Grassmannian
Tento článek je nástin týkající se
matematiky .
O své znalosti se můžete podělit vylepšením ( jak? ) Podle doporučení příslušných projektů .
V matematiky , Grassmannians jsou potrubí , jejichž body odpovídají vektorových podprostorů jednoho pevného vektorovém prostoru . Označme G ( k , n ) a G k, n ( K ) na Grassmannian podprostoru dimenze k v prostoru dimenze n z tělesa K . Tyto prostory nesou jméno Hermanna Grassmanna, který jim dal parametrizaci a dodnes se jim říká Grassmannian „ k -plans“.
Všeobecné
Příklady
- Pro k = 1 je Grassmannian projektivní prostor spojený s vektorovým prostorem.
- Pro k = n - 1 odpovídá Grassmannian projektivnímu prostoru spojenému s duálním prostorem počátečního vektorového prostoru, protože každý bod odpovídá nadrovině.
- Pro k = 2 an = 4 získáme nejjednodušší z Grassmannianů, což není projektivní prostor. Toto studoval Julius Plücker jako sadu přímek v projektivním prostoru dimenze 3. Je to popsáno Plückerovými souřadnicemi .
Grassmannian jako kvocient
Chcete-li to vidět, budeme značit množinu matic velikosti ( n , p ) a hodnost p a s různými Stiefel z matic velikosti ( n , p ), jejíž sloupce jsou ortogonální a unitární.
GLp,ne{\ displaystyle GL_ {p, n}}SLp,ne{\ displaystyle SL_ {p, n}}
Všimli jsme si, že je v bijekce s prostorem na orbit na akci (vynásobením vpravo ) ze dne , stejně jako v případě účinku (skupiny jednotkových matic o velikosti p ) na .
Gp,ne{\ displaystyle G_ {p, n}}GLp{\ displaystyle GL_ {p}}GLp,ne{\ displaystyle GL_ {p, n}}Up{\ displaystyle U_ {p}}SLp,ne{\ displaystyle SL_ {p, n}}
Ukazujeme, že topologie indukované těmito reprezentacemi jsou identické pomocí Choleského faktorizace .
Plücker dip
Dalším způsobem, jak dosáhnout Grassmannian, je definovat jeho Plückeriennes nebo Grassmannian souřadnice . Toto zabudování do projektivního prostoru vnějších produktů stupně k v prostoru ℝ n rozšiřuje práci Plückera pro případy rovin ℝ 4 .
Gp,ne(R){\ displaystyle G_ {p, n} (\ mathbb {R})}P(Λp(Rne)){\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Lambda ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n}))}
Obnova afinními mapami
Představíme kanonický základ z E = ℝ n a označíme S k -part z {1, ..., n }, podprostor generovaný vektory .
(Ei)i∈[[1,ne]]{\ displaystyle (e_ {i}) _ {i \ v [[1, n]]}}E1=ES{\ displaystyle E_ {1} = E_ {S}}(Ei)i∈S{\ displaystyle (e_ {i}) _ {i \ v S}}
Označíme množinu další of .
PROTIS=Gk,ne,S{\ displaystyle V_ {S} = G_ {k, n, S}}E2=ESvs.{\ displaystyle E_ {2} = E_ {S ^ {c}}}
První etapa
Nechť V člena V S .
Libovolný vektor je napsán jednoznačně pomocí a . Aplikace je
lineární a injektivní . Protože V a mají stejnou dimenzi, jedná se o
izomorfismus . Zaznamenáváme
reciproční izomorfismus . Pak máme s
X∈PROTI{\ displaystyle x \ ve V}X=u+proti=p(X)+q(X){\ displaystyle x = u + v = p (x) + q (x)}u∈E1{\ displaystyle u \ v E_ {1}}proti∈E2{\ displaystyle v \ v E_ {2}}PROTI→E1,X↦u{\ displaystyle V \ až E_ {1}, x \ mapsto u}E1{\ displaystyle E_ {1}}ϕ∈L(E1,PROTI){\ displaystyle \ phi \ v L (E_ {1}, V)}X=u+q∘ϕ(u){\ displaystyle x = u + q \ circ \ phi (u)}ψ=q∘ϕ∈L(E1,E2).{\ displaystyle \ psi = q \ circ \ phi \ v L (E_ {1}, E_ {2}).}
Druhý krok
Předcházející argumentace ukazuje, že je možné se spojují v bijective způsobem, s jakýmkoliv prvkem V části , mapy , nebo
jeho matice (v kanonických základů E 1 a E 2 ), (soubor reálných matic velikosti n - k , k ).
