Koule

V geometrii v prostoru je koule povrch tvořený všemi body umístěnými ve stejné vzdálenosti od bodu zvaného střed . Hodnota této vzdálenosti od středu je poloměr koule. Sférické geometrie je věda, která studuje vlastnosti sfér. Povrch Země může být jako první aproximace modelován koulí o poloměru přibližně 6 371  km .

Obecněji v matematice, v metrickém prostoru , koule je množina bodů umístěných ve stejné vzdálenosti od středu. Jejich tvar se pak může velmi lišit od obvyklého kulatého tvaru. Koule je také zdegenerovaný elipsoid .

„Plnou“ koulí je koule , jejíž body mají vzdálenost od středu menší nebo rovnou poloměru.

Euklidovská koule (v trojrozměrném prostoru)

Slovní zásoba

Po dlouhou dobu běžný jazyk používal slovo „koule“ k pojmenování povrchu stejně jako tělesa, které vymezuje. V dnešní době koule označuje výhradně povrch a těleso nese název koule .

Je třeba definovat další pojmy:

• Dva antipodální body jsou dva diametrálně protilehlé body na kouli. To je případ pólů na pozemské sféře;
• Velký kruh je kruh vypracován na kouli a který má stejný poloměr jako koule. Velký kruh vždy prochází dvěma antipodálními body. Tyto meridiány zemského sféry jsou velké kruhy. Tyto podobnosti jsou kruhy nakreslené na oblast, ale jejich paprsky jsou obecně menší, než je koule a pak už jsou velké kruhy;
• kulový čep je postava vypracován na oblast dvěma polo-velké kruhy s tytéž účely;
• karta sférická je pevná řez ven kouli o vzepětí , jako oranžové klínu.
• sférický trojúhelník je číslo natažený na oblasti tvořené třemi body spojenými oblouky semi-velkých kruzích;
• sférický polygon je postava vypracován na kouli, tvořené několika body spojenými oblouky velkých kruhů;
• kulové pásmo je část koule, ležící mezi dvěma rovnoběžnými rovinami;
• kulového vrchlíku je sférický zóna, ve které jedna z rovin je tečná k oblasti;
• kulový úsek je pevný ohraničena dvěma rovnoběžnými rovinami, a kulové zóny, která se stanoví;
• sférický sektor je pevný ohraničena kulového vrchlíku a kruhového kužele vytvořeného původními polovinách čar do středu kruhu a spočívá na kulového vrchlíku.

Rovnice

V karteziánské geometrii je prostor poskytován ortonormálním souřadným systémem , koulí se středem a poloměrem je množina bodů, jako například: (ÓX→,Óy→,Óz→){\ displaystyle ({\ overrightarrow {Ox}}, {\ overrightarrow {Oy}}, {\ overrightarrow {Oz}})}(X0,y0,z0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}r{\ displaystyle r}(X,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}

(X-X0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2{\ displaystyle \ displaystyle (x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2} + (z-z_ {0}) ^ {2} = r ^ {2}}.

Body koule o poloměru r a středu O lze parametrizovat pomocí:

{X=rcos⁡θcos⁡ϕy=rcos⁡θhřích⁡ϕz=rhřích⁡θ(-π2≤θ≤π2 a -π≤ϕ≤π){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & r \ cos \ theta \; \ cos \ phi \\ y & = & r \ cos \ theta \; \ sin \ phi \\ z & = & r \ sin \ theta \ end {matrix}} \ right. \ qquad \ left ({\ frac {- \ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}} { \ mbox {and}} - \ pi \ leq \ phi \ leq \ pi \ right)}

Můžeme to vidět jako zeměpisnou šířku a délku. (Viz trigonometrické funkce a sférické souřadnice .) θ{\ displaystyle \ displaystyle \ theta}ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}

Vzorce

Plocha koule o poloměru je: r{\ displaystyle r}

NA=4πr2{\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2}}.

Objem míče , které obsahuje, je:

PROTI=4πr33{\ displaystyle V = {\ frac {4 \ pi r ^ {3}} {3}}}.

Jeho „kompaktnost“, tedy poměr plochy a objemu , je tedy:

VS=NAPROTI=3r{\ displaystyle C = {\ frac {A} {V}} = {\ frac {3} {r}}}.

