Homogenní prostor

V geometrii je homogenní prostor prostor, na který skupina působí tranzitivním způsobem . Z pohledu Erlangenova programu představuje skupina symetrie zachovávající geometrii prostoru a homogenita se projevuje nerozlišitelností bodů a vyjadřuje pojem izotropie . Prvky prostoru tvoří jednu dráhu podle G .

Základní příklady

Prostory klasických geometrií (v jakékoli konečné dimenzi) bodů jsou homogenní prostory pro jejich skupinu symetrií. Zde jsou nějaké příklady :

Homogenní prostory abstraktních skupin, Lieovy skupiny, algebraické skupiny

V různých kategoriích existuje pojem homogenních prostorů

Na algebraicky uzavřeném poli je homogenní algebraický prostor afinní algebraické skupiny homogenním prostorem ve smyslu abstraktních skupin. Obecně platí, že na komutativním poli K , je-li algebraická odrůda X na K homogenní algebraický prostor afinní algebraické skupiny G na K , to obecně neznamená, že abstraktní skupina G funguje přechodně na množině X , ale rozšíření na algebraickém uzávěru L z k , abstraktní skupina G ( L ) racionálních bodů G na L působí přechodně na množině X ( L ) racionálních bodů X na L . Takže některé množiny, na nichž skupina nepracuje přechodně, lze považovat za homogenní algebraické prostory. Například, pokud q je nedegenerovaný kvadratická forma na vektorovém prostoru E konečných rozměrů n na komutativním pole K charakteristické jiné než 2, je množina p- rozměrné vektorové podprostory na E , které jsou nedegenerovaný pro q je kanonicky obdařený algebraickou homogenní prostorovou strukturou algebraické skupiny O ( q ), i když skupina O ( q ) na této množině nepůsobí přechodně (ve skutečnosti je tomu tak, pokud je K algebraicky uzavřeno).

Příklady homogenních prostorů

Zde D označuje pole (komutativní nebo ne), u kterého můžeme předpokládat, že v případě potřeby bude mít charakteristiku odlišnou od 2, E vektorový prostor nenulové konečné dimenze na D , X afinní prostor připojený k E , K střed D .

Prostory spojené s vektorovými a afinními prostory

Prostory spojené s vektorovými a afinními prostory. Mezery jsou pro případ GL ( E ) nebo GA ( X ) homogenní .

Pokud se D (nebo Δ) rovná R , C nebo H , jsou to homogenní Lieovy prostory. Pokud je rozměr D nad K konečný (což je případ, když D = K , tj. Je-li D komutativní), pak jde o algebraické homogenní prostory.

Prostory související s kvadratickými, hermitskými a antihermitiánskými formami

Předpokládáme, že existuje involuce polí σ z D a nechť φ je nedegenerovaná hermitská nebo antihermitianská seskvilineární forma na E relativně k σ z D , K 0 podskupina středu K, což je množina prvků a od středu D tak, že σ ( a ) = a . Pokud D = K je komutativní, tam q nedegenerovaného kvadratická forma na E .

Když je rozměr D nad K konečný (což je případ, pokud je D komutativní), pak U (φ) je algebraická skupina nad K 0 a mezery v této části jsou homogenní algebraické prostory nad K 0 . Pokud D = C a pokud σ je identické, pak φ je symetrický nebo střídavě bilineární, U (φ) je komplexní Lieova skupina (máme U (φ) = O (φ) nebo U (φ) = Sp (φ) v závislosti na případu) a mezery v této části jsou homogenní komplexní Lieovy mezery pro U (φ). Pokud D = R , nebo pokud D = C nebo D = H a σ je konjugace, U (φ) je skutečná Lieova skupina, a když U (φ) působí přechodně na prostory této sekce, je tento prostor homogenní Lieův prostor U (φ).