PROTIS{\ displaystyle V_ {S}}ψ∈L(E1,E2){\ displaystyle \ psi \ v L (E_ {1}, E_ {2})}ψS(PROTI)∈Mne-k,k{\ displaystyle \ psi _ {S} (V) \ v M_ {nk, k}}
Tato bijekce je afinním popisem , který je otevřenou částí (pro
Zariskiho topologii , kterou budujeme) Grassmannian .
ψS:Gk,ne,S=PROTIS→Mne-k,k{\ displaystyle \ psi _ {S}: G_ {k, n, S} = V_ {S} \ až M_ {nk, k}}Gk,ne,S{\ displaystyle G_ {k, n, S}}Gk,ne{\ displaystyle G_ {k, n}}
Třetí krok
Ukázali jsme, že některý prvek náleží k alespoň jedné k -part S , a to pro dvě různé části S a T je
změna map vyvolaných popisech a je morfismus (racionální aplikace všude definováno), bijective jakož jako jeho vzájemný (nebo biregulární izomorfismus) mezi a .
Gk,ne{\ displaystyle G_ {k, n}}Gk,ne,S{\ displaystyle G_ {k, n, S}} ψT∘(ψS)-1{\ displaystyle \ psi _ {T} \ circ (\ psi _ {S}) ^ {- 1}}Gk,ne,S{\ displaystyle G_ {k, n, S}}Gk,ne,T{\ displaystyle G_ {k, n, T}}ψS(Gk,ne,S∩Gk,ne,T){\ displaystyle \ psi _ {S} (G_ {k, n, S} \ čepice G_ {k, n, T})}ψT(Gk,ne,S∩Gk,ne,T){\ displaystyle \ psi _ {T} (G_ {k, n, S} \ čepice G_ {k, n, T})}
Interpretace jako algebraická odrůda
Lepením odvodíme, že tento Grassmannian je algebraická odrůda .
Předchozí vyobrazení pak umožňuje ukázat, že jde o odrůdu jinou než singulární, afinní, uzavřenou a ohraničenou, biregulárně izomorfní .
Gp,ne(R){\ displaystyle G_ {p, n} (\ mathbb {R})}G(ne-p,ne)(R){\ displaystyle G (np, n) (\ mathbb {R})}
Euklidovští Grassmannians
Nechť je Grassmannian p- dimenzionálních podprostorů ℝ n . V prostoru čtvercových matic velikosti n se skutečnými koeficienty uvažujme podmnožinu matic ortogonálních projektorů řady p , tj. Matic A splňujících tři podmínky:
Gp,ne(R){\ displaystyle G_ {p, n} (\ mathbb {R})}Mne(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}
-
NA2=NA{\ displaystyle A ^ {2} = A}(je to matice projektoru );
-
tNA=NA{\ displaystyle ^ {\ rm {t}} A = A}(je symetrický );
-
Tr(NA)=p{\ displaystyle {\ rm {Tr}} (A) = p}(jeho stopa je p ).
Tímto způsobem získáme reprezentaci jako afinní podmnožinu čtvercových matic velikosti n se skutečnými koeficienty.
Gp,ne(R){\ displaystyle G_ {p, n} (\ mathbb {R})}
Poznámky a odkazy
-
Jean-Pierre Dedieu, Pevné body, Nuly a Newtonova metoda , s. 68-69 .
-
Jacek Bochnak, Michel Coste a Marie-Françoise Roy , skutečná algebraická geometrie , str. 64-67 .
Podívejte se také
Související články
-
Tautologický balíček (en)
-
Klasifikace prostoru (v)
Bibliografie
- Laurent Lafforgue , Grassmannova chirurgie ( číst online )
- Lilian Aveneau, „ Souřadnice Plückera znovu navštíveny “, REFIG , sv. 3, n o 2, 2009, str. 59-68
- Andreas Höring (Univerzita Pierre-et-Marie-Curie ), pracovní listy o vkládání Plücker: Algebraická geometrie a prostory modulů, list 3 a Kählerova geometrie a Hodgeova teorie, list 1
- Michèle Audin , Geometry , EDP Sciences ,2006, 3 e ed. , 428 s. ( ISBN 978-2-7598-0180-0 , číst online ) , s. 215
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">