V matematiky , je funkce f se říká, že konkávní , když opačný funkce -f znamená konvexní .
Skutečnost, že raději začneme definováním pojmu konvexní funkce a z ní odvodíme konkávní funkci, má původ ve skutečnosti, že snadno definujeme pojem konvexní množiny , zatímco pojem „množina konkávní“ je méně přirozený. Pak Definujeme funkce, konvexní, jako ty, které mají konvexní epigraf (konkávní funkce mají konvexní hypograph ). Z tohoto důvodu existuje konvexní analýza jako obor matematiky, ale „konkávní analýza“ nikoli.
Definice - funkce f se říká, že konkávní , když opačný funkce -f znamená konvexní .
Tato definice je ekvivalentní následující definici:
Definice - Funkce f z reálného intervalu I k ℝ se říká, že konkávní, když pro všechna x 1 a x 2 z I a všech t v [0; 1] máme:
Máme dvě charakterizace:
Návrh - Nechť f funkčního odvoditelné v intervalu I .
Z druhé charakterizace odvodíme:
Důsledek - Nechť f funkce dvakrát diferencovatelné na intervalu I . f je konkávní právě tehdy, když jeho druhá derivace f '' má záporné nebo nulové hodnoty.
Mezi jednoduchými konkávními funkcemi můžeme samozřejmě podle definice citovat protiklady skutečných konvexních funkcí, například:
Uveďme také některé inverze konvexních funkcí, například na ℝ + *:
Obecněji řečeno, dvakrát diferencovatelné funkce, jejichž druhá derivace je vždy záporná, jsou konkávní funkce. Avšak konkávní funkce nemusí být nutně diferencovatelná, o čemž svědčí funkce x ↦ - | x | .