Moment setrvačnosti části homogenní míčem o poloměru , hustoty a hmoty M , s ohledem na procházející osou přes jeho středu je: r{\ displaystyle r}ρ{\ displaystyle \ rho}

Já=2Mr25=8πρr515{\ displaystyle I = {\ frac {2Mr ^ {2}} {5}} = {\ frac {8 \ pi \ rho r ^ {5}} {15}}}.

Moment setrvačnosti homogenní koule o poloměru a hmotnosti M vzhledem k ose procházející jejím středem je: r{\ displaystyle r}

Já=2Mr23=8πρr59{\ displaystyle I = {\ frac {2Mr ^ {2}} {3}} = {\ frac {8 \ pi \ rho r ^ {5}} {9}}}.

Plošný prvek koule s poloměrem v souřadnicích zeměpisné šířky a délky ( - ) je . Dedukujeme, že oblast vřetena (část omezená dvěma půlkruhy spojujícími póly a tvořící úhel vyjádřený v radiánech ) je . r{\ displaystyle r}λ{\ displaystyle \ lambda}φ{\ displaystyle \ varphi}dσ=r2cos⁡λdλdφ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = r ^ {2} \ cos \ lambda \, \ mathrm {d} \ lambda \, d \ varphi}α{\ displaystyle \ alpha}2αr2{\ displaystyle 2 \ alpha \, r ^ {2}}

To také umožňuje vypočítat plochu sférické zóny , to znamená části koule omezené dvěma rovnoběžnými rovinami, které protínají sféru (nebo jsou k ní tečné). Zjistili jsme, kde označuje vzdálenost dvou rovin: plocha je stejná jako plocha kruhového válce stejné výšky tečné ke kouli (opsaný válec). Tento pozoruhodný výsledek demonstruje Archimedes ve svém pojednání O kouli a válci . Podle Cicera by Archimedes požádal, aby byla na jeho hrobce vyryta koule, a na památku tohoto výsledku koule a její opsaný válec. 2πrh{\ displaystyle 2 \ pi rh}h{\ displaystyle h}

Válec vymezena na danou oblast má objem rovnající se 1,5 násobku objemu koule.

Koule má nejmenší plochu mezi povrchy obsahujícími daný objem a obsahuje největší objem mezi povrchy dané oblasti. Jedná se o odpověď na otázku izoperimetrie pro euklidovský prostor dimenze 3. Z tohoto důvodu se koule objevuje v přírodě, například bubliny a kapky vody (bez gravitace ) jsou koule, protože povrchové napětí se snaží minimalizovat plocha.

Koule ohraničená čtyřstěnem

Prostřednictvím čtyř nekoplanárních bodů A, B, C a D (ABCD je neoploštěný čtyřstěn ) prochází jedinou koulí, která se nazývá její ohraničená koule .

Šest rovin zprostředkujících okraje čtyřstěnu se protíná ve středu koule.

Rozvoj

Můžeme ukázat, že koule je nerozvinutelný povrch . Neexistuje žádný šéf sféry. V praxi je však možné získat věrné plochy blížící se sféře velmi věrně, jako je tomu u všech šitých balónků . Viz: fotbalový míč ( zkrácený dvacetistěn ), volejbalový míč a efektní míč (vřetena od pólu k pólu).

Všimněte si, že vnitřní tlak deformuje povrchy a vytváří loajalitu v přístupu ... Čím více nafukujete, tím více se koule blíží dokonalosti.

Vyšší dimenze euklidovských koulí

Pojem koule můžeme zobecnit na prostor jakékoli celé dimenze . Pro každé přirozené číslo n je n- koule o poloměru r množina bodů v euklidovském prostoru s rozměry ( n +1), které jsou v pevné vzdálenosti r od bodu v tomto prostoru ( r je přísně skutečný klad). Například :

• koule 0 je dvojice koncových bodů intervalu [- r , r ] reálné čáry;
• 1 koule je kruh o poloměru r  ;
• 2-koule je obyčejná koule.

Sféry dimenze n > 2 se někdy nazývají hypersféry . N -sphere o poloměru 1 je označen S n .

