Parita (aritmetická)

V modulární aritmetice , ke studiu parity z celé číslo je zjistit, zda nebo ne toto číslo je násobkem ze dvou . Celočíselný násobek dvou je sudé celé číslo , ostatní jsou lichá celá čísla .

Dějiny

V Epicharme (kolem 490 př. N. L.) Se objevuje lichá / sudá opozice : „Pokud přidáte oblázek k lichému počtu oblázků, nebo pokud dáváte přednost sudému číslu, nebo pokud odstraníte jednoho z těch, kteří tam již jsou, uděláte to? myslíte, že jejich počet zůstane stejný? Ne, nemyslím si to “ (Diogenes Laërce, III, 11).

U Pythagorejců je pojem omezený pozitivní jako pojem negativní neomezený a liché číslo je mužské, omezené, pozitivní, zatímco sudé číslo je ženské, neomezené, negativní. Aristoteles vysvětluje tuto shodu mezi lichým a omezeným, sudým a neomezeným z reprezentace čísel gnomonem , číslem ohnutým v pravých úhlech, které zůstává, když oddělíme menší čtverec od čtverce: „pro některé [Pythagorejce], nekonečno, to je sudý; neboť, chycen a omezen lichým, přináší bytostem nekonečno; důkazem toho je to, co se děje v číslech; přidáním gnomonů kolem Jednoho a toho odděleně (pro sudý a lichý) někdy získáme vždy jinou postavu, někdy stejnou. "

Euclid ve svých Prvcích ( Kniha VII a Kniha IX - propozice 21 a následující) studuje vlastnosti sudých a lichých čísel a také definuje sudá čísla (dvojnásobek sudého čísla), sudá lichá čísla (součin čísla sudá a liché číslo), zvláštně liché (součin dvou lichých čísel), ale vylučuje ze své studie číslo 1 a číslo 0.

Sudá a lichá čísla

Všechno je sudé nebo liché.

• Pokud je to násobek dvou , je to sudé číslo. Například čísla: -4, 8 a 60 jsou sudá. Číslo nula je sudé, protože se rovná 2 vynásobené 0.
• Jinak je číslo liché. Například -5, 3 a 71 jsou liché. Číslo jedna je liché, je to nejmenší liché přirozené číslo.

Set of sudých přirozených čísel může být psán jako toto:

Sudá přirozená čísla = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} ={2ne∣ne∈NE}=2NE{\ displaystyle \ {2n \ mid n \ in \ mathbb {N} \} = 2 \ mathbb {N}}

a sadu sudých relativních celých čísel lze zapsat takto:

Sudá relativní celá čísla = {..., –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} ={2ne∣ne∈Z}=2Z{\ displaystyle \ {2n \ mid n \ in \ mathbb {Z} \} = 2 \ mathbb {Z}}

Podobně se zapisují sady přirozených nebo relativních lichých celých čísel:

Zvláštní přirozená čísla = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} ={2ne+1∣ne∈NE}{\ displaystyle \ {2n + 1 \ mid n \ in \ mathbb {N} \}} Zvláštní relativní celá čísla = {..., –9, –7, –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} ={2ne+1∣ne∈Z}{\ displaystyle \ {2n + 1 \ mid n \ in \ mathbb {Z} \}}

Jakékoli sudé přirozené číslo kromě nuly se jednoznačně rozloží na součin síly dvou a lichého přirozeného čísla.

18 se rozkládá na 2 × 9 504 = 8 × 63 = 2 3 × 63

Sudá a lichá aritmetika

Následující vlastnosti lze ověřit pomocí vlastností dělitelnosti . Jedná se o speciální případ modulárních aritmetických vlastností a běžně se používají ke kontrole, zda rovnost vypadá správně testováním parity na obou stranách:

Součet a rozdíl

Vlastnosti podobné těmto pro dělitelnost 9 se používají v metodě důkazu devíti  :

• sudý ± sudý = sudý;
• sudý ± lichý = lichý;
• lichý ± lichý = sudý.

Kde „sudé ± sudé = sudé“ je třeba chápat jako: součet nebo rozdíl dvou sudých celých čísel je sudé celé číslo . Obecněji je součet nebo rozdíl několika sudých celých čísel vždy sudý. Součet nebo rozdíl několika lichých celých čísel je:

• i když je počet celých čísel, která ji tvoří, sudý;
• liché, když je počet celých čísel v součtu lichý.

Součet prvních n lichých čísel je n ². Jinými slovy, pro jakékoli celé číslo n větší než 1 máme: 1 + 3 + 5 + ... + (2 n -1) = n ². Prohlédněte si animaci, kde najdete důkaz bez slov. Jedná se o speciální případ součtu členů aritmetické posloupnosti .

