Rozšíření skupin

V matematice, konkrétně v teorii skupin , je rozšíření skupiny způsob, jak popsat skupinu z hlediska dvou „menších“ skupin. Přesněji řečeno, rozšíření skupiny Q o skupinu N je skupina G, která zapadá do krátké přesné sekvence

{\ Displaystyle 1 \ až N \ až G \ až Q \ až 1.}

Jinými slovy: G je rozšířením Q od N , pokud (až isomorphisms ) N je normální podskupina z G a Q je kvocient skupinou G / N

Související pojmy

Rozšíření se nazývá střední , pokud N je součástí centra města G .
Triviální rozšíření o Q o N je jeden odpovídající přímý produkt N x Q .
Část prodloužení ${\ displaystyle 1 {\ xrightarrow {}} N {\ xrightarrow {i}} G {\ xrightarrow {p}} Q {\ xrightarrow {}} 1}$ je morfismus ${\ displaystyle s: Q \ až G \ quad {\ text {například}} \ quad p \ circ s = \ mathrm {id} _ {Q}.}$ Rozšíření se pak říká, že je rozdělené . Rozšíření rozdělená z Q na N jsou ta, která odpovídají polopřímým produktům . ${\ displaystyle N \ rtimes Q}$
Morphism přípon ${\ displaystyle {\ text {de}} \ quad 1 {\ xrightarrow {}} N {\ xrightarrow {i}} G {\ xrightarrow {p}} Q {\ xrightarrow {}} 1 \ quad {\ text {v }} \ quad 1 {\ xrightarrow {}} N {\ xrightarrow {i '}} G' {\ xrightarrow {p '}} Q {\ xrightarrow {}} 1}$ je morfismus ${\ displaystyle \ varphi: G \ až G '}$ jako je přidružený diagram ${\ displaystyle {\ begin {matrix} &&& G &&& \ \ && {\ overset {i} {\ nearrow}} && {\ overset {p} {\ searrow}} && \\ N&&& \ downarrow ^ {\ varphi} &&& Q \\ && {\ underset {i '} {\ searrow}} && {\ underset {p'} {\ nearrow}} && \\ &&& G '&&& \ end {matrix}}}$ dojíždí , tj. takové, že ${\ displaystyle \ varphi \ circ i = i '\ quad {\ text {a}} \ quad p' \ circ \ varphi = p.}$ Takový morfismus je vždy izomorfismus. $\ varphi$

Odkaz

N. Bourbaki , Prvky matematiky , Algebra , kap. I, § 6

Související články