Afinní prostor Vázané prostory plně izotropních vektorových podprostorů
  • Plně izotropní vektorové podprostory. Předpokládáme zde, že φ existuje a že φ je izotropní, to znamená, že existuje nenulový vektor E takový, že φ ( x , x ) = 0. Označíme ν Wittův index φ nebo q , tj. největší dimenze vektorových podprostorů E, nad nimiž je φ nebo q shodně nula. Je-li 2ν = n , Lagrangian je vektorový podprostor dimenze ν, na kterém je φ nebo q shodně nula. Tyto prostory jsou homogenní pro U (φ) nebo O ( q ) v závislosti na případu. Pokud má D konečnou dimenzi nad K , jsou to algebraické homogenní prostory pro U (φ) nebo O ( q ).
  • Grassmannian izotropní indexu p o E pro cp nebo, pokud D je komutativní, pro q , to znamená, že vektorové podprostory rozměr P z E , na kterém φ, nebo Q , je rovny nule. Pokud 2 p = 2ν = n , nazýváme to Lagrangian Grassmannian φ nebo q .
  • Prostor izotropních vektorových linií E , pro φ nebo q .
  • Sada vektorů E, které jsou izotropní pro φ nebo q .
  • Rozmanitost příznaků izotropního podpisu ( p 1 ,…, p k ), to znamená příznaky tohoto podpisu, které jsou tvořeny vektorovými podprostory, které jsou zcela izotropní pro φ nebo q .
  • Prostor Lagrangeových rozkladů E , pokud 2ν = n , to znamená dvojice ( L , L ') lagrangiánů E, které jsou doplňkové.
  • Prostor párů neortogonálních izotropních vektorových čar vytahuje φ nebo 'q
Prostor nedegenerovaných vektorových podprostorů
  • Grassmannian s daným podpisem. Zde D je pole D = R nebo D = C nebo D = H a v závislosti na případu je φ skutečná symetrická bilineární forma nebo komplexní hermitovská nebo kvaternionská forma. Jedná se o homogenní na U (cp) (to znamená, že O (φ), kde D = R .
    • Grassmannian podpis ( R , to ) z E na cp, tj vektorové podprostory rozměr r + to z E , pro kterou podpis symetrického nebo Hermitovské formě bilineární indukované cp je ( R , to ). Pokud φ je pozitivně definitní, pak to = 0, a to je pak Grassmannian index r z e .
    • Prostor pozitivní (resp. Negativní) vektorové linie E pro cp, tj generován vektor V části E , pro kterou φ ( v , v ) je striktně pozitivní (resp. Negativní) reálné číslo. Pokud je φ kladně definitivní, pak je to projektivní prostor P ( E ), který je pak eliptickým prostorem. Pokud je podpis ( l , m ) cp takový, že m = 1, množina záporných vektorových čar pro cp je hyperbolický prostor.
    • Grassmannian zušlechťuje index p euklidovského afinního prostoru pro jeho skupinu izometrií nebo její skupinu podobností.
  • Grassmannian nedegenerovaných vektorových podprostorů. To je Grassmannian podprostorů V rozměru P z E tak, že φ nebo tvar indukované q je non-degenerované.
    • Pokud je rozměr D nad K 0 konečný (což je případ, když je D = K komutativní), jedná se o algebraický homogenní prostor pro U (φ), ale nemusí to být nutně homogenní prostor v běžném smyslu.
    • Pokud D = K, pokud φ je střídavá bilineární forma, jedná se o homogenní prostor v běžném smyslu. Pokud je D = K algebraicky uzavřeno (například pokud K = C ) a pokud φ je symetrická bilineární forma, jedná se o homogenní prostor v běžném smyslu pro O ( φ )
    • Pokud D je pole H čtveřic a je-li antihermitan pro konjugaci, jedná se o homogenní prostor v běžném smyslu pro O (φ) = U (φ).
Prostory anizotropních vektorů a Stiefelových variet
  • "Koule" vektorů x z E tak, že φ ( x , x ) = s (nebo q ( x , x ) = k ), se jedná o homogenní prostor pro U (cp), (nebo O ( q )), algebraická jestliže D je konečné dimenze nad K (například je-li D = K komutativní).
  • Stiefelova rozmanitost invertibilních maticových rámců daných A ∈ M p ( D ) pro φ, to znamená sekvencí ( x i ) p vektorů lineárně nezávislých na E tak, že matice (( x i , y j ) a A jsou si rovny. Je to homogenní prostor pro U (φ), algebraický, pokud D má konečnou dimenzi nad K (například je-li D = K komutativní). Je-li A matice identity, jedná se o odrůdy Stiefel z p -repères orthonormal .
Projektivní kvadrické prostory a hermitovské endomorfismy
  • Prostor vlastních kvadrik projektů P ( E ), pokud D = K je komutativní. Jedná se o homogenní algebraický prostor pro GL ( E ), ne nutně v běžném smyslu, ale je to v případě, že K je algebraicky uzavřeno (například pokud K = C ).
  • Prostor hermitovských endomorphisms z E na cp, tj automorfismy f o E tak, že φ ( f ( x ), y ) = φ ( x , f ( y )), bez ohledu jsou x a y v E . Je to algebraický homogenní prostor pro GL ( E ), pokud D má konečnou dimenzi nad K , ale ne nutně v běžném smyslu.

