V algebraické teorie čísel je základní věta aritmetiky , platné v relativních čísel, již nemusí být pravda, pokud vezmeme v úvahu algebraických celých čísel namísto. Dedekindova prstencová teorie však ukazuje, že tuto větu lze nahradit slabším výsledkem: existencí a jedinečností faktorizace hlavních ideálů .
( Konečný ) rozšíření polí čísel ( algebraická nebo p -adic , tedy nulové charakteristiky ) L / K dána, otázka rozkladu primárních ideálů (nebo rozvětvení primárních ideálů ) v prodloužení je: co je faktorizace v o L (dále kruh o algebraických celých čísel z L ), z hlavního ideálu o k ?
Po studiu rozvětvení v každém hlavním ideálu uvažovaném izolovaně je často zajímavé považovat vlastnosti rozvětvení za vlastnosti na uvažovaném rozšíření: to vede k představám o rozvětveném a nerozvětveném rozšíření nebo o rozloženém rozšíření .
Konkrétně, buď I nenulový primární ideální ( tj d. Maximální ideální ) z O K . Pak existují prvotřídní ideály J i z O L, jako například:
Ideály J i vyjádřena tzv primární ideál O The výše I . Používá se následující terminologie:
Faktorizace napsaná výše se řídí následujícím zákonem:
kde n = [ L : K ] označuje stupeň uvažovaného prodloužení a f i = [ l i : k ], nazývaný stupeň setrvačnosti nebo zbytkový stupeň je stupeň prodloužení zbytkových těles k = O K / IO K a L i = O L / J i O L .
DemonstraceZákon uvedený výše ukazuje čínská věta o zbytku :
Ve skutečnosti, je stupeň rozšíření kontrol [ L : K ] = matný k O L / IO L , a za druhé, že má e i f i = matný K O L / J i O L . Zde uvažované dimenze jsou rozměry vektorových prostorů nad k , což je konečné pole (například v případě, že K je pole racionálních čísel, najdeme pro k konečné pole ve tvaru Z / p Z ).
Ideál jsem pak řekl:
Slovníček pojmů Poznámka: Nepleťte termín rozklad v prodloužení (což je předchozí vzorec ) s tím, že jsme také říci, že v případě, že zbytkový stupeň z (předpokládá nerozvětvený) se rovná 1 říkáme, že se rozkládá v . Viz výklad Galois níže, případ non-Galois je velmi choulostivý.
O rozšíření se říká, že je nerozvětveným rozšířením, pokud se nerozvětví žádný ideální ideál. Říká se, že je to úplně rozložené rozšíření, pokud je v něm úplně rozložen každý hlavní ideál. Často bude zajímavé uvažovat o nerozvětvených rozšířeních kromě zadaného počtu ideálů: například často zneužitím jazyka řekneme, že rozšíření L / K je nerozvětvené mimo p, pokud jsou primární ideály K , nad hlavním ideálem kruhu celých čísel generovaných p (To znamená, že výše p ) jsou jediní, které mají být případně rozvětvené do L / k . Podobně platí, že rozšíření je p -décomposée pokud všechny ideály K výše p jsou zcela rozloženy do L / K .
Pole Hilbertovy třídy číselného pole je například maximální nerozvětvená abelianská přípona tohoto pole. Teorie tříd polí umožňuje studovat takové rozšíření do hloubky.
Abychom mohli efektivně vypočítat rozklad (stupně setrvačnosti, větvicí indexy a ideály výše), musíme se znovu vrátit ke zbytkovým tělesům. Přesněji řečeno, pro primární ideál, o kterém se dále předpokládá, že je primární pro vodič (en) prstence O K [t] , kde t je generátor rozšíření L / K (tj. L = K (t) ), dostaneme:
Dovolit je konečné rozšíření číselných polí, minimální polynom t v a prvočíslo ideálu K , které je prvočíslem pro vodič . Ano :
je faktorizace v neredukovatelných polynomech obrazu polynomu P v kruhu polynomů (s koeficienty ve zbytkovém poli, konečný) , pak máme:
kde pro vyjádření polynomu v .
Existují algoritmy pro factoring polynomů v konečných polích, takže je možný výpočet nejlepších ideálních rozkladů. Se zvyšujícím se stupněm rozšíření se však výpočty rychle stávají nepraktickými.
Článek „ Rozklad hlavních ideálů v rozšíření Galois “ se zabývá případem rozšíření Galois. Dodatečná struktura poskytne vlastnosti symetrie mezi různými indexy větvení.