Nastavte F σ

V matematice a zejména v topologii , je množina F σ (čti „F sigma“) je počitatelné unie z uzavřených množin .

Zápis zavedený Felixem Hausdorffem pochází z francouzštiny , F označuje uzavřené a σ částku nebo unii . Zápis F σ je ekvivalentní zápisu použitému v hierarchii Borel . Σ20{\ displaystyle \ Sigma _ {2} ^ {0}}

Vlastnosti

• Počitatelná unie množin F å je množina F σ a konečný průnik množin F σ je množina F σ .

• Doplněk ze souboru F å je množina G δ .

Příklady

• Každá uzavřená množina je množina F σ .

• Souprava z racionálních čísel je množina F å v množině všech reálných čísel obdařených jeho obvyklou topologií . Na druhou stranu, set of irrationals není množina F å v množině všech reálných čísel poskytnutých s obvyklou topologii .Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R∖Q{\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

• V metrizovatelném prostoru je každá otevřená množina množinou F σ .

• V prostoru T 1 je každá spočetná množina F σ, protože bod představuje uzavřenou množinu .X{\ displaystyle {x}}

• Množina všech bodů v kartézské rovině tak, že je racionální je množina F å , protože to může být vyjádřena jako počitatelné unie všech linek procházejících původu s racionálním svahu  :NA{\ displaystyle A} (X,y){\ displaystyle (x, y)}X/y{\ displaystyle x / y}

NA=⋃r∈Q{(ry,y)∣y∈R},{\ displaystyle A = \ bigcup _ {r \ in \ mathbb {Q}} \ {(ry, y) \ mid y \ in \ mathbb {R} \},}kde je množina racionálních čísel , což je spočetná množina .Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Podívejte se také

• Množina G δ - dvojí představa množiny F σ
• Borelova hierarchie
• P-prostor  (in) , jakýkoli prostor ve smyslu Gillmana - Henriksena, který má vlastnost, že libovolná množina F σ je uzavřena

Reference

1. (in) Elias M. Stein a Rami Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces , Princeton University Press ,2009, 424  s. ( ISBN  978-1-4008-3556-0 , číst online ) , s.  23
2. (in) Charalambos D. Aliprantis a Kim Border Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce , Berlín, Heidelberg, Springer Verlag ,2006( ISBN  978-3-540-29587-7 , číst online ) , s.  138

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">