Výjimečné prostory

  • Moufang rovina X (např. Projektivní rovina Cayley P 2 ( O ) na algebry O o octonions Cayley) pro skupinu collineations X .
  • Afinní rovina Moufang X (např., Afinní mapa Cayley O 2 ) pro skupinu collineations X .
  • Cayleyho eliptické letadlo pro jeho skupinu izometrií.
  • Cayleyho hyperbolické letadlo pro jeho skupinu izometrií.

Cayleyova projektivní rovina, Cayleyho afinní rovina, Cayleyova eliptická rovina a Cayleyova hyperbolická rovina jsou homogenní Lieovy prostory těchto skutečných Lieových skupin.

Homogenní prostory Lieových a algebraických skupin

Tyto symetrické Riemannových prostory o diferenciální geometrie jsou homogenní prostory pro skupinu svých isometries . Tím se zevšeobecňují euklidovské prostory, euklidovské koule, eliptické prostory a hyperbolické prostory, stejně jako skutečné a komplexní Grassmannianovy pro ortogonální nebo unitární skupiny. Obecněji řečeno, existují symetrické prostory (ne nutně Riemannian), které jsou homogenními prostory pro svou skupinu posunů.

V algebraické geometrii v diferenciální geometrii existují také varianty vlajek (zobecněné), které jsou podle definice homogenní prostory algebraických skupin nebo Lieových skupin . K odrůdám příznaků patří Grassmannians daného indexu a odrůdy příznaků daného typu vektorových prostorů na komutativním poli, vlastní projektivní kvadrics , Grassmannians zcela izotropních vektorových podprostorů dané dimenze pro tvary kvadratické nebo střídavé bilineární formy nebo komplexní hermitovské sesquilineární formy , ve všech případech nedegenerovat.

U vlajkových potrubí diferenciální geometrie je skupina, pro kterou jsou vlajkovými potrubími, nekompaktní Lieova skupina, ale v některých případech existuje kompaktní podskupina Lieovy skupiny, pro kterou je to symetrický Riemannovský prostor. Například projektivní plocha u vektor prostoru E , je paleta vlajek pro projektivní skupiny (zvláštní) z E, přičemž se jedná o symetrický prostor pro speciální ortogonální skupiny z E (nebo jeho obraz v projektivní skupiny E ).

V diferenciální geometrii najdeme mezi nejdůležitějšími homogenními prostory symetrické prostory a variace vlajek.

Reference

  • Marcel Berger , Geometry [ detail vydání ]
  • (en) [PDF] Jürgen Berndt, Lie Group Actions on Manifolds
  • Guy Laville, Geometry for CAPES and aggregation , Ellipses, 1998 ( ISBN  2-7298-7842-4 )
  • (en) Simon Gindikin  (en) , Classical Groups and Classical Homogeneous Manifolds , on the Internet

Podívejte se také

Homogenita (matematika) Tento odkaz odkazuje na stránku disambiguation