V algebraické teorie čísel se Hilbertova pole H (K) z číselné těleso K je maximální nerozvětvený abelian rozšíření tohoto číselného pole. Za tento název vděčí německý matematik David Hilbert . Jeho studium je zároveň důležitou etapou a archetypem pro teorii oborů tříd : prostřednictvím izomorfismu vzájemnosti ( symbol Artina ) korespondence těla tříd, skupiny Galois Gal (H (H (k) / k) je izomorfní ke skupině tříd z tělesa k . Tělo Hilbertova H (K) je zejména konečné prodloužení o K .
Rozdělení míst do nekonečna lze připustit: pak budeme hovořit o „Hilbertově těle v omezeném smyslu“. Pro každé prvočíslo p můžeme také uvažovat maximální sub- p -roztažení H (K) , které budeme nazývat p -Hilbertovo tělo, označené H p (K) , jehož Galoisova skupina bude izomorfní s p - podskupina Sylow třídy.
Důležitou vlastností rozšíření H (K) / K je to, že jakýkoli primární ideál těla K se stává principálem jako ideál těla H (K) . Mluvíme o kapitulaci.
Takto nabízená možnost realizace skupiny tříd pole jako Galoisovy skupiny rozšíření, jejíž aritmetické vlastnosti jsou funkčně stabilní, má důležité důsledky pro studium těchto skupin tříd. Teorie Iwasawa , což dává asymptotické vzorce pro hlavní p -sous-skupinu Sylow třídy skupiny je efektní příklad.
Klasická otázka p -Corps Hilberta je problém otáček (v) Hilbert. Vezmeme-li v úvahu postupně rozšíření H i + 1 p (K) = H p (H i p (K)) , získáme vždy na hranici konečné rozšíření? Ruský matematik Igor Chafarevič a jeho student Evgeny Golod odpověděli na tuto otázku záporně v roce 1964, a to díky teorému o skupinové teorii, které se nyní říká Golod-Chafarevichova věta .