Plocha sféry ( n −1) o poloměru r je

2πne/2Γ(ne/2)rne-1={(2π)ne/2rne-12⋅4⋯(ne-2),-li ne je sudý;2(2π)(ne-1)/2rne-11⋅3⋯(ne-2),-li ne je zvláštní,{\ displaystyle 2 {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2)}} r ^ {n-1} = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \, r ^ {n-1}} {2 \ cdot 4 \ cdots (n-2)}}, & {\ text {si}} n {\ text {je sudý;} } \\\\ displaystyle {\ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \, r ^ {n-1}} {1 \ cdot 3 \ cdots (n-2)}} , & {\ text {si}} n {\ text {je zvláštní}}, \ end {případy}}}

kde Γ je Eulerova gama funkce

a objem n- koule o poloměru r se rovná součinu této oblasti o , tedy k rne{\ displaystyle {r \ over n}}

{(2π)ne/2rne2⋅4⋯ne,-li ne je sudý;2(2π)(ne-1)/2rne1⋅3⋯ne,-li ne je zvláštní.{\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \, r ^ {n}} {2 \ cdot 4 \ cdots n}}, & {\ text { if}} n {\ text {je sudý;}} \\\\\ displaystyle {\ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \, r ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots n}}, & {\ text {si}} n {\ text {je zvláštní}}. \ end {případy}}}.

V závislosti na kontextu, zejména v topologii , lze slovo koule (nebo n - koule, pokud si chceme vybavit dimenzi) použít k označení jakéhokoli topologického prostoru homeomorfního s n- koulí ve smyslu definovaném v předchozí části.

Eulerova charakteristika n je -sphere hodnotě 2, pokud n je sudé, a 0, pokud n je liché.

Koule jako geometrický primitiv

V CAD nebo počítačovém grafickém softwaru (např. Blender ) je koule široce používána jako geometrický primitiv . Vlastnosti sítě, která se používá k jejímu znázornění, určuje uživatel (úprava hladkosti).

Koule jako odrůda

Je to potrubí (dimenze 2, bez okrajů).

Některé vlastnosti

• Koule je globálně neměnná (zejména) rotací, jejíž osa prochází jejím středem.
• Jeho dvě hlavní zakřivení jsou stejná a mají hodnotu .1r{\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}
• Jeho Ricci skalární je jednotná: .R=2r2{\ displaystyle R = {\ frac {2} {r ^ {2}}}}

Poznámky a odkazy

Poznámky

1. Podle Pythagorovy věty zobecněné v několika dimenzích

Reference

1. V encyklopedii Diderota a d'Alemberta je například koule „pevné těleso obsažené pod jednou plochou, & které má uprostřed bod zvaný střed, a proto jsou všechny čáry nakreslené v této oblasti stejné. „ (( S: L'Encyclopédie / 1. vydání / SPHERE ) a existuje malý mnemotechnický rým pro výpočet objemu. „ Objem koule / je vše, co dokážeme / čtyři třetiny pi R tři / ať už ze železa nebo ze dřeva “ (Roland Bouchot, L'Amour des mots , strana 142 )
2. Práce digitalizované Marcem Szwajcerem, Works of Archimedes, přeloženo doslovně s komentářem F. Peyrardem, profesorem matematiky a astronomie na Lycée Bonaparte .
3. Viz například encyklopedie Diderot , článek Syracuse , na Wikisource .
4. (in) Herbert Seifert a William Threlfall  (de) ( překlad  z němčiny), Učebnice topologie , New York, Academic Press ,1980, 437  s. ( ISBN  978-0-12-634850-7 ) , str.  53.
5. (in) „  Primitives - Blender Manual  “ na docs.blender.org (přístup 11. dubna 2020 )

Podívejte se také

Bibliografie

• (en) David Hilbert a Stephan Cohn-Vossen , Geometry and the Imagination [ detail vydání ]
• Marcel Berger , Geometry [ detail vydání ]Nathan, 1990, c.  18

Související články

• Geode
• Sférická geometrie
• Ortodromy
• Koule dlažba

externí odkazy

• A. Javary, Pojednání o popisné geometrii , Kužely a válce, koule a povrchy druhého stupně , 1881 (o Gallice )
• Matthieu Aubry, nejkratší cesta na kouli
• Xavier Hubaut, sekundární matematika - kužel a koule
• Xavier Hubaut, Cestování na kouli

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">