Flux (matematika)
V vektorové analýzy , nazýváme tok z několika vektorového pole dvěma analogickými skalární množství , v závislosti na tom, zda se vypočte přes plochu nebo křivku .
Proudí povrchem
Říkáme tok (nebo plošný integrál ) vektorového pole o prostřednictvím orientovaného povrchu skalární množství
F{\ displaystyle \ mathbf {F}}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} Σ{\ displaystyle \ Sigma}
Φ≡∫ΣF⋅dS{\ displaystyle \ Phi \ equiv \ int _ {\ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}
kde představuje základní normálový vektor a na skalární součin . Pokud je povrch dán parametrizací (kde a mění se v otevřeném ), je tento vektor poskytnut
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {S}}⋅{\ displaystyle \ cdot}σ(u,proti){\ displaystyle \ sigma (u, v)}u{\ displaystyle u}proti{\ displaystyle v}Ω{\ displaystyle \ Omega}
dS=[∂σ∂u×∂σ∂proti]dudproti{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ vlevo [{\ frac {\ částečné \ sigma} {\ částečné u}} \ časy {\ frac {\ částečné \ sigma} {\ částečné v}} \ vpravo] \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v}
a tok je pak
Φ=∬ΩF(σ(u,proti))⋅[∂σ∂u×∂σ∂proti]dudproti=∬Ωdet(F,∂σ∂u,∂σ∂proti)dudproti{\ displaystyle \ Phi = \ iint _ {\ Omega} \ mathbf {F} {\ bigl (} \ sigma (u, v) {\ bigr)} \ cdot \ left [{\ frac {\ částečné \ sigma} { \ částečné u}} \ krát {\ frac {\ částečné \ sigma} {\ částečné v}} \ pravé] \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v = \ iint _ {\ Omega} \ det \ vlevo (\ mathbf {F}, {\ tfrac {\ částečné \ sigma} {\ částečné u}}, {\ tfrac {\ částečné \ sigma} {\ částečné v}} \ pravé) \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v}
Pokud je uzavřený povrch (nazývaný také volná deska ) obklopující objem, pak lze tok určit jiným způsobem, a to vyvoláním věty o divergenci toku :
Σ{\ displaystyle \ Sigma}PROTI{\ displaystyle V}
Φ=∮ΣF⋅dS=∭PROTIdivFd3PROTI{\ displaystyle \ Phi = \ anint _ {\ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} = \ iiint _ {\ mathcal {V}} \ operatorname {div} \, \ mathbf {F} \; {\ rm {d}} ^ {3} V}
Průtok křivkou
Stejným způsobem, definujeme tok pole o prostřednictvím křivky kvantita
F=(P,Q){\ displaystyle \ mathbf {F} = (P, Q)}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}Γ{\ displaystyle \ Gamma}
Ψ=∫ΓF⋅dne=∬Γ(Pdy-QdX){\ displaystyle \ Psi = \ int _ {\ Gamma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {n} = \ iint _ {\ Gamma} (P \, \ mathrm {d} yQ \, \ mathrm {d} x)}
kde představuje základní normální vektor. To se rovná definování toku jako cirkulace (nebo křivočarého integrálu ) ortogonálního pole :
dne=(dy,-dX){\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {n} = (\ mathrm {d} y, - \ mathrm {d} x)}F{\ displaystyle \ mathbf {F}}G=(-Q,P){\ displaystyle \ mathbf {G} = (- Q, P)}
Ψ=∫ΓG⋅dr{\ displaystyle \ Psi = \ int _ {\ Gamma} \ mathbf {G} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r}}
s . Tok pole křivkou, na rozdíl od jeho oběhu, závisí pouze na jeho složce kolmé ke křivce.
dr=(dX,dy){\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y)}
Podívejte se také
Poznámky
-
je pak hrana of a označíme .Σ{\ displaystyle \ Sigma}PROTI{\ displaystyle V}∂PROTI=Σ{\ displaystyle \ částečné V = \ Sigma}