_ {m} || ^ {2}}$ . Z tohoto vztahu vyplývá, že jde o klesající posloupnost, tedy konvergentní, protože pozitivní. Kromě toho umožňuje ukázat, že jde o pokračování Cauchyho. Jak je kompletní, konverguje k určitému . ${\ displaystyle (|| x_ {n} ||) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $H$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle X \ v H}$

Na závěr stačí ukázat, že je to ortogonální projekce on . Nejprve si toho všimneme . Opravdu, za všechno , sekvence je alespoň z hodnosti , tak jeho hranice také patří . $X$ $X$ $G$ ${\ displaystyle X \ v G}$ $k \ in \ mathbb {N}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle T ^ {k} H}$ $k$ $X$ ${\ displaystyle T ^ {k} H}$

Kromě toho, pokud je jakýkoli prvek , $X '$ $G$ ${\ displaystyle \ langle xX, X '\ rangle = \ lim _ {n \ to + \ infty} \ langle x-x_ {n}, X' \ rangle = \ lim _ {n \ to + \ infty} \ langle y_ {n}, X '\ rangle = 0}$ . Opravdu, za všechno , je kolmý proto také , což je podprostor . $ne$ $y_n$ ${\ displaystyle T ^ {n} H}$ $G$ ${\ displaystyle T ^ {n} H}$

Všimněte si, pro všechny , ortogonální doplněk in . Jsou uzavřené podprostory , dvou-by-dva ortogonální. ${\ displaystyle j \ in \ mathbb {N}}$ $F_ {j}$ ${\ displaystyle T ^ {j + 1} H}$ ${\ displaystyle T ^ {j} H}$ $F_ {j}$ $H$

Vzhledem k tomu, za všechno , je kolmý průmět , kolmý průmět v , který budeme označovat , se rovná . Takže za všechno , když , $j$ ${\ displaystyle T ^ {j} T ^ {* j}}$ ${\ displaystyle T ^ {j} H}$ $F_ {j}$ ${\ displaystyle P_ {F_ {j}}}$ ${\ displaystyle T ^ {j} T ^ {* j} -T ^ {j + 1} T ^ {* j + 1}}$ ${\ displaystyle x \ v H}$ ${\ displaystyle n \ až + \ infty}$ ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {n} P_ {F_ {j}} \ right) x = \ left (Id_ {H} -T ^ {n + 1} T ^ {* n +1} \ vpravo) x \ na (Id_ {H} -P_ {G}) x}$ . Tento vztah znamená, že pokud definujeme , máme ; dále a jsou ortogonální. ${\ displaystyle F = {\ overline {F_ {0} \ oplus F_ {1} \ oplus \ dots}}}$ ${\ displaystyle F \ oplus G = H}$ $F$ $G$

Prostor je stabilní , protože , takže jeho adheze také. ${\ displaystyle F_ {0} \ oplus F_ {1} \ oplus \ dots}$ $T$ ${\ displaystyle TF_ {j} \ podmnožina F_ {j + 1}}$ $F$

Ukažme, že jde o posun. Za všechno , když , ${\ displaystyle T | _ {F}}$ $x \ ve F$ ${\ displaystyle n \ až + \ infty}$ ${\ displaystyle || T ^ {* n} x || ^ {2} = \ langle x, T ^ {n} T ^ {* n} x \ rangle \ to \ langle x, P_ {G} x \ rangle = 0}$ .

Ukažme si, že jde o unitární operátor. Toto předvedené lemma to umožňuje ukázat . Podprostor je stabilní o , protože jeho ortogonální je stabilní o . Stejně jako identita na , dostaneme ${\ displaystyle T | _ {G}}$ ${\ displaystyle TP_ {G} T ^ {*} = P_ {G}}$ $G$ ${\ displaystyle T ^ {*}}$ $F$ $T$ ${\ displaystyle P_ {G}}$ $G$ ${\ displaystyle T | _ {G} T | _ {G} ^ {*} = Id_ {G}}$ .

