Vektorová analýza
Vektorové analýzy je odvětví matematiky , že studie se pole z skaláry a vektorů dostatečně pravidelné v euklidovských prostorů , to znamená, že aplikace differentiable otevřené v euklidovském prostoru E na hodnoty v tomto pořadí a E . Z pohledu matematika je tedy vektorová analýza větví diferenciální geometrie . Ten zahrnuje tenzorovou analýzu, která poskytuje výkonnější nástroje a výstižnější analýzu, mimo jiné vektorových polí.
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Význam vektorové analýzy však pramení z jejího intenzivního používání ve fyzice a technických vědách . Z tohoto hlediska to představíme, a proto se omezíme nejčastěji na případ, kdy existuje obvyklý trojrozměrný prostor. V této souvislosti spojuje vektorové pole vektor (se třemi reálnými složkami) s každým bodem v prostoru, zatímco skalární pole s ním spojuje skutečné. Představte si například vodu v jezeře. Data jeho teploty v každém bodě tvoří pole skalárů, pole jeho rychlosti v každém bodě pole vektorů (teoretičtější přístup viz diferenciální geometrie ).
E=R3{\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {3}}
Vektorový počet a vektorová analýza byly vyvinuty na konci XIX . Století J. Willardem Gibbsem a Oliverem Heavisidem vycházejícím z teorie čtveřic (díky Hamiltonovi ); většinu notací a terminologie stanovili Gibbs a Edwin Bidwell Wilson ve své knize z roku 1901 Vector Analysis ( Vector Analysis ).
Hlavní lineární diferenciální operátory
Gradientu se divergence a lokny jsou tři diferenciální operátory lineární prvního řádu. To znamená, že zahrnují pouze částečné (nebo diferenciální ) první deriváty polí, na rozdíl například od Laplacian, který zahrnuje částečné derivace druhého řádu.
Vyskytují se zejména v:
Formální operátor nabla
Operátor nabla odvozuje svůj název od starověké lyry, která měla stejný trojúhelníkový tvar směřující dolů. Je to formální operátor definovaný v kartézských souřadnicích pomocí
∇{\ displaystyle \ nabla}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}
∇=(∂∂X∂∂y∂∂z){\ displaystyle \ nabla = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \\ [7pt] {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} \\ [7pt] {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} \ konec {pmatrix}}}.
Píšeme také, abychom zdůraznili, že formálně má operátor nabla vlastnosti vektoru. Určitě neobsahuje skalární hodnoty, ale jeho základní prvky (které můžeme vidět jako operace čekající na argumenty - diferenciální operátory ) použijeme velmi přesně tak, jak bychom použili skalární hodnoty skládající vektor.
∇→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}
Nabla notace poskytuje pohodlný způsob vyjádření vektorových operátorů v kartézských souřadnicích ; v jiných souřadnicových systémech jej lze stále používat za cenu dalších preventivních opatření; pro více podrobností a více teoretických interpretací (zejména vztah s kovarianční derivací ) viz podrobné články nabla a spojení Koszula .
Operátor diferenciálního gradientu
Gradientu je lineární operátor, který se vztahuje na oblasti scalars a popisuje pole vektorů , která představuje změnu hodnoty skalárního pole v prostoru. Prakticky gradient označuje směr největší variace skalárního pole a intenzitu této variace. Například výškový gradient je směrován podél linie největšího svahu a jeho norma se zvyšuje se sklonem.
V matematice je gradient pole f , u kterého se předpokládá, že je spojitě diferencovatelný , v bodě a , definován vztahem
dF(na)⋅h=(Grnad→naF)⋅h{\ displaystyle \ mathrm {d} f (a) \ cdot h = \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} _ {a} f \ right) \ cdot h},
kde označuje hodnotu na vektoru diferenciálu funkce v bodě .
dF(na).h{\ displaystyle \ mathrm {d} f (a) .h}h{\ displaystyle h}F{\ displaystyle f}na{\ displaystyle a}
Je tedy zcela jednoduše definice z tečny lineární mapu skalárního pole f ( M ) = f ( x , y , z ) v M = . Navíc pro povrch rovnice f ( x , y , z ) = 0 je vektor kolmý k povrchu v bodě dán vztahem , který lze snadno odvodit z výše uvedeného.
na=(Xna,yna,zna){\ displaystyle a = (x_ {a}, y_ {a}, z_ {a})}Grnad→naF{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} _ {a} f}
Z toho okamžitě vyplývá, že derivace funkce vzhledem k vektoru v je dána vztahem
na{\ displaystyle a}
Grnad→naF⋅proti.{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} _ {a} f \ cdot v.}
V dimenzi 3 a kartézských souřadnicích vyhovuje gradientní pole (v ortonormálním základě)
Grnad→F=∇→F=(∂F∂X∂F∂y∂F∂z).{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f = {\ vec {\ nabla}} f = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ parciální f} {\ parciální x}} \\ {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} \\ {\ frac {\ částečné f} {\ částečné z}} \ konec {pmatrix}}.}
Tento vztah lze v konkrétním případě použít k definici přechodu. Přirozeně se zobecňuje v jakékoli dimenzi přidáním komponent do nabla.
Tečné lineární mapování vektorového pole F→(M){\ displaystyle {\ vec {F}} (M)}
Nechť M ' je bod přeložený z M vektorovým překladem ; tak :
h→{\ displaystyle {\ vec {h}}}
F(→M′)-F→(M)=(∂F→^)M⋅h→+Ó(‖h→‖){\ displaystyle {\ vec {F (}} M ') - {\ vec {F}} (M) = ({\ widehat {\ částečné {\ vec {F}}}}) _ {M} \ cdot { \ vec {h}} + o (\ | {\ vec {h}} \ |)}definuje lineární operátor označený kloboukem, který znamená, že jeho reprezentace v základně je čtvercová matice [3-3], tečná lineární mapa vektorového pole F ( M ) .
Determinant tohoto operátoru je Jacobian transformace na M kombinuje F ( M ) .
Jeho stopa bude definovat divergenci vektorového pole F ( M ) .
To umožní dát rotaci vektorového pole F ( M ) vlastní definici.
Můžeme to ověřit symbolicky:
(∂F→^)M⋅h→=(h→⋅∇→)F→{\ displaystyle ({\ widehat {\ částečné {\ vec {F}}}}) _ {M} \ cdot {\ vec {h}} = ({\ vec {h}} \ cdot {\ vec {\ nabla }}) {\ vec {F}}}
Operátor odchylky
Divergence se vztahuje na pole tenzorů řádu n a transformuje jej na pole tenzorů řádu n -1 . V praxi divergence vektorového pole vyjadřuje jeho tendenci lokálně se plazit z malého objemu obklopujícího bod M, kde se divergence počítá.
V dimenzi 3 a v kartézských souřadnicích, pokud je tenzorem řádu 1, pak je to vektor a divergenci můžeme definovat vztahem
F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}
diprotiF→=∇→⋅F→=∂FX∂X+∂Fy∂y+∂Fz∂z{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {F}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {F}} = {\ frac {\ částečné F_ {x}} {\ částečné x} } + {\ frac {\ částečné F_ {y}} {\ částečné y}} + {\ frac {\ částečné F_ {z}} {\ částečné z}}}
kde označuje vektorové pole, na které se použije operátor divergence. Divergenci lze formálně vidět jako skalární součin operátoru nabla „obecným“ vektorem pole, na které je aplikována, což notaci zdůvodňuje . Tato definice je samozřejmě přirozeně zobecněna v jakékoli dimenzi.
F→=(FX,Fy,Fz){\ displaystyle {\ vec {F}} = (F_ {x}, F_ {y}, F_ {z})}∇→⋅{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot}
Nezávislá definice volby základny je:
diprotiF→=Tr(∂F→^){\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {F}} = {\ mbox {Tr}} ({\ widehat {\ částečné {\ vec {F}}}})}
Další možná definice, obecnější, ale obtížněji formovatelná, spočívá v definování divergence vektorového pole v bodě jako lokálního toku pole kolem tohoto bodu.
Rotační operátor
Rotace transformuje vektorové pole na jiné vektorové pole . Obtížněji reprezentovatelný stejně přesně jako gradient a divergence vyjadřuje tendenci pole točit se kolem bodu: jeho lokální oběh na malé krajce obklopující bod M je nenulový. Například :
- v tornádu se vítr otáčí kolem oka cyklónu a vektorové pole rychlosti větru má kolem oka nenulovou rotaci. Rotace tohoto rychlostního pole (jinými slovy pole vířivosti nebo dokonce vírové pole) je o to intenzivnější, čím blíže jsme k oku.
- rotace rychlostního pole tělesa, které se otáčí konstantní rychlostí, je konstantní, směrované podél osy otáčení a orientované tak, že rotace probíhá vzhledem k němu v přímém směru a je jednoduše stejnáPROTI→(M)=Ω→0∧ÓM→{\ displaystyle {\ vec {V}} (M) = {\ vec {\ Omega}} _ {0} \ klín {\ vec {OM}}}Ω→0{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} _ {0}}2Ω→0{\ displaystyle 2 {\ vec {\ Omega}} _ {0}}
V trojrozměrném prostoru a v kartézských souřadnicích můžeme definovat rotaci vztahem
rÓt→ F→=∇→∧F→=(∂Fz/∂y-∂Fy/∂z∂FX/∂z-∂Fz/∂X∂Fy/∂X-∂FX/∂y){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {F}} = {\ vec {\ nabla}} \ klín {\ vec {F}} = {\ začátek {pmatrix} {\ částečné F_ {z} / \ částečné y} - {\ částečné F_ {y} / \ částečné z} \\ {\ částečné F_ {x} / \ částečné z} - {\ částečné F_ {z} / \ částečné x} \ \ {\ částečné F_ {y} / \ částečné x} - {\ částečné F_ {x} / \ částečné y} \ konec {pmatrix}}}
kde označuje vektorové pole, na které je aplikován rotační operátor. Formální analogie s křížovým produktem ospravedlňuje notaci .
F→=(FX,Fy,Fz){\ displaystyle {\ vec {F}} = (F_ {x}, F_ {y}, F_ {z})}∇→∧{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ klín}
To lze také napsat pomocí zneužití notace (jedná se také o mnemotechnický trik) pomocí determinantu:
rÓt→ F→=|i→j→k→∂∂X∂∂y∂∂zFXFyFz|{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {F}} = {\ begin {vmatrix} {\ vec {i}} & {\ vec {j}} & {\ vec {k }} \\ {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} & {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} & {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} \\ F_ {x } & F_ {y} & F_ {z} \ end {vmatrix}}}
kde označuje kanonický základ. Tento poslední výraz je o něco složitější než ten předchozí, ale je snadno zobecnitelný na jiné souřadnicové systémy.
(i→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}
-
Vnitřní definice (mimo jiné) rotace je následující :
Z pole můžeme sestavit pole (kde je jednotný vektor), jehož divergence je lineární forma a proto vyjádřitelná tečkovým součinem , kde je opakem rotace :
F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}X0→∧F→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}} \ klín {\ vec {F}}}X0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}X0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}K.→⋅X0→{\ displaystyle {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {X_ {0}}}}K.→{\ displaystyle {\ vec {K}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}
diproti(X0→∧F→)=-rÓt→F→⋅X0→{\ displaystyle \ mathrm {div} ({\ vec {X_ {0}}} \ klín {\ vec {F}}) = - {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {X_ {0}}}}
Další možná definice, obecnější, ale obtížněji formovatelná, spočívá v definování rotace pole vektorů v bodě, jako je lokální cirkulace pole kolem tohoto bodu (viz rotace ve fyzice ).
Operátoři vyššího řádu
Laplaciánský operátor
Nejčastěji používaným operátorem řádu 2 je Laplacian , pojmenovaný po matematikovi Pierru-Simonovi de Laplaceovi . Laplacian pole se rovná součtu druhých derivací tohoto pole s ohledem na každou z proměnných.
V dimenzi 3 a v kartézských souřadnicích je napsáno:
Δ=∇2=∂2∂X2+∂2∂y2+∂2∂z2{\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné z ^ {2}}}}.
Tato definice má význam pro pole skalárů i pro pole vektorů. Mluvíme o skalárním laplacianu a vektorovém laplacianu . Skalární Laplacian pole skalárů je pole skalárů, zatímco vektor Laplacian pole vektorů je pole vektorů. Abychom to odlišili, je to někdy poznamenáno (aby novici nezapomněli, že je to operátor ); od notace je třeba spíše odradit.
Δ→{\ displaystyle \ operatorname {\ vec {\ Delta}}}Grnad→ diproti-rÓt→ rÓt→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \ \ mathrm {div} - {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}}}Δ→{\ displaystyle {\ vec {\ Delta}}}
Druhá lalaciánská notace, která se objevuje výše, nás vyzývá, abychom ji formálně považovali za skalární čtverec operátoru nabla „ “.
∇2{\ displaystyle \ nabla ^ {2}}∇{\ displaystyle \ nabla}
Laplacian se objevuje při psaní několika parciálních diferenciálních rovnic, které hrají ve fyzice zásadní roli.
- Nejjednodušší je Laplaceova rovnice . Jeho (třídním ) řešením jsou harmonické funkce , jejichž studium se nazývá teorie potenciálu . Tento název pochází z elektrického potenciálu , jehož chování (stejně jako chování ostatních potenciálů ve fyzice) se za určitých podmínek řídí touto rovnicí.ΔF=0{\ displaystyle \ Delta f = 0}VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}
- Laplacian se také používá k psaní:
- Poissonova rovnice :
∇2φ=F{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ varphi = f} ;
- nebo rovnice vibrujících strun :∇2φ(X,y,z,t)=1vs.2⋅∂2φ(X,y,z,t)∂t2{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ varphi (x, y, z, t) = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ cdot {\ frac {\ částečné ^ {2} \ varphi (x, y, z, t)} {\ částečné t ^ {2}}}}
Vektor lalaciánský operátor
Laplacian vektorového pole je vektor definovaný skalární Laplacian každé ze složek vektorového pole, takže v kartézských souřadnicích , je definován:
NA→{\ displaystyle {\ vec {A}}}
Δ→NA→=∇→2NA→=(∇→.∇→)NA→=(∂2∂X2+∂2∂y2+∂2∂z2).[NAXNAyNAz]=[∂2NAX∂X2+∂2NAX∂y2+∂2NAX∂z2∂2NAy∂X2+∂2NAy∂y2+∂2NAy∂z2∂2NAz∂X2+∂2NAz∂y2+∂2NAz∂z2]=[ΔNAXΔNAyΔNAz]{\ displaystyle \ operatorname {\ vec {\ Delta}} {\ vec {A}} = \ operatorname {{\ vec {\ nabla}}} ^ {2}} {\ vec {A}} = (\ operatorname { \ vec {\ nabla}}. \ operatorname {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} = \ doleva ({\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné x ^ {2}} } + {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné z ^ {2}}} \ vpravo). { \ begin {bmatrix} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ částečné ^ {2} A_ {x}} { \ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} A_ {x}} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} A_ {x} } {\ částečné z ^ {2}}} \\ {\ frac {\ částečné ^ {2} A_ {y}} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} A_ {y}} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} A_ {y}} {\ částečné z ^ {2}}} \\ {\ frac {\ částečné ^ { 2} A_ {z}} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} A_ {z}} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} A_ {z}} {\ částečné z ^ {2}}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ Delta A_ {x} \\\ Delta A_ {y} \\\ Delta A_ {z} \ end {bmatrix}}}
Vektorový Laplacian je přítomen:
Některé diferenciální vzorce
Pozor: Následující vzorce platí za předpokladu, že jsou kontrolovány určité předpoklady (skalární funkce v prvním vzorci by měly být , pokud je například Podobně, je-li. Označuje dotčený ve druhém vzorci, kontrola vektorovou funkci , .)VS2(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2} (\ Omega)}Ω⊂R{\ displaystyle \ Omega \ podmnožina \ mathbb {R}}F→{\ displaystyle {\ vec {f}}}F→∈VS2(Ω){\ displaystyle {\ vec {f}} \ in {\ mathcal {C}} ^ {2} (\ Omega)}Ω⊂Rne{\ displaystyle \ Omega \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {n}}
- rÓt→(Grnad→)=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) = {\ vec {0}}}
- diproti(rÓt→)=0{\ displaystyle \ mathrm {div} ({\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}}) = 0}
-
rÓt→(rÓt→)=Grnad→(diproti)-Δ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (\ mathrm {div}) - {\ vec {\ Delta}}}(aplikováno na vektor) ( rotace z rotace )
-
Δ=diproti(Grnad→){\ displaystyle \ Delta = \ mathrm {div} ({\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}})} (aplikováno na skalár)
Tzv. Leibnizovy vzorce pro výrobky
-
Grnad→(X0→⋅B→)=(X0→⋅Grnad→)B→+X0→∧rÓt→(B→){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ({\ vec {X_ {0}}} \ cdot {\ vec {B}}) = ({\ vec {X_ {0}}} \ cdot { \ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) {\ vec {B}} + {\ vec {X_ {0}}} \ klín {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {B}} )}(kde je jednotný vektor) a samozřejmě:X0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}
- Grnad→(NA→⋅B→)=(NA→⋅Grnad→)B→+NA→∧rÓt→B→+(B→⋅Grnad→)NA→+B→∧rÓt→NA→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ({\ vec {A}} \ cdot {\ vec {B}}) = ({\ vec {A}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm { grad}}}) {\ vec {B}} + {\ vec {A}} \ klín {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {B}} + ({\ vec {B}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) {\ vec {A}} + {\ vec {B}} \ klín {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}}}
-
Grnad→(F→⋅F→)=2(F→⋅Grnad→)F→+2F→∧(rÓt→(F→)){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ({\ vec {F}} \ cdot {\ vec {F}}) = 2 ({\ vec {F}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) {\ vec {F}} + 2 {\ vec {F}} \ klín ({\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {F}}))}}(volal Bernoulli , v mechanice tekutin)
-
diproti(X0→∧B→)=-X0→⋅rÓt→(B→){\ displaystyle \ mathrm {div} ({\ vec {X_ {0}}} \ klín {\ vec {B}}) = - {\ vec {X_ {0}}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm { rot}}} ({\ vec {B}})}(kde je jednotný vektor, vnitřní definice rotace )X0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}
- diproti(NA→∧B→)=-NA→⋅rÓt→B→+B→⋅rÓt→NA→{\ displaystyle \ mathrm {div} ({\ vec {A}} \ klín {\ vec {B}}) = - {\ vec {A}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {B}} + {\ vec {B}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}}}
-
rÓt→(X0→∧B→)=X0→⋅diprotiB→-(X0→⋅Grnad→)B→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {X_ {0}}} \ klín {\ vec {B}}) = {\ vec {X_ {0}}} \ cdot \ mathrm {div} {\ vec {B}} - ({\ vec {X_ {0}}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) {\ vec {B}}} (kde je jednotný vektor, podle definice tečné lineární mapy)X0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}
- rÓt→(NA→∧B→)=NA→ diprotiB→-(NA→⋅Grnad→)B→-B→ diprotiNA→+(B→⋅Grnad→)NA→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {A}} \ klín {\ vec {B}}) = {\ vec {A}} \ \ mathrm {div} {\ vec { B}} - ({\ vec {A}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) {\ vec {B}} - {\ vec {B}} \ \ mathrm {div} {\ vec {A}} + ({\ vec {B}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) {\ vec {A}}}
-
Grnad→(FG)=F⋅Grnad→(G)+G⋅Grnad→(F){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (fg) = f \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (g) + g \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (F)} (symetrické vfag)
- diproti(ρ⋅PROTI→)=ρ⋅diprotiPROTI→+Grnad→(ρ)⋅PROTI→{\ displaystyle \ mathrm {div} (\ rho \ cdot {\ vec {V}}) = \ rho \ cdot \ mathrm {div} {\ vec {V}} + {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (\ rho) \ cdot {\ vec {V}}}
