Vnitřní náhodná funkce
Náhodná funkce vnitřní příkaz k (zkráceně FAI k ) je třída ekvivalence z náhodných funkcí určité podmínky.
Tato vlastnost rozšiřuje vlastnosti vnitřní náhodné funkce. Striktní vnitřní náhodná funkce je reprezentací FAI- 0 .
Následující zápisy se použijí v následujících případech:
-
Z náhodná funkce definovaná na omezené podpoře
-
λ míra, to znamená soustava vah λ i spojená s body x i prostoru.
-
Z̃ FAI- k, jehož Z je reprezentace
-
τ h překlad podle vektoru h
Lineární kombinace povoleny
Lineární kombinace je považována za autorizovanou (CLA), pokud připouští odchylku a je navíc stacionární řádu 2 . Můžeme ukázat, že to znamená, že pro úplnou rodinu f l exponenciálních polynomů (lineárních kombinací produktů polynomů a exponenciálů lineárních forem na souřadnicích).
∑iλiFli=0{\ displaystyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} f_ {l_ {i}} = 0}
V praxi bude tato rodina brána jako úplná rodina monomiálů stupně menšího než určité k , a potom budeme hovořit o autorizovaných lineárních kombinacích řádu k (CLA- k ). Označíme Λ k množinu CLA- k .
Vnitřní náhodné funkce (řádu 0)
definice - Náhodná funkce je vnitřně stacionární nebo vnitřní, pokud jsou její přírůstky stacionární druhého řádu , tj. pokud:
- jeho přírůstky mají nulové očekávání: E [ Z ( x + h ) - Z ( x )] = 0
- jeho přírůstky se odchylují pouze v závislosti na vzdálenosti h mezi body:1/2Var [ Z ( x + h ) - Z ( x )] =1/2E [( Z ( x + h ) - Z ( x )) 2 ] = γ ( h )
Zavedli jsme tedy variogram γ , dříve nazývaný funkce vnitřní disperze . Jedinými povolenými lineárními kombinacemi jsou kombinace, kde je součet vah nula: ∑ i λ i = 0 .
Vnitřní náhodné funkce řádu k
definice - Nechť Z je nestacionární náhodná funkce a FAI- k Z̃ . Následující tři příkazy jsou ekvivalentní:
-
Z je reprezentace Z̃ ;
- pro jakékoli autorizované měření λ ∈Λ k je lineární kombinace stacionární řádu 2 v h ;∑iλiZ(Xi+h){\ displaystyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z (x_ {i} + h)}
- v jakémkoli rozsahu povolené úpravy kapitoly ∈Λ K , .Z~(λ)=∫λ(dX)Z(X){\ displaystyle {\ tilde {Z}} (\ lambda) {=} \ int \ lambda (\ mathrm {d} x) Z (x)}
Ekvivalentně, An FAI- k je lineární mapu Z z prostoru Á k o CLA- k v Hilbertova prostoru náhodných proměnných nulové očekávání, s Z (τ h λ ) stacionární v h .
V definici můžeme předpokládat, že očekávání CLA- k je nulové, i když to znamená přejít k řádu k +1 .
Nazýváme je derivát o FAI- k homogenní polynom stupně k +1 průmětu jakéhokoli zastoupení prostoru invarianty přeložená . Jakýkoli FAI- k je FAI- ( k +1) bez driftu.
Věta o reprezentaci - Jakýkoli FAI- k připouští reprezentace. Nechť Z je reprezentace, reprezentace jsou přesně ve formě, kde A l jsou libovolné náhodné proměnné, f l jsou monomily stupně nanejvýš k .
Z(X)+∑lNAlFl(X){\ displaystyle Z (x) + \ součet _ {l} A_ {l} f_ {l} (x)}
V rámci vnitřní geostatistiky bude regionalizovaná proměnná považována za realizaci reprezentace FAI- k . Vnitřní charakteristika bude jakýkoliv parametr pravděpodobnostního modelu v závislosti na FAI- k a ne na regionalizovanou proměnné. Například drift není přirozený.