Verze pro nekonečný počet izometrií

Definice - Dovolme být posloupností Hilbertových prostorů. To znamená, že za všechno , jako izometrie. Říkáme, že jde o značkovací rodinu, pokud existuje posloupnost disjunktních Hilbertových prostorů a unitárních operátorů splňujících pro všechny vztah ${\ displaystyle (H_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ $ne$ ${\ displaystyle v_ {n}: H_ {n + 1} \ až H_ {n}}$ ${\ displaystyle (v_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle (L_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {n}: H_ {n} \ to \ oplus _ {k = n} ^ {+ \ infty} L_ {n}}$ $ne$

{\ displaystyle \ Phi _ {n} v_ {n} \ Phi _ {n + 1} ^ {- 1} :( x_ {n + 1}, x_ {n + 2}, \ dots) \ in \ oplus _ {k = n + 1} ^ {+ \ infty} L_ {n} \ to (0, x_ {n + 1}, x_ {n + 2}, \ dots) \ in \ oplus _ {k = n} ^ {+ \ infty} L_ {n}}

Věta - Dovolme být posloupností Hilbertových prostorů. To znamená, že za všechno , jako izometrie. Pro všechno existují podprostory v přímém součtu, které označujeme a podobně ${\ displaystyle (H_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ $ne$ ${\ displaystyle v_ {n}: H_ {n + 1} \ až H_ {n}}$ $ne$ $H_n$ $F_ {n}$ $G_ {n}$

${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z}, v_ {n} F_ {n + 1} \ podmnožina F_ {n}}$ ;
${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z}, v_ {n} G_ {n + 1} \ podmnožina G_ {n}}$ ;
rodina je významná; ${\ displaystyle (v_ {n} | _ {F_ {n + 1} \ až F_ {n}}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$
${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z}, v_ {n}: G_ {n + 1} \ až G_ {n}}$ je nečleněný operátor.

Analýza stacionárních procesů

Ve statistikách umožňuje verze Woldovy věty rozložit jakýkoli slabě stacionární proces na součet „deterministické“ části a „stochastické“ části.

Věta - Dovolit být stacionární proces ve slabém smyslu . Existuje posloupnost reálných čísel , slabě stacionární proces a tak dále ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {j}) _ {j \ in \ mathbb {N}}}$ $U$ $Ž$

{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {Z}, X_ {t} = \ sum _ {j \ in \ mathbb {Z}} \ alpha _ {j} U_ {tj} + W_ {t}}

a jsou zkontrolovány následující vlastnosti:

${\ displaystyle \ alpha _ {0} = 1, \ sum _ {j = 0} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {j} ^ {2} <+ \ infty}$ ;
${\ displaystyle \ forall j, \ mathbb {E} (U_ {j}) = 0}$ ;
${\ displaystyle \ forall j, j ', \ mathbb {E} (U_ {j} U_ {j'}) = 0}$ pokud ; ${\ displaystyle j \ neq j '}$
${\ displaystyle \ forall j, j ', \ mathbb {E} (U_ {j} W_ {j'}) = 0}$ ;
proces je deterministický, to znamená, že existují skutečnosti jako například pro všechno , kdy . $Ž$ ${\ displaystyle (\ beta _ {j} ^ {N}) _ {0 <j \ leq N \ in \ mathbb {N}}}$ $t$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (W_ {t} - (\ beta _ {1} ^ {N} W_ {t-1} + \ dots + \ beta _ {N} ^ {N} W_ {tN }) \ vpravo) ^ {2} \ na 0}$ ${\ displaystyle N \ až + \ infty}$

Reference

(en) Marvin Rosenblum a James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory , Oxford University Press,1985, 161 str. ( ISBN 0-19-503591-7 , číst online )
(en) Tiberiu Constantinescu, Schurovy parametry, problémy s faktorizací a dilatací , sv. 82, Basilej / Boston / Berlín, Birkhäuser, kol. "Teorie operátorů, pokroky a aplikace",1996, 253 s. ( ISBN 3-7643-5285-X , číst online )
(en) Herman J. Bierens, Úvod do matematických a statistických základů ekonometrie , Cambridge University Press, kol. "Témata v moderní ekonometrii",2004, 323 s. ( ISBN 978-0-521-54224-1 , číst online )

Podívejte se také

Operátor řazení