- rÓt→(ρ⋅PROTI→)=ρ⋅rÓt→PROTI→+Grnad→(ρ)∧PROTI→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} (\ rho \ cdot {\ vec {V}}) = \ rho \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {V}} + {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (\ rho) \ wedge {\ vec {V}}}
- Δ(F⋅G)=F⋅ΔG+2Grnad→(F)⋅Grnad→(G)+G⋅ΔF{\ displaystyle \ Delta (f \ cdot g) = f \ cdot \ Delta g + 2 {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (f) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (g) + g \ cdot \ Delta f}
- diproti(F⋅Grnad→(G)-G⋅Grnad→(F))=FΔG-GΔF{\ displaystyle \ mathrm {div} (f \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (g) -g \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (f)) = f \ Delta gg \ Delta f}
Některé užitečné vzorce
- Nechť f ( M ) a g ( M ) jsou dvě skalární pole, existuje vektorové pole tak, že:NA→(M){\ displaystyle {\ vec {A}} (M)}rÓt→NA→=Grnad→F∧Grnad→G{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f \ klín {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, g }
- Centrální pole hraje ve fyzice velmi důležitou roli. Je proto vhodné zapamatovat si těchto několik zjevných skutečností:
ÓM→=r→{\ displaystyle {\ vec {OM}} = {\ vec {r}}}
- jeho tangenciální lineární aplikací je matice identity (srov. definice!),
- tak a (kde je jednotný vektor) adiprotir→=3{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {r}} = 3}rÓt→(X0→∧r→)=2X0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {X_ {0}}} \ klín {\ vec {r}}) = 2 {\ vec {X_ {0}}}}X0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}rÓt→(r→)=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {r}}) = {\ vec {0}}}
- Na druhé straně (kde je jednotný vektor).X0→=Grnad→(X0→⋅r→){\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ({\ vec {X_ {0}}} \ cdot {\ vec {r}})}X0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}
- A také: se zejména (zjevné, protože )Grnad→F(r)=F′(r)u→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f (r) = f '(r) {\ vec {u}}}u→=r→r{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ frac {\ vec {r}} {r}}}Grnad→(r2)=2r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (r ^ {2}) = 2 {\ vec {r}}}d(r→⋅r→)=d(r2){\ displaystyle d ({\ vec {r}} \ cdot {\ vec {r}}) = d (r ^ {2})}
-
ΔF(r)=F„(r)+2r⋅F′(r){\ displaystyle \ Delta f (r) = f '' (r) + {\ frac {2} {r}} \ cdot f '(r)} , kromě v r=0{\ displaystyle r = 0}
- Newtonian pole , to znamená , je velmi často studován, protože to je jediný centrální pole s nulovou divergenci (zřejmé, pokud si myslí, že co se týče toku), s výjimkou pro r = 0 , kde se vyplatí ; tento výsledek je Gaussova věta pro plný úhel ). Z toho vyplývá . Protor→r3{\ displaystyle {\ frac {\ vec {r}} {r ^ {3}}}}4π⋅δ(r){\ displaystyle 4 \ pi \ cdot \ delta (r)}Δ(1/r)=-4π⋅δ(r){\ displaystyle \ Delta (1 / r) = - 4 \ pi \ cdot \ delta (r)}Δ(X0→/r)=-4π⋅X0→⋅δ(r){\ displaystyle \ Delta ({\ vec {X_ {0}}} / r) = - 4 \ pi \ cdot {\ vec {X_ {0}}} \ cdot \ delta (r)}(kde je jednotný vektor), který se dělí na:X0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}
Grnad→(diproti)(X0→/r)=-4π⋅X0→⋅δ(r)⋅(1/3){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (\ mathrm {div}) ({\ vec {X_ {0}}} / r) = - 4 \ pi \ cdot {\ vec {X_ {0} }} \ cdot \ delta (r) \ cdot (1/3)}
(kde je jednotný vektor) a
X0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}
rÓt→(rÓt→)(X0→/r)=+4π⋅X0→⋅δ(r)⋅(2/3){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}}) ({\ vec {X_ {0}}} / r) = + 4 \ pi \ cdot {\ vec {X_ {0}}} \ cdot \ delta (r) \ cdot (2/3)}
(kde je jednotný vektor), který je méně zřejmý (srov. magnetický moment ).
X0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}
Výrazy operátorů v různých souřadnicích
Válcové souřadnice
Grnad→F=∂F∂rur→+1r∂F∂θuθ→+∂F∂zuz→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f = {\ frac {\ částečné f} {\ částečné r}} {\ vec {u_ {r}}} + {\ frac {1} {r} } {\ frac {\ částečné f} {\ částečné \ theta}} {\ vec {u _ {\ theta}}} + {\ frac {\ částečné f} {\ částečné z}} {\ vec {u_ {z }}}}
diprotiNA→=1r∂∂r(rNAr)+1r∂NAθ∂θ+∂NAz∂z{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {A}} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} \ doleva (rA_ {r} \ doprava) + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ částečné A _ {\ theta}} {\ částečné \ theta}} + {\ frac {\ částečné A_ {z}} {\ částečné z}}}
rÓt→(NA→)=(1r∂NAz∂θ-∂NAθ∂z)ur→+(∂NAr∂z-∂NAz∂r)uθ→+1r(∂∂r(rNAθ)-∂NAr∂θ)uz→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {A}}) = \ left ({\ frac {1} {r}} {\ frac {\ částečný A_ {z}} {\ částečné \ theta}} - {\ frac {\ částečné A _ {\ theta}} {\ částečné z}} \ pravé) {\ vec {u_ {r}}} + \ levé ({\ frac {\ částečné A_ { r}} {\ částečné z}} - {\ frac {\ částečné A_ {z}} {\ částečné r}} \ pravé) {\ vec {u _ {\ theta}}} + {\ frac {1} { r}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} (rA _ {\ theta}) - {\ frac {\ částečné A_ {r}} {\ částečné \ theta}} \ pravé) { \ vec {u_ {z}}}}
ΔF=1r∂∂r(r∂F∂r)+1r2∂2F∂θ2+∂2F∂z2{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} \ vlevo (r {\ frac {\ částečné f} {\ částečné r}} \ vpravo ) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} f} {\ částečné \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} f} {\ částečné z ^ {2}}}}
Sférické souřadnice
Grnad→F=∂F∂rur→+1r∂F∂θuθ→+1rhříchθ∂F∂φuφ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f = {\ frac {\ částečné f} {\ částečné r}} {\ vec {u_ {r}}} + {\ frac {1} {r} } {\ frac {\ parciální f} {\ parciální \ theta}} {\ vec {u _ {\ theta}}} + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ parciální f } {\ částečné \ varphi}} {\ vec {u _ {\ varphi}}}}
diprotiNA→=1r2∂∂r(r2NAr)+1rhříchθ∂∂θ(hříchθNAθ)+1rhříchθ∂NAφ∂φ{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {A}} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} (r ^ {2} A_ {r}) + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečný} {\ částečný \ theta}} (\ sin \ theta A _ {\ theta}) + {\ frac { 1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné A _ {\ varphi}} {\ částečné \ varphi}}}
rÓt→(NA→)=1rhříchθ(∂∂θ(hříchθNAφ)-∂NAθ∂φ)ur→+(1rhříchθ∂NAr∂φ-1r∂∂r(rNAφ))uθ→+1r(∂∂r(rNAθ)-∂NAr∂θ)uφ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {A}}) = {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ left ({\ frac {\ částečný} {\ částečné \ theta}} (\ sin \ theta A _ {\ varphi}) - {\ frac {\ částečné A _ {\ theta}} {\ částečné \ varphi}} \ pravé) {\ vec {u_ {r}} } + \ left ({\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné A_ {r}} {\ částečné \ varphi}} - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} (rA _ {\ varphi}) \ vpravo) {\ vec {u _ {\ theta}}} + {\ frac {1} {r}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} (rA _ {\ theta}) - {\ frac {\ částečné A_ {r}} {\ částečné \ theta}} \ pravé) {\ vec {u _ {\ varphi }}}}
ΔF=1r2∂∂r(r2∂F∂r)+1r2hříchθ∂∂θ(hříchθ∂F∂θ)+1r2hřích2θ∂2F∂φ2{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} \ vlevo (r ^ {2} {\ frac {\ částečné f} {\ částečné r}} \ pravé) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} \ levé (\ sin \ theta { \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ theta}} \ pravé) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ částečné ^ {2} f} {\ částečné \ varphi ^ {2}}}}
Dodatky
Bibliografie
Související články