Zobecněná kovariance
Nechť n je rozměr prostoru ℝ n definice studované regionalizované proměnné .
Funkce K definovaná na ℝ n je zobecněná kovariance pro FAI- k Z̃, pokud:
- ∀λ∈Λk,PROTInar[Z~(λ)]=∬λ(dX)K.(X-y)λ(dy){\ displaystyle \ forall \ lambda \ in \ Lambda _ {k}, \ mathrm {Var} [{\ tilde {Z}} (\ lambda)] {=} \ iint \ lambda (\ mathrm {d} x) K (xy) \ lambda (\ mathrm {d} y)}
- K.(h)=K.(-h){\ displaystyle K (h) {=} K (-h)}
Základní věta vnitřní geostatistiky -
- Jakýkoli FAI- k připouští alespoň jednu zobecněnou kovarianci.
- Třída jejích zobecněných kovariancí se získá přidáním kteréhokoli z sudých polynomů stupně nejvýše 2 k
V tom případě :
∀λ,μ∈Λk,VSÓproti[Z~(λ),Z~(μ)]=∬λ(dX)K.(X-y)μ(dy){\ displaystyle \ forall \ lambda, \ mu \ in \ Lambda _ {k}, \ mathrm {Cov} \ left [{\ tilde {Z}} (\ lambda), {\ tilde {Z}} (\ mu) \ right] = \ iint \ lambda (\ mathrm {d} x) K (xy) \ mu (\ mathrm {d} y)}a v případě bez driftu:
∀λ,μ∈Λk,E[Z~(λ)Z~(μ)]=∬λ(dX)K.(X-y)μ(dy){\ displaystyle \ forall \ lambda, \ mu \ in \ lambda _ {k}, \ mathbb {E} \ left [{\ tilde {Z}} (\ lambda) {\ tilde {Z}} (\ mu) \ vpravo] = \ iint \ lambda (\ mathrm {d} x) K (xy) \ mu (\ mathrm {d} y)}Kromě toho ,, a .
K.(h)=h→+∞Ó(|h|2k+2){\ displaystyle K (h) {\ podmnožina {h \ rightarrow + \ infty} {=}} O \ left (\ left | h \ right | ^ {2k + 2} \ right)}Z~ Est snanes dE„riprotiE ssi limh→∞K.(h)|h|2k+2=0{\ displaystyle {\ tilde {Z}} \ mathrm {~ est ~ sans ~ d {\ akutní {e}} rive ~ ssi ~} \ lim _ {h \ to \ infty} {\ frac {K (h)} {\ left | h \ right | ^ {2k + 2}}} = 0}
Podmíněná funkce pozitivního typu
Symetrická funkce K se říká, že má podmíněný kladný typ na Λ, pokud:
∀λ∈Λ,∬λ(dX)K.(X-y)λ(dy)≥0{\ displaystyle \ forall \ lambda \ in \ lambda, \ iint \ lambda \ left (\ mathrm {d} x \ right) K (xy) \ lambda \ left (\ mathrm {d} y \ right) \ geq 0}Jakákoli zobecněná kovariance FAI- k je kladného typu podmíněná Λ k a naopak.
O symetrické funkci K se říká, že je přísně podmíněného pozitivního typu na Λ, pokud navíc:
∀λ∈Λ,∬λ(dX)K.(X-y)λ(dy)=0⇒λ=0{\ Displaystyle \ forall \ lambda \ in \ Lambda, \ iint \ lambda \ left (\ mathrm {d} x \ right) K (xy) \ lambda \ left (\ mathrm {d} y \ right) = 0 \ Rightarrow \ lambda = 0}Dokonce i polynomy stupně nanejvýš 2 k jsou jediné symetrické spojité funkce K, pro které
∀λ∈Λ,∬λ(dX)K.(X-y)λ(dy)=0{\ displaystyle \ forall \ lambda \ in \ lambda, \ iint \ lambda \ left (\ mathrm {d} x \ right) K (xy) \ lambda \ left (\ mathrm {d} y \ right) = 0}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">