Produkt

Produkt dvou celých čísel je sudý právě tehdy, je-li jeden (alespoň) ze dvou faktorů sudý:

• sudý × sudý = sudý;
• sudý × lichý = sudý;
• odd × odd = odd.

Ve skutečnosti pro všechna celá čísla n , k a m máme: 2 n × k = 2 ( nk ), zatímco (2 n + 1) × (2 m + 1) = 2 (2 nm + n + m ) + 1.

Dělitelnost a podíl

Sudé číslo nemůže nikdy rozdělit liché číslo. Liché číslo může rozdělit sudé číslo, ale také rozdělí jeho polovinu.

Kvocient dvou celých čísel nutně celé číslo. Například 1 děleno 4 se rovná 1/4, což není ani sudé, ani liché, protože sudé a liché koncepty platí pouze pro celá čísla. Ale když je kvocient celé číslo, to znamená, když jeden rozděluje druhé, můžeme stanovit následující pravidla:

• sudý / lichý = sudý;
• lichý / lichý = lichý;
• lichý / sudý nikdy není celé číslo;
• sudý / sudý může být lichý nebo sudý.

Vystavovatel

Pokud a je přísně záporný reálný a n přirozené celé číslo, pak znaménko n závisí na paritě n:

• pokud n je i, pak n je kladné;
• je-li n liché, pak je n záporné.

Pokud P je polynomická funkce s hodnotami v  : R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

• jsou-li všechny exponenty x sudé, pak pro všechna reálná x platí P (–x) = P (x);
• jsou-li všechny exponenty x liché, pak pro všechna reálná x platí P (–x) = –P (x).

Říkáme, že polynomy prvního typu jsou sudé a polynomy druhého typu jsou liché.

Pokud P (x) = x 4 + 7x 2 - 5, pak P je sudé Pokud P (x) = x 5 + 8x 3 - 6x, pak P je liché

Právě tento odkaz na paritu exponentu dal jejich jménu sudým a lichým funkcím .

Výsledky využívající paritu

Psaní v základně

Číslo celé číslo vyjádřené v systému číslování desetinná sudé nebo liché jestliže jeho poslední číslice je sudé nebo liché. Podle toho, pokud je poslední číslice 0, 2, 4, 6 nebo 8, je číslo sudé; pokud je poslední číslice 1, 3, 5, 7 nebo 9, pak je číslo liché.

Stejný systém lze použít v jakékoli sudé základně . Zejména číslo vyjádřené v binárním číslovacím systému je liché, pokud jeho poslední číslice je 1 ai když je její poslední číslice 0.

V liché základně je číslo sudé, pokud je součet jeho číslic sudý, a je liché, pokud je součet jeho číslic sudý.

Jakékoli sudé číslo n ≥ 8 je brazilské číslo, protože existuje k ≥ 4 takové, že n = 2 × k , takže je psáno s jedinou číslicí 2 v základu k - 1  : n = 22 k –1 s k - 1 ≥ 3.

Prvočísla, dokonalá čísla

Všechna prvočísla jsou lichá, s jedinou výjimkou: prvočíslo 2.

Žádné sudé číslo není prvočíslo, s jedinou výjimkou: prvočíslo 2.

Tyto Goldbach domněnku uvádí, že každé sudé číslo větší než 2, mohou být zastoupeny jako součet dvou prvočísel. Moderní počítačové výpočty ukázaly, že tato domněnka platí pro celá čísla menší než 4 × 10 14 , ale obecný důkaz dosud nebyl nalezen.

Všechna známá dokonalá čísla jsou sudá; stále nevíme, jestli existuje liché dokonalé číslo.

Struktury

Sudá čísla jsou ideální v kruhu celých čísel, ale lichá čísla nejsou. Celé číslo je sudé, pokud je shodné s 0 modulo, což je ideální, jinými slovy, pokud je shodné s 0 modulo 2, a liché, pokud je shodné s 1 modulo 2.

Feit-Thompson teorém říká, že konečná skupina je vždy řešitelný jestliže jeho objednávka je liché číslo. Toto je příklad lichých čísel, která hrají roli v dalších matematických větách, kde metoda použití jednoduché hypotézy „lichého řádu“ není zdaleka zřejmá.

Hudba

U dechových nástrojů, které jsou válcové a na jednom konci uzavřené, jako je například klarinet v náustku, jsou produkované harmonické liché násobky základní frekvence .

Reference

1. (in) Walter Burkert , Lore and Science in Ancient Pythagoreanism , Harvard University Press ,1972( číst online ) , s.  32-33.
2. Aristoteles, Fyzika , III, 4, 203a11, Les Belles Lettres, t. Já, str. 96. S. 